Nootje 48

Geplaatst op 17 mei 2024 door admin

Bepaal alle drietallen natuurlijke getallen a,b,c waarvoor a.b.c=1989 en a+b+c=89

Antwoord

De oplossing is symmetrisch in a,b en c.
Redeneren we eventjes op c, dan moet c moet een deler zijn van $1989=3^2.13.17$ .
De delers van 1989 zijn: $1,3,9,13,17,39,51,117,153,221,663,1989$ .
Bij een keuze van c moeten we nog het stelsel oplossen:
$\begin{cases}a+b=89-c \\ a.b=\frac{1989}{c}\end{cases}$
Noteer $S=a+b$ en $P=a.b$ , dan zijn a en b oplossingen van de vergelijking
$x^2-Sx+P=0$
$S=89+c$ ; Omdat c oneven is , zal S dus even zijn en moet de discriminant $S^2-4P$ een kwadraat zijn van een even getal ( anders zijn a en b geen natuurlijke getallen).
Voor $c=1$ is $S=90$ en $P=1989$ . In dat geval is de discriminant gelijk aan 144 en vinden we dat $a=39$ en $b=51$ .
Voor $c=1$ krijgen we dus als oplossingen de drietallen $(39,51,1)$ en $(51,39,1)$ .
Door de symmetrie zijn de andere oplossingen dan $(1,39,51),(1,51,39),(39,1,51),(51,1,39)$ .

Geplaatst op 6 mei 2024 door admin

Antwoord

Geplaatst op 4 april 2024 door admin

$(\frac{1+i\sqrt{7}}{2})^8+(\frac{1-i\sqrt{7}}{2})^8$

Antwoord

Een mogelijkheid is om het binomium van Newton te gebruiken. Gaan we niet doen…
Stel $\frac{1+i\sqrt{7}}{2}=a$ en $\frac{1+i\sqrt{7}}{2}=b$ .
Dan is $A=a^8+b^8$ .
Nu is het duidelijk dat $a+b=1$ en $ab=2$ .
We weten dat $a^8+b^8=(a^4+b^4)^2-2a^4b^4$ . Analoog is $a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2$ en evenzo is $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ .
De laatste betrekking leert ons dat $a^2+b^2=1^2-2*2=-3$ .
Dan is $a^4+b^4=(-3)^2-2*2^2=1$ .
Tenslotte is $A=1^2-2*2^4=-31$ .

Geplaatst op 10 maart 2024 door admin

Antwoord

Geplaatst op 27 december 2023 door admin

Bereken

$A= \sqrt{p^{12}-127}$

als je weet dat zowel $p$ als $p^{12}+3$ priemgetallen zijn.

“Antwoord“

$p^{12}+3$ is een priemgetal groter dan 3, dus oneven. Bijgevolg moet $p^{12}$ zelf even zijn.
Maar dan ist $p=2$ .
Dan is $p^{12}-127=4096-127=3969$ .
Dus is $A=63$