Groeimodel van Verhulst

Het groeimodel van Malthus voorspelt een exponentiële groei. In de praktijk zijn er echter grenzen aan de bevolkingsexplosie, doordat bijvoorbeeld de woonomgeving of de voedselsituatie een begrenzing stelt op de grootte van de populatie.

Pierre Verhulst(1804-1849), een Belgisch mathematisch bioloog modelleerde dit als volgt:

    \[N'(t)=kN(t)(M-N(t))\]

waarbij N(t) de grootte van de populatie weergeeft op elk tijdstip t. Op basis van zijn studie van de evolutie van de bevolkingscijfers leidde Verhulst af dat deze remmende factor evenredig is met het verschil tussen de populatie op een gegeven tijdstip en de maximale populatie M. De oplossing van deze differentiaalvergelijking geeft de bekende logistische functie met als grafiek de sigmoïde:

De logistische functie van Verhulst wordt tegenwoordig vooral gebruikt in biologische wetenschappen, bijvoorbeeld bij de studie van bacteriënpopulaties. Ook bij de besmettingscijfers van de Corona pandemie zie je deze grafiek terugkomen.

Straal ingeschreven cirkel

Zoek een verband tussen de zijden van een rechthoekige driehoek en de straal van de ingeschreven cirkel.

De stukken van de raaklijnen vanuit een punt aan de cirkel zijn even lang en bovendien is x = r.

Wanneer we a+b berekenen vinden we dat a+b=x+z+x+y=2r+c, dus geldt in een rechthoekige driehoek :

    \[a+b-c=2r\]

Kan je nu de oppervlakte van de  rechthoek ABCD berekenen?

Het groeimodel van Malthus

Thomas Malhus(1766-1834) was een Brits demograaf en econoom, die vooral bekend is van zijn model voor bevolkingsgroei. Modellen voor bevolkingsgroei vormen een populair en dankbaar toepassingsgebied van differentiaalvergelijkingen en dynamische systemen.

De grootte van een populatie is intrinsiek een geheel getal en toename en afname ervan zijn discrete gebeurtenissen in de tijd. De meetgegevens die we willen moduleren zijn niet nauwkeurig tot op de eenheden, dus mogen we de verandering is de tijd eveneens modelleren alsof ze continu was.

In 1798 publiceerde Malthus het pamflet  An essay on the principle of population  waarin hij stelde dat de bevolkingsgroei de economische groei voor zou blijven. Hij veronderstelde dat de populatiegrootte op een zeker tijdstip alleen afhangt van het vorige tijdstip. Als we de bevolkingsgrootte voorstellen door P(t), dan wordt deze aanname gemodelleerd door

    \[P'(t)=kP(t)\]

De oplossing van deze differentiaal vergelijking is

    \[P(t)=A.e^{kt}\]

met exponentiële groei als e^k>1 en verval als e^k<1.

 

Op grond van volkstellingen kwam Malthus tot de vaststelling dat er een  exponentiële groei was voor de Engelse bevolking en dat deze bevolkingsexplosie niet kon worden bijgehouden door de lineaire groei in de voedselproductie.

 Malthus dacht dat  epidemieën en oorlog, onvoldoende waren om de exponentiële groei van de bevolking ten opzichte van de lineaire groei van de voedselproductie te corrigeren. Daarom zag Malthus als enige oplossing voor de overbevolking ‘moral restraint’; arme mensen die wisten dat ze geen gezin zouden kunnen ondersteunen, moesten volgens hem ook geen gezin stichten.

Een patroon zoeken…

Stel f_0(x)=\dfrac{1}{1-x} en f_n(x)=f_0(f_{n-1}(x)) voor n=1,2,3,...  Bereken dan

    \[f_{2022}(2022)\]

Het is onwaarschijnlijk dat je alle functies f_n(x), waarbij n varieert van 1 tot n, zal moeten berekenen. Waarschijnlijk zit er ergens een patroon in…

Antwoord

 

  • f_1(x)=\dfrac{1}{1-f_0(x)}=\dfrac{x-1}{x}.
  • f_2(x)=\dfrac{1}{1-f_1(x)}=x.
  • Maar dan is f_3(x)=f_0(x).
  • Algemeen is f_{3n}(x)=f_0(x), f_{3n+1}(x)=f_1(x) en f_{3n+2}(x)=f_2(x).
  • Omdat 2022 deelbaar is door 3, zal f_{2022}(x)=f_0(x).
  • En dus is f_{2022}(2022)=-\dfrac{1}{2021}.

Eutrigon stelling

Een eutrigon is een willekeurige driehoek waarvan 1 hoek 60 graden meet. De zijde ertegenover noemt men de hypotenusa  van het eurtrigon.

Men kan op de zijden van een eutrigon gelijkzijdige driehoeken construeren, zoals in onderstaande tekening:

Er bestaat een stelling die zegt dat de som van de oppervlakten van de eutrigon en de driehoek op de hypotenusa, gelijk is aan de som van de oppervlakte van de  driehoeken op de twee andere zijden:

    \[S+S_2=S_1+S_3\]

In driehoek ABC kan je de cosinusregel toepassen:

    \[b^2=a^2+c^2-ac\]


De oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijde z wordt gegeven door de formule: \frac{\sqrt{3}z^2}{4}. Verder weten we dat de oppervlakte van driehoek ABC gegeven wordt door \frac{1}{2}ac \sin 60^{\circ}. Als we beide leden in de cosinusregel van hierboven vermenigvuldigen met \frac{\sqrt{3}}{4}, vinden we dat

    \[S+S_2=S_1+S_3\]