Nootje 29

Gegeven is een veelterm waarvan de coëfficiënten natuurlijke getallen zijn. Hoe kan je met zo weinig mogelijk evaluaties met natuurlijke getallen( berekenen van een getalwaarde) de coëfficiënten bepalen? Probeer eerst eens als alle coëfficiënten kleiner zijn dan 10.

Spoiler

  • Noem de veelterm P(x).
  • Als alle coëfficiënten kleiner zijn dan 10, volstaat 1 evaluatie. Bereken P(10). 
  • Neem een voorbeeld als test: P(x)=x^3+4x+8 . Dan is P(10)=10^3+4*10+8=1048. In deze uitkomst kan je de coëfficiënten inderdaad aflezen.
  • Wat nu als de de bovengrens van 10 niet meer geldig is. Dan hebben we 2 evaluaties nodig. 
  • De eerste evaluatie dient om de bovengrens van de coëfficiënten te bepalen. Bereken P(1). Dan bestaat er een natuurlijk getal k zodat P(1)<10^k. Bijgevolg is elke coëfficiënt kleiner dan 10^k.
  • De tweede evaluatie is dan P(10^k).
  • Testje? Neem P(x)=12x^3+145x+88. dan is P(1)=245<10^3. Neem k=3 en bereken P(10^3). Dit geeft 12.000.145.088. Opgedeeld in vakjes van k=3 cijfers krijgen we de gevraagde coëfficiënten.

 

Nootje 28

Toon aan dat de som van de breuken \frac{a-b}{1+ab},\frac{b-c}{1+bc},\frac{c-a}{1+ac} gelijk  is aan hun product.

Spoiler
  • Noem die breuken A,B en C. Je zou A+B+C en A.B.C kunnen uitrekenen maar dat ziet er niet leuk uit…
  • De vorm van de breuk doet me echter denken aan de formule van de tangens van een verschil:
  • Vermits a,b en c reële getallen zijn bestaan er getallen \alpha,\beta ,\gamma met -\frac{\pi}{2}<\alpha,\beta,\gamma<\frac{\pi}{2} zodat a=\tan \alpha,b=\tan \beta en c=\tan \gamma.
  • We moeten dan bewijzen dat \tan(\alpha-\beta)+\tan(\beta-\gamma)+\tan(\gamma-\alpha)=\tan(\alpha-\beta)*\tan(\beta-\gamma)*\tan(\gamma-\alpha).
  • Of als x+y+z=0, dat \tan x+\tan y+\tan z=\tan x*\tan y*\tan z.
  • Dit is vrij simpel: begin met het linkerlid en vervang z door -(x+y).

 

 

 

 

 

 

Nootje 27

 

 

 

Spoiler

  • We zoeken de grootste waarde van een natuurlijk getal x waarvoor \sqrt{x^2-2021} een natuurlijk getal is. Noem dit getal n.
  • Dan geldt: x^2-2021=n^2 of x^2-n^2=2021
  • 2021 heeft 4 delers: 1,43,47 en 2021.
  • Dus is (x-n)(x+n)=1.2021 of (x-n)(x+n)=43.47
  • Uit de eerste gelijkheid volgt dat x-n=1 en x+n=2021. Bijgevolg is x=1011 en n=1010.
  • Uit de tweede gelijkheid volgt dat x-n=43 en x+n=47. Bijgevolg is x=45 en n=2.
  • De grootst mogelijk waarde van x is dus 1011.