Categorie archieven: Getaltheorie

Priemgetallen en Gilbreath

Geplaatst op door

Sommige vermoedens in de getaltheorie zijn zo eenvoudig dat je ze in één minuut kunt uitleggen—en toch blijft een bewijs decennia (of eeuwen) buiten bereik. Het vermoeden van Gilbreath is zo’n voorbeeld.

In 1958 krabbelde de Amerikaanse wiskundige en goochelaar Norman Gilbreath(1936-) iets op een servetje en vond vervolgens een verbijsterende hypothese over priemgetallen:

Neem een rij opeenvolgende priemgetallen vanaf 2 en schrijf onder elk opeenvolgend tweetal de absolute waarde van hun verschil. In de derde rij neem je weer de positieve verschillen tussen opeenvolgende getallen, enzovoort. Gilbreaths vermoeden is dat elke rij vanaf de tweede begint met het getal 1.

Alle priemen behalve de eerste  zijn  oneven, dus de verschillen in de tweede rij  zijn vrijwel altijd even. Dat verklaart waarom je veel 0’s en 2’s ziet in latere rijen. Maar “alles is meestal even” dwingt helemaal niet af dat het allereerste element in élke volgende rij precies blijft. Dat is het mysterieuze, hardnekkige deel. François Proth observeerde het al in de 19e eeuw; Norman L. Gilbreath maakte het in 1958 bekend (vandaar soms “Proth–Gilbreath”) en tot op heden is er nog geen bewijs van gevonden. Het patroon is zeer ver gecontroleerd door middel van computerberekeningen.  Odlyzko had het in 1993 gecontroleerd voor alle priemen tot 10^{13}

De stelling van Girard

Geplaatst op door

Als p een priemgetal is van de vorm 4k+1, dan kan je p altijd schrijven als de som van twee kwadraten. Voorbeelden:

    \[5=1^2+2^2; 13=2^2+3^2; 17=1^2+4^2; 29=2^2+5^2\]

 

Deze stelling staat bekend onder de naam van  Albert Girard (11 okt 1595 – 8 dec 1632): een Frans-geboren wiskundige die het grootste deel van zijn werk in Leiden  deed. Hij schreef o.a. over algebra en trigonometrie, gebruikte vroeg de afkortingen sin, cos, tan, dacht vroeg na over het idee dat een veelterm van graad precies wortels (reëel of “imaginair”) heeft, en hij gaf ook een formule voor de oppervlakte van een sferische driehoek.

Deze stelling krijgt zijn naam,  omdat Girard dit al in 1625 expliciet noteerde (Fermat formuleerde later een bekende versie in een brief van 1640; Euler leverde in 1749 een eerste gepubliceerde bewijsvoering).

De priemgetallen die je als som van twee kwadraten kan schrijven, noemt men ook wel cirkelpriemen. Ze heten zo omdat a^2+b^2=p  precies betekent dat het roosterpunt (a,b) op de cirkel met straal \sqrt{p}  ligt. p=2 is een cirkelpriem en verder zijn dus alle priemen van de vorm 4k+1 cirkelpriemen. In \mathbb{Z}(i) betekent p=a^2+b^2 dat je p kunt schrijven als (a+bi)(a-bi), dus zijn de cirkelpriemen juist de priemgetallen die in \mathbb{Z}(i) niet priem blijven.

Het vermoeden van Euler

Geplaatst op door

In 1769 formuleerde Euler het volgende vermoeden: Voor n>2 zijn minstens n n-de machten nodig om samen weer een -de macht te vormen.

In 1966 vonden L. J. Lander en T. R. Parkin met behulp van een computer een tegenvoorbeeld :  een som van vier vijfde machten die gelijk is aan een vijfde macht. Hieronder zie het ‘korte’ artikel dat  hierover gepubliceerd werd:

 

In 1986 vond Noam Elkies een tegenvoorbeeld met 3 vierdemachten: 

Dus ook voor n=4 is het vermoeden fout. De situatie voor n=4 was heel wat moeilijker dan voor n=5 omdat elliptische krommen hier een rol in spelen.

Het vermoeden van Erdös en Straus

Geplaatst op door

Het Erdös-Straus vermoeden werd geformuleerd in 1948 door de Hongaars wiskundige Paul Erdös( 1913-1996) en de Duits-Amerikaanse wiskundigen ernst Straus(1922-1983). Erdös was een van de meest productieve wiskundige die veel bijdroeg aan de getaltheorie. Hij stond vooral bekend om het stellen van eenvoudige maar diepgaande vragen. Straus werkte ook in de getaltheorie en was bovendien medewerker van Alfred Einstein. Samen onderzochten ze eigenschappen van Egyptische breuken en kwamen zo tot volgend probleem:


Voor elke natuurlijke n\geq 2 geldt dat de breuk \frac{4}{n}  kan worden geschreven als een som van drie stambreuken (Egyptische breuken). Het is een van de bekendste onopgeloste problemen in de getaltheorie.

De conjectuur is triviaal waar voor alle even n. Ook werd voor veel typen priemgetallen  een expliciete oplossing geconstrueerd. Het moeilijke geval zit in getallen n waarvoor n \equiv 1 \mod 4.  Wel is het zo dat voor alle getallen tot enorm hoge grenzen (momenteel trilljoenen)  de gelijkheid bevestigd is  door computers. Hieronder een Python programma voor n kleiner dan of gelijk aan 20.

 

Met als output: 

Gauss perioden

Geplaatst op door

Wanneer je de naam Carl Friedrich Gauss hoort, denk je waarschijnlijk aan priemgetallen, normaalverdelingen of congruenties. Maar één van zijn minder bekende, maar prachtige ideeën zijn de Gauss-perioden: speciale sommen van complexe wortels van de eenheid die diepe structuren in de getaltheorie blootleggen.

Stel je eenheden op de complexe cirkel voor — de punten die je krijgt wanneer je complexe getallen van de vorm

    \[\epsilon_n=e^{\frac{2*\pi* i}{n}\]

neemt. Dit zijn de n-de wortels van eenheid, gelijkmatig verdeeld op de eenheidscirkel.

Gauss ontdekte dat door bepaalde wortels van eenheid te groeperen en op te tellen, patronen zichtbaar werden die structureel waren, niet toevallig. Zulke gegroepeerde sommen worden Gauss-perioden genoemd.

Neem een positief geheel getal n en laat \epsilon_n  een primitieve n-de wortel van eenheid zijn. Als je de indexen 1,2,…,n−1 opdeelt in groepjes (bijvoorbeeld restklassen modulo een priem), en je telt de overeenkomstige wortels op, dan krijg je Gauss-perioden.

Een typische Gauss-periode ziet er zo uit:

    \[\eta_k=\sum_{j \in C_k}\epsilon_n^j\]

waar de C_k  disjuncte subsets van de indexen zijn die samen alle niet-nul indexen vormen.

Neem n=7. De primitieve 7-de wortel van eenheid is \epsilon_7.

De niet-nul getallen modulo 7 vormen een groep van 6 elementen. Die kun je opdelen in twee groepjes van drie via kwadratische residuen en niet-residuen:

  • C1={1,2,4}

  • C2={3,5,6}

De overeenkomstige Gauss-perioden zijn:

\eta_1=\epsilon_7+\epsilon_7^2+\epsilon_7^4 en \eta_2=\epsilon_7^3+\epsilon_7^5+\epsilon_7^6. Het mooie is: deze twee getallen genereren het reële subveld van het cyclotomische veld \mathbb(Q}(\epsilon_7) , een veld van graad 3.

Voor grote waarden van n krijg je alzo prachtige tekeningen: