Een meetkundige parel

Onlangs vond ik volgende stelling die ik helemaal niet kende. Een echt pareltje: De spiegelbeelden van het hoogtepunt van een driehoek ABC rond de zijden en rond de middens van de zijden liggen op de omgeschreven cirkel van ABC.

H’ is het spiegelbeeld van H (hoogtepunt) rond de zijde AB en CD is een middellijn van de omgeschreven cirkel.

  • \widehat{CDB} is een rechte hoek, als omtrekshoek op een halve cirkel. Omdat AH loodrecht op BC staat, zijn BD en AH evenwijdig.
  • Analoog is AD ook evenwijdig met BH.
  • Dus is AHBD een parallellogram. 
  • Omdat de diagonalen van een parallellogram elkaar midden doordelen is M_c het midden van AB en dus is D inderdaad het spiegelbeeld van H bij een puntspiegeling rond het midden van B.
  • Omdat HC’=C’H’ is C'M_c de middenparallel van driehoek HH’D en staat DH’ loodrecht op CC’ omdat DH’ evenwijdig is met C'M_c.
  • Dus is \widehat{CH'D}=90^\circ  en wegens de eigenschappen van omtrekshoeken ligt dus H’ op de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.

Isogonaal toegevoegde punten

Om het isogonaal toegevoegd punt van P  te berekenen, construeert men het snijpunt van de spiegelbeelden van AP, BP en CP ten opzichte van de respectievelijke bissectrices van de hoeken A,B en C. Het is duidelijk dat de hoeken CAP en  QAB gelijk zijn. analoog zijn ook ABP en QBC gelijk en BCP en QCA.

Een andere mogelijke constructie werkt met de voetpuntsdriehoek:

Men tekent de loodlijnen vanuit P op de drie zijden van de driehoek. Hun voetpunten vormen de voetpuntsdriehoek. Construeer nu snijpunt Q van de loodlijnen uit A,B en C op de zijden van de voetpuntsdriehoek. Dan zijn P en Q isogonaal toegevoegd.

Een paar voorbeelden:

  • Het middelpunt van de ingeschreven cirkel is isogonaal toegevoegd aan zichzelf.
  • Het hoogtepunt van een driehoek en het middelpunt van zijn omgeschreven cirkel zijn isogonaal toegevoegd.

Raadsel

De leraar wiskunde  stelt volgende vraag op het proefwerk aan zijn leerlingen: ‘Zoek het getal dat ik in gedachten heb. Het getal is gelegen tussen 13 en 1300. En jullie mogen drie vragen stellen over dit getal, waar ik met ja of nee op antwoord, en dan moeten jullie dit getal kunnen bepalen.’

Eerste vraag van de leerlingen: ‘Is het getal kleiner dan 500?’

De leraar antwoordt, maar hij liegt.

Tweede vraag van de leerlingen: ‘Is het getal een volkomen kwadraat?’

De leraar antwoordt, maar hij liegt weer.

Derde vraag van de leerlingen: ‘Is het getal een volkomen derdemacht?’

De leraar antwoordt en nu spreekt hij de waarheid.

De leerlingen beginnen nu te rekenen, maar ze zitten nog vast.

De leraar staat hen dan toe nog een vierde vraag te stellen.

Vierde vraag: ‘Is het laatste cijfer van dat getal een 2?’

De leraar antwoordt en spreekt weer de waarheid.

Eén van de leerlingen heeft het nu gevonden. ‘Dit is het getal’, zegt hij. Het is natuurlijk verkeerd.

Welk is het getal dat de leraar in gedachten had?

Antwoord Klik hier
 

Perfecte rechthoeken

Een rechthoek R die kan verdeeld worden in verschillende vierkanten van verschillende grootte,  noemt men een perfecte rechthoek. Zo een verdeling noemt men vierkansverdeling van orde n als er n verschillende vierkanten gebruikt worden.

Dit is een vierkansverdeling van orde 9 van een rechthoek van 32 bij 33. Deze verdeling werd gevonden door A Moron (1904-1971), een Pools wiskundige in 1925.

Lange tijd dacht men dat perfecte vierkanten niet bestonden.  Tot in 1939 de Duitse wiskundige R. Sprague een perfect vierkant vond van orde 55. Later , in 1940 hebben Reichert en Toepkin zelfs bewezen dat een perfect vierkant van een orde kleiner dan 9 niet bestaat. 

21 is de kleinste orde voor een perfect vierkant. Hieronder zie je een perfect vierkant met een unieke 21 vierkansverdeling . Is de orde hoger dan 21, dan zijn er meerder vierkanten mogelijk; zo zijn er bijvoorbeeld 441 perfecte vierkanten van orde 26.