Circulair priemgetal

Een  circulair priemgetal is een priemgetal dat een priemgetal blijft bij elke cyclische rotatie van de cijfers . Zo is 13 een circulair priemgetal, want het is priem en ook 31 is een priemgetal. 

Het is duidelijk dat een circulair priemgetal nooit het cijfer 0,2,4,5 of 8 kan bevatten, want door een cyclische permutatie komt dat cijfer ooit achteraan en dan is het getal deelbaar door 2 of 5 en dus niet priem.

De eerste circulaire priemen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 197,…

Er is een stelling die zegt dat elk priemgetal dat enkel bestaat uit enen, altijd een circulair priemgetal is. Eveneens beweert men dat er oneindig veel priemgetallen bestaan met enkel enen. Dus zijn er ook oneindig veel circulaire priemgetallen. Waarschijnlijk zijn er, vanaf 1000000, geen andere dan die met enkel enen.

Faculteitsconform getal

Een faculteitsconform getal  is een natuurlijk getal dat de som is van de faculteiten van zijn cijfers. Alhoewel 1=1! en 2=2!, noemen we 1 en 2 geen facultietsconforme getallen, omdat er niet sprake is van een som.

Wel een goed voorbeeld is

    \[145=1!+4!+5!\]

We kunnen de gebruikelijke onderzoeksvragen stellen: hoeveel van dergelijke getallen bestaan er? Eindig veel of oneindig? kan je ze genereren met een formule?

Wat we zeker kunnen vaststellen is dat ze maximaal uit 7 cijfers bestaan, want stel n een faculteitsconform getal met n cijfers, dan is

    \[10^{n-1}\leq N\leq n.9!\]

vanaf n=8 klopt die formule niet meer, omdat 10 000 000 \geq 8.9!=2 903 040.

Er blijkt nog slechts 1 ander  faculteitsconform getal te bestaan, namelijk 40585. Dit getal werd in 1964 via computerberekeningen gevonden door Leigh Janes en Ron S. Dougherty.

In de Nederlandse wiskundeliteratuur wordt een faculteitconform getal ook wel geldermangetal genoemd, naar de Nederlandse wiskundige en informaticus Henk-Jan Gelderman.

Periode decimaal getal

We kunnen elke breuk schrijven in zijn decimale vorm. Ofwel eindigt deze schrijfwijze ( niet repeterend) , zoals bij \frac{1}{4}=0,25 ofwel krijg je een deel dat zich steeds herhaalt ( repeterend). Neem bijvoorbeeld \frac{1}{}=0,333.... De periode is 3 ( het deel dat herhaald wordt ) en de lengte van de periode is 1.

Hoe kunnen we nu de lengte van die periode berekenen?

  • De teller van de breuk speelt geen rol bij de lengte van de periode. Vandaar dat we enkel  zullen werken met stambreuken \frac{1}{n}.
  • Een breuk is niet repeterend als de priemontbinding van de noemer enkel bestaat uit factoren 2 en 5.
  • De lengte van de deel na de komma, voor het repeterend deel: kijk naar het aantal twee en het aantal vijven in de priemfactor ontbinding en neem het grootste aantal van beiden. Zo is \frac{1}{35}=0,0285717285714... :  dus 1 cijfer voor het repeterend deel begint.
  • De lengte van de periode van \frac{1}{n} is de kleinste p waarvoor geldt dat n een deler is van 10^{p-1}.
  • Als n een priemgetal is dan is de lengte van de periode van \frac{1}{n} een deler van n – 1. Als de lengte juist n – 1 is, dan noemen we dat priemgetal een volledig herhalend priemgetal. Onder 1000 zijn dat het getallen 7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983.
  • Als n en m priem zijn en de lengtes van de periodes van \frac{1}{n} en \frac{1}{m} zijn respectievelijk p_1 en p_2, dan is de lengte van de periode van \frac{1}{nm} het kleinste gemene veelvoud van p_1 en p_2 of een veelvoud daarvan.
  • Als n een priemgetal is waarvan de lengte van de periode gelijk is aan p, dan is de lengte van  de periode van \frac{1}{n^k} gelijk aan p.n^{k-1}.

Een voorbeeld: Neem de breuk \frac{1}{589}. De noemer is te schrijven als 589=19*31. De lengte van de periode voor een noemer 19 is een deler van 18 en narekenen leert ons dat het 18 is. De lengte van de periode voor een noemer 31 is een deler van 30 en blijkt 15 te zijn. Vervolgens nemen we het kleinste gemene veelvoud van 18 en 15: dit is 60. Bijgevolg is de lengte van de periode van \frac{1}{589} gelijk aan 90.

Vierkwadraten stelling

Elk priemgetal, gelijk aan 1 modulo 4, kan geschreven  worden als som van twee kwadraten. Dat een getal als som van twee kwadraten
geschreven kan worden is niet vanzelfsprekend. Bij een getal dat 3 (mod 4) is kan dat bijvoorbeeld niet. Daarentegen bleek dat wel elk getal getal te schrijven is als som van vier kwadraten.

Elk positief geheel getal kan geschreven worden als som van 4 kwadraten van gehele getallen.

    \[n=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\]

Deze stelling was al gekend door Diophantus; Euler heeft 40 jaar gezocht naar een bewijs ervan, maar het was Joseph-Louis Lagrange ( 1736 – 1813)  die in 1772 het eerste bewijs formuleerde.

Het kan zelfs in veel gevallen met drie kwadraten. Legendre ( 1752 – 1833) beweerde dan elk getal, tenzij van de vorm 4^k(8m+7) , te schrijven is als som van drie kwadraten.

Er bestaat zelfs een mogelijkheid  om  het totaal aantal manieren  te berekenen, waarop een gegeven positief geheel getal n  kan worden geschreven als de som van vier kwadraten. Als n oneven is moet je 8 keer de som van zijn delers nemen en als n even is 24 keer de som van zijn oneven delers. Merk hierbij op dat (x_1,x_2,x_3,x_4) geordend is en dat we gehele oplossingen zoeken ; dus ook rekening houden met negatieve getallen.

Toepassingen op stelling van Fermat

Nog even in herinnering brengen, de kleine stelling van Fermat luidt: Als p een priemgetal is Ena en p onderling ondeelbaar zijn dan is

    \[a^{p-1}\equiv 1 \mod p\]

 of

    \[a^p \equiv a \mod p\]

 

Nu een paar toepassingen:

  • n^{13}-n is altijd deelbaar door 2730. Bewijs.
    Antwoord Klik hier


  • 5^p-2*3^p+1 is een p-voud als p priem is. Bewijs. 
    Antwoord Klik hier



  • 1492^n-1771^n-1863^n+2141^n is steeds deelbaar door 1946. Bewijs dit  en volgende opgaven zelf!
  • n ^2+2n+12 is nooit deelbaar door 112. Tip : vul alle waarden van n in modulo 7.
  • Als n oneven is, dan eindigt de decimale schrijfwijze van 2^{2n}(2^{2n+1}-1) steeds op 28.
  • Voor welke n is n^{n+1}+(n+1)^n een drievoud?