Pi met wortels

Hoe kan je pi benaderen door middel van wortels? Bekijk volgende  mogelijkheid: de oppervlakte van een cirkel met straal 1 benaderen we door het gemiddelde te nemen van de oppervlaktes van een ingeschreven regelmatige achthoek en een omgeschreven regelmatige zeshoek.

  • Neem een omgeschreven zeshoek :
    om de oppervlakte te berekenen nemen we zes keer de oppervlakte van OAB. De hoogte OM van die driehoek is 1. De basis AB is 2*\tan 30^\circ=\frac{2\sqrt{3}}{3}. Bijgevolg is de oppervlakte van de zeshoek gelijk aan 2\sqrt{3}.
  • Neem vervolgens een ingeschreven regelmatige achthoek:
    de oppervlakte is gelijk aan acht keer de oppervlakte van driehoek OAB. De oppervlakte van die driehoek is gelijk aan \frac{1}{2}*1*1*\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{4}, zodat de oppervlakte van de achthoek gelijk is aan 2\sqrt{2}.
  • Het gemiddelde van die twee oppervlaktes is dan \sqrt{2}+\sqrt{3}.
  • Aldus is \pi \approx \sqrt{2}+\sqrt{3}\approx 3.14626436994

Kwadraten in de driehoek van Pascal

In de driehoek van Pascal kan je veel verbanden vinden. Vandaag gaan we op zoek naar kwadraten.

  • Kijk naar de derde kolom van de driehoeksgetallen 1,3,6,10,… en tel daar de elementen twee per twee op en je vindt de rij 4,9,16,25,… Hoe kan je dit verklaren?  De som van de elementen is altijd van de vorm

        \[\binom{n}{2}+\binom{n+1}{2}\]


    Uitrekenen geeft \frac{1}{2}n(n-1)+\frac{1}{2}n(n+1)=n^2.
  • Kijk naar de vierde kolom 1,4,10,20,35,56,…en bereken het verschil van de derde en de eerste, de vierde en de tweede enz. , dan vorm je de rij 9,16,25,… Verklaring?

        \[\binom{n+2}{3}-\binom{n}{3}\]

    Uitrekenen met de formule van Stiffel geeft: \Big(\binom{n+2}{3}-\binom{n+1}{3}\Big)+\Big(\binom{n+1}{3}-\binom{n}{3}\Big)=\binom{n+1}{2}+\binom{n}{2}=n^2.

Stelling van Ptolemaeus

De kans, dat 4 willekeurig gekozen punten in het vlak, op 1 lijn of 1 cirkel liggen is erg klein. Er moeten dus  wel speciale voorwaarden zijn om dit te doen gebeuren.  Zo een voorwaarde wordt gegeven in de stelling van Ptolemaeus:

Voor 4 willekeurige punten A,B,C en D in het vlak, geldt

    \[AB.CD+AD.BC \geq AC.BD\]

Er treedt gelijkheid op als de punten collineair of concyclisch zijn .

Enkele gevolgen:

  • Als ABCD een koordenvierhoek is en ABC een gelijkzijdige driehoek, dan is BD=AD+CD.
  • Als ABCD een koordenvierhoek is en de hoeken in B en D zijn recht, dan is BD=AC.\sin A ( schrijf de hoek A als som van twee hoeken en pas de domformule voor \sin(x+y) toe)

Pariteit van een permutatie

Elke permutatie kan geschreven worden als het product ( samenstelling) van transposities. Een transpositie of omwisseling is een twee-cykel, zoals bijvoorbeeld (12).

Dit product kan op verschillende manieren tot stand komen, maar het is wel zo dat het aantal transposities dat je nodig hebt, steeds hetzelfde is. Als dat aantal even is , spreken we van een even permutatie. Als het aantal oneven is , spreken we van een oneven permutatie.  Dit noem je de pariteit van de permutatie

Een voorbeeldje van een oneven permutatie:

    \[(1234) =(14)(13)(12)\]

    \[(1234)=(12)(23)(34)\]

Let op de volgorde! Zoals bij de samenstelling , werken we van achter na voor. Nog een paar voorbeelden met afbeelding:

 

is een even permutatie, want de permutatie is te schrijven als (16)(15)(13)(28)(27)(24).

is een oneven permutatie, want de permutatie is te schrijven als (14)(32)(35)

 

Symbolen

Wiskundige symbolen om een gelijkheid of een ongelijkheid aan te duiden werden pas na 1500 ingevoerd. Het = teken werd het eerst gebruikt in 1557 bij Robert Recorde (1510-1558), een Welshe wiskundige.

De symbolen < en > werden voor het eerst gebruikt in een boek van Thomas Harriot (1560-1621), een Engelse wiskundige, in 1631, ongeveer 10 jaar na zijn dood? Sommigen beweren dat de symbolen aan zijn uitgever werden toegeschreven.

Ruim 100 jaar later, in 1734, werden de symbolen \geq en \leq ingevoerd door de Franse wiskundige Pierre Bouguer (1698-1758).