Delannoy getallen

Beschouw in het vlak de punten P(x,y) met  natuurlijke getallen als coördinaten .Je kan je verplaatsen in het vlak volgens de vectoren (1,0) , (0,1)  en (1,1). Het aantal manieren waarop men vanuit de oorsprong het punt P(m,n) kan bereiken noemt men het Delannoy getal d(m,n), vernoemd naar de Franse legerofficier en amateur wiskundige Henri-Auguste Delannoy (28 sept 1833 – 5 febr 1915). Bij definitie stellen we d(0,0)=1.

Onderstaande tekening laat zien dat er bijvoorbeeld 13 mogelijke manieren zijn om het punt P(2,2) te bereiken:

Een tabel met enkele waarden van de Delannoy getallen :

We geven enkele eigenschappen:

  • d(m,0) = d(0,n) = 1
  • Er is een recursief verband tussen deze getallen: d(m,n) = d(m – 1,n) + d(m,n – 1) + d(m – 1,n – 1): elk getal in bovenstaande tabel is de som van zijn linkerbuur, zijn bovenbuur en het getal linksboven. Dit wordt beter geïllustreerd als we de tabel geven in de vorm van de driehoek van Pascal. ( teken de diagonalen van bovenstaande tabel). Nu is elk getal de som van de driehoek erboven.
  • We stellen de verplaatsingen over (1,0), (0,1) en (1,1) respectievelijk voor door O,N en D. Wanneer we k keer D gebruiken om P(m,n) te bereiken,  moeten we m – k keer O en n – k keer N gebruiken. Om te berekenen op hoeveel manieren dit kan, maken we gebruik van de formule van de herhalingspermutaties : we moeten
    k + (m – k) + (n – k ) = m + n – k symbolen rangschikken, waarvan er k van het soort D zijn , m – k van het soort O en  n – k van het soort N. We vinden dus voor elke waarde van k kleiner of gelijk aan het minimum van m en n als aantal mogelijkheden:

        \[\dfrac{(m+n-k)!}{k! (m-k)! (n-k)!}\]

    In het totaal heb je dan :

        \[\sum_{k=0}^{ min(m,n)}\dfrac{(m+n-k)!}{k! (m-k)! (n-k)!}\]

  • Op de tweede rij en tweede kolom vinden we alle oneven getallen :
    d(m,1) = 2m+1. Dit is gemakkelijk te bewijzen met bovenstaande formule

Een combinatorisch probleem

Je beschikt over 7 verschillende flessen wijn en je hebt 7 proevers.  Het is niet praktisch alle 7 proevers alle 7 flessen te laten beoordelen, dus besluiten we volgende test te doen:

  • Iedereen proeft van  eenzelfde aantal flessen.
  • Elk paar van flessen wordt door exact 1 gemeenschappelijke persoon geproefd.
  • Elk paar van proevers proeft exact 1 gemeenschappelijke wijn.

Kan die test worden uitgevoerd? En wat als je de 7 vervangt door een ander aantal? Dit type van problemen is van groot belang voor statistici en behoort tot de tak van de combinatorische ontwerp theorie. Voor 7 is het probleem oplosbaar. Geef de 7 proevers een nummer van 1 tot 7 en de flessen een label A tot G. De test kan dan worden uitgevoerd door iedereen 3 flessen te laten proeven:
1:{A,B,C}   2:{A,D,F}   3: {B,D,E}   4:{A,E,G}   5: {C,E,F}    6:{B,F,G}   7:{C,D,G}

Deze oplossing heeft ook een mooie grafische voorstelling in volgende figuur waar de proevers voorgesteld worden door lijnen en de flessen door punten. Je moet dus 7 lijnen tekenen tussen 7 punten zodat elk paar punten juist 1 lijn gemeen heeft en zodat elk paar lijnen juist 1 punt gemeen heeft.

 

Je kan in ons voorbeeld 7 veranderen door een getal n van de vorm : n=q^2+q+1 met q een priemmacht. De overeenkomstige voorstelling geeft dan een projectief vlak van orde q+1. Dit vlak heeft q^2+q+1 punten en q^2+q+1 lijnen . Elke lijn bevat juist q+1 punten en door elk punt gaan exact q+1 lijnen. In bovenstaand voorbeeld is q=2.

Pythagorese drietallen

Een Pythagorees drietal is een drietal positieve gehele getallen (a,b,c) waarvoor geldt dat

    \[a^2+b^2=c^2\]

Deze afbeelding heeft een leeg alt-attribuut; de bestandsnaam is pyt1.png

Zo zijn (3,4,5) en (5,12,13) allebei Pytagorese drietallen.
Het is duidelijk dat als (a,b,c) een Pythagorees drietal is, dat dan ook (ad,bd,cd) een Pythagorees drietal is. Oplossingen van a^2+b^2=c^2 die relatief ondeelbaar zijn, noemen we primitieve Pythagorese drietallen. Hiervoor kennen we volgend resultaat:


Als m en n relatief ondeelbare postieve gehele getallen zijn met m>n en waarbij één ervan even is en de andere oneven, dan vormen  a=m^2-n^2, b=2mn en c=m^2+n^2 een primieteve oplossing van a^2+b^2=c^2. Bovendien geldt dat elke primitief Pythagorees drietal van die vorm moet zijn, op een mogelijke permutatie van a en b na.

Spelen met kralen

Hoeveel snoeren kan je maken met 3 rode en 5 witte kralen? Als je het snoer draait (cyclisch) of omkeert ( spiegeling), krijg je geen ander snoer.

We stellen een snoer voor als een combinatie van 3 R-en en 5 W’s. We weten dat WRRRWWWW en RRRWWWWW dezelfde ketting voorstelt. We kunnen er dus steeds voor zorgen dat we eindigen met een R. Maar ook RRWRWWWW en RWRRWWWW stellen hetzelfde snoer voor, want als je de laatste 4 W’s vooraan zet, zijn de twee snoeren elkaars spiegelbeeld.

Focussen we ons even op de rode kralen en bekijken we een snoer als
…R…R…R, dan rest ons de 5 witte kralen te verdelen over de drie aangegeven vakjes (na de laatste R is er geen vakje meer wegens het cyclisch zijn van het snoer. We coderen het snoer door de aantallen witte kralen in die vakjes. De combinatie WRRRWWWW en RRRWWWWW of WWWWWRRR stellen we dan voor als 500 en de gelijke snoeren RRWRWWWW en RWRRWWWW worden dan 401 en 410. We kiezen voor  die getallencombinatie die een niet -stijgende rij is.

Welke mogelijkheden houden we uiteindelijk over?

RRRWWWWW=500
RRWRWWWW=401=410
RRWWRWWW=302=320
WRWRWWWR=113=311
WRWWRWWR=122=221

En dus is het aantal snoeren gelijk aan het aantal partities van 5 in hoogstens 3 delen, dit is het aantal manieren om 5 te schrijven als de som van hoogstens 3 postieve getallen. Kunnen we dit veralgemenen?  3 rode en n witte kralen? Lees hierover meer in volgens artikel.

Duivenhok principe

Verdeel je meer dan n duiven over n hokken, dan bevat minstens één hok minstens 2 van die duiven. Over dit duivenhok principe hebben we het gehad op een andere pagina van deze website. Het is niet altijd even gemakkelijk om de juiste ‘hokken’ te kiezen om alzo het principe te kunnen toepassen. Volgende opgaven lijken op elkaar, maar toch is de keuze van de ‘hokken’ totaal anders.

Kies 51 getallen uit de verzameling {1,2,3,…,100}. Toon aan dat :

  • er in die 51 getallen  twee getallen bestaan die geen gemeenschappelijke priemdeler hebben.

  • er in die 51 getallen twee getallen  bestaan zodat de ene een deler is van de andere.

 

Voor de eerste vraag neem je 50 paar opeenvolgende koppels: (1,2),(3,4),…,(99,100). Vermits er 51 getallen gekozen worden, moet er daartussen dus zeker een paar (k,k+1) zitten. Als k en k+1 een zelfde priemdeler p zouden hebben zou p ook een deler zijn van (k+1)-k=1 en dat kan niet. Dus k en k+1 hebben geen gemeenschappelijke priemdeler.

Voor het tweede probleem neem je de 50 oneven getallen 1,3,5,…,99. Voor elk van die getallen vorm je een ‘hok’ met daarin het oneven getal en alle producten ervan met machten van 2. Zo bevat het eerste hok de elementen 1,2,4,8,16,32,64 en het tweede hok de elementen 3,6,12,24,48,96. Volgens het duivenhok principe moeten er tussen de 51 gekozen getallen er zeker twee zijn die in hetzelfde hok zitten. Die twee getallen zijn dan van de vorm 2^m.k en 2^n.k met k een oneven getal. Het is duidelijk dat het ene getal het andere deelt.