Het postulaat van Bertrand

Het postulaat van Bertrand is een bekende stelling in de getaltheorie die stelt dat er voor elk natuurlijk getal  n>1 altijd minstens één priemgetal p bestaat tussen n en 2n. Men kan zelfs bewijzen dat voor n > 5 er tussen n en 2n ten minste twee priemgetallen liggen. Neem bijvoorbeeld n=127, dan merken we  tussen 127 en 254 de priemgetallen 139 en 163 op. 

Het postulaat werd in 1845 geformuleerd door de Franse wiskundige Joseph Bertrand (1822-1900) op basis van empirische waarnemingen. Hij testte de bewering voor alle getallen tot 3 miljoen en vond geen tegenvoorbeeld. Een volledig formeel bewijs werd echter pas in 1852 geleverd door de Russische wiskundige Pafnoeti Tsjebysjev, waardoor de stelling ook wel bekendstaat als de stelling van Tsjebysjev.

Later werden er eenvoudigere bewijzen gevonden, waaronder een elegant bewijs met behulp van de priemgetalstelling en methoden van Ramanujan en Erdős.

Het postulaat van Bertrand is belangrijk in de getaltheorie omdat het inzicht geeft in de verdeling van priemgetallen. Het leidt tot enkele nuttige resultaten, zoals:

  • Een snellere benadering van priemgetallen: Dit postulaat garandeert bijvoorbeeld dat er altijd een priemgetal is tussen n en 2n, wat handig is bij algoritmes die priemgetallen genereren.
  • Het product van de k eerste priemgetallen is kleiner dan 2^k.
  • In de ontbinding in priemfactoren van n! staat er minstens 1 priemgetal met exponent 1.

In het algemeen blijft het postulaat een belangrijk voorbeeld van hoe priemgetallen over de natuurlijke getallen verdeeld zijn en inspireerde het verder onderzoek naar priemgetaldistributies.

Het vierkleurenprobleem

Het vierkleurenprobleem is een van de bekendste vraagstukken in de wiskunde en de geschiedenis ervan is best fascinerend. Het probleem draait om de vraag of elke landkaart met aangrenzende gebieden kan worden ingekleurd met slechts vier verschillende kleuren, zodat geen twee aangrenzende gebieden dezelfde kleur hebben.

Het probleem stamt eigenlijk al uit de 19e eeuw, toen Francis Guthrie, een Britse wiskundige, het voor het eerst formuleerde in 1852. Hij stelde de vraag terwijl hij naar een landkaart van de graafschappen van Engeland keek. Het intrigeerde wiskundigen decennialang, en er werden verschillende pogingen gedaan om het te bewijzen of te weerleggen.

In de loop der jaren hebben vele wiskundigen zich ermee beziggehouden, maar het probleem bleef hardnekkig weerstand bieden. Pas in 1976 werd een doorbraak bereikt toen Kenneth Appel en Wolfgang Haken een computerprogramma ontwikkelden om te bewijzen dat vier kleuren voldoende zijn voor elke willekeurige landkaart. Hun bewijs was echter controversieel omdat het gebruikmaakte van computertechnologieën die destijds nieuw waren voor wiskundige bewijzen.

Ondanks de controverse wordt het vierkleurenprobleem nu algemeen aanvaard als opgelost, hoewel sommige wiskundigen de voorkeur geven aan handmatige bewijzen boven computerondersteunde methoden. Het blijft echter een belangrijk onderwerp binnen de wiskundige gemeenschap en heeft bijgedragen aan de ontwikkeling van nieuwe methoden en ideeën binnen de grafentheorie en de combinatorische wiskunde.

Het chromatisch getal van een graaf is het minimum aantal kleuren dat nodig is om de knopen van die graaf te kleuren, zodanig dat geen twee verbonden knopen dezelfde kleur hebben. Voor een vlakke landkaartgrafiek (geen twee landen delen een grenssegment) is het chromatisch getal gelijk aan 4 vanwege het vierkleurenprobleem.

Dus, het vierkleurenprobleem is een specifiek geval van het bepalen van het chromatisch getal van een bepaalde graaf, namelijk landkaartgrafen op een vlakke oppervlakte.

Betegelingen van het vlak

De kunst van het betegelen is waarschijnlijk al zo oud als de beschaving zelf. Moorse gebouwen, zoals het Alhambra zijn overvloedig versierd met kleurrijke tegels in alle mogelijke vormen.

De wetenschappelijke benadering van betegelingen is echter nauwelijks 100 jaar oud. Op 1 uitzondering na, want reeds in 1619 schreef Johann Kepler (1571-1630) over dit onderwerp.

In zijn werk: Harmonice Mundi, komen betegelingen uitgebreid aan bod, zoals blijkt uit volgende afbeeldingen uit zijn boek.

Het werk maakt op veel plaatsen de indruk een religieus traktaat te zijn. Kepler uitgangspositie is religieus, metafysisch, maar zijn grote kracht is dat hij minutieus al zijn bespiegelingen controleert en zich door de feiten laat overtuigen. Volgens het idee van Kepler is de kosmos door God harmonisch geschapen en heeft de mens voor deze harmonie een ingeschapen gevoel. De harmonie zit in de getalsmatige verhoudingen. Het is een harmonie van getallen. 

Vlinderstelling

 

 


Neem een willekeurige koorde PQ met midden M. Trek door M twee willekeurige koorden AB en CD. Verbind A met D en C met B. AD en BC snijden de oorspronkelijke koorde PQ respectievelijk in X en Y. De vlinderstelling zegt nu dat M ook het midden is van XY. 

Dit probleem werd het eerst gesteld door William Wallace (Schots wiskundige 1768-1843)  in The Gentleman’s Mathematical Companion (1803). In 1804 werden er drie oplossingen ingezonden. 

Waarom vlinderstelling of butterfly theorema?