Categorie archieven: Kleine nootjes

Nootje 77

Geplaatst op door

Elk natuurlijk getal van twee cijfers kan je achterstevoren schrijven. Zo kan je 23 omdraaien tot 32. Bepaal alle getallen met de eigenschap dat de som van het getal en zijn omgedraaide een kwadraat oplevert.

 

Antwoord

  • Noteer het getal als ab, met a het cijfer van de tientallen en b het cijfer van de eenheden.
  • Het omgedraaide getal is dan ba en hun som is

        \[ab+ba=10a+b+10b+a=11(a+b)\]

  • Als deze som een kwadraat moet zijn, dan moet a+b het product zijn van 11 en een kwadraat. Of a+b=11k^2.
  • Maar a en b zijn cijfers, dus a+b\leq 18 en daarom kan enkel k=1.
  • Bijgevolg is $a+b=11 en zijn de mogelijke oplossingen : 29,92,38,83,47,74,56,65

Nootje 74

Geplaatst op door

Los op:

    \[\begin{cases} xy+zu=444\\xz+yu=180\\xu+yz=156\\xyzu=5184 \end{cases}\]

Antwoord

  • Dit is geen lineair stelsel, dus die methodes kunnen we al vergeten.
  • Uit de eerste en vierde vergelijking volgt dat xy en zu twee getallen zijn met som 444 en product 5184,dus oplossingen zijn van r^2-444r+5184=0. De oplossingen zijn 12 en 432.
  • Analoog volgt uit de tweede en vierde vergelijking dat xz en yu oplossingen zijn van r^2-180r+5184=0. Deze zijn 36 en 144.
  • Doe nu hetzelfde voor  de derde en vierde vergelijking. Dan zij xu en yz oplossingen van r^2-156r+5184=0. Dus 48 en 108.
  • Neem nu bijvoorbeeld xy=12,zu=432,xz=36,yu=144,xu=48 en yz=108.
  • Het eerste wat opvalt is dat x,y,z en u hetzelfde teken moeten hebben.
  • Omdat \frac{xy.xz.xu}{xyzu}=\frac{12.36.48}{5184}, krijgen we dat x^2=4 en dus dat x=\pm 2. Het is nu gemakkelijk om y,z en u te berekenen en we vinden zo (2,6,18,24) en zijn tegengestelde als oplossing.
  • Andere combinatie geven (3,4,12,36),(4,3,36,12),(6,2,24,18),(12,36,3,4),(18,24,2,6),(24,18,6,2),(36,12,4,3) en hun tegengestelde als oplossingen.