Wiskunde is leuk

Nootje 66

Geplaatst op 21 november 2025 door admin

Hoeveel drietallen niet-negatieve getallen (x,y,z) voldoen aan

Antwoord

$(x+1)(y+1)(z+1)= xyz+xy+xz+yz+x+y+z+1$ , dus de opgegeven vergelijking is te herschrijven als $(x+1)(y+1)(z+1)-1=2025$ of
$(x+1)(y+1)(z+1)=2026=2026$
Nu kan je 2026 herschrijven als $1*1*2026$ of $1*2*1013$ .
Met de ontbinding $1*1*2026$ kan je 3 drietallen $(x,y,z)$ vormen.
Met de ontbinding $1*2*1013$ kan je $3!=6$ drietallen vormen.
Er zijn dus 9 drietallen die voldoen aan de gegeven vergelijking.

nootje 65

Geplaatst op 13 november 2025 door admin

Zoek het kleinste natuurlijk getal groter of gelijk aan 10 waarvoor $n+6$ priem is en $9n+7$ een volkomen kwadraat is.

Antwoord

$9n+7=9(n+6)-47$ .
$n+6$ is een priemgetal groter dan 2 en is dus oneven; bijgevolg is $9(n+6)-47$ een even getal als verschil van twee oneven getallen.
Omdat $9n+7$ een volkomen kwadraat moet zijn, moet $9n+7=(2m)^2$ .
Hieruit volgt dat $n=\frac{4m^2-7}{9}$ .
Onderzoeken we nu voor welke waarden van m de uitdrukking $4m^2-7$ deelbaar is door 9 en waarvoor dan een goede n kan worden gevonden.
Als $m=2$ dan is $n=1$ wat onmogelijk is, omdat n minstens 10 moet zijn.
Als $m=7$ dan is $n=21$ , maar dan is $n+6=27$ en dat is geen priemgetal.
Als $m=11$ dan is $n=53$ en $n+6=59$ en dat is wel priem.
$n=53$ is het kleinst mogelijke getal dat voldoet aan de gevraagde voorwaarden.

Nootje 64

Geplaatst op 7 november 2025 door admin

“Antwoord”

Stel $\sqrt{\Frac{x+1}{x}}=n$ , dan is $n\geq 0$ en $\frac{x+1}{x}=n^2$ .
Dan is $1+\frac{1}{x}=n^2$ of $\frac{1}{x}=n^2-1$ .
De opgave wordt dan $n^2-1+n=5$ of $n^2+n-6=0$ .
Het oplossen van deze vierkantsvergelijking geeft $n=2$ of $n=-3$ .
Omdat $n\geq 0$ blijft enkel over dat $n=2$ .
Uit $\frac{1}{x}=n^2-1$ . volgt dat $\frac{1}{x}=3$ of $x=\frac{1}{3}$ .

Nootje 63

Geplaatst op 16 oktober 2025 door admin

Bereken $x^2-xy+y^2$ als de diameter van de cirkel gelijk is aan 2.

Antwoord

Passen we twee maal de cosinus regel toe en maken we gebruik van $\cos 60^{\circ}=0,5$ en $\cos 120^{\circ}=-0,5$ .
$1=y^2+d^2-yd$
$1=x^2+d^2+xd$
Als we die vergelijkingen van elkaar aftrekken vinden we dat $0=(y^2-x^2)-(y+x)d$ . Hieruit volgt dat $d=y-x$ .
Vullen we dit terug in bij de eerste vergelijking dan is $1=y^2+d^2-y(y-x)$ .
Uitwerken geeft $1=d^2+xy$ of $1=(y-x)^2+xy=x^2-xy+y^2$ .
De gevraagde uitdrukking is dus gelijk aan 1.

Nootje 62

Geplaatst op 2 oktober 2025 door admin

$f(1)=0$ en $f(x)=x+f(x-1) ,x \in \mathbb{N}$ . Bereken $f(100)$ .

“Antwoord”

We weten dat $f(x)-f(x-1)=x$ voor alle natuurlijke getallen x. We schrijven deze formule op voor x van 1 tot n:
$f(1)-f(0)=1$ .
$f(2)-f(1)=2$ .
$f(3)-f(2)=3$ .
…
$f(n)-f(n-1)=n$ .
Als we alles bij elkaar optellen, zien we in het linkerlid bijna alle termen tegen elkaar wegvallen en we behouden $f(n)-f(0)=1+2+3+...+n$ .
Nu is $f(0)=1$ en de som in het rechterlid is $\frac{1}{2}n(n+1)$ .
Bijgevolg is $f(n)=\frac{1}{2}n(n+1)+1$ en
$f(100)=\frac{1}{2}100.101 +1=5051$