Som gelijk aan product

Geplaatst op door

Noteer alle niet-triviale n-de machtswortels uit 1 door e_i:i=2....n. Stel e_1=1. Vorm nu de uitdrukkingen a_i=1-e_i en bewijs dat

    \[\sum_{i=2}^na_i=\prod_{i=2}^na_i\]

  • z^n-1=(z-1)(z-e_2)(z-e_3)...(z-z_n)=(z-1)(z^{n-1}+...+z+1)
  • Dus is (z-e_2)(z-e_3)...(z-z_n)=z^{n-1}+...+z+1
  • Stel hierin z=1 en je vindt dat het rechterlid uit de te bewijzen formule gelijk is aan n.
  • Verder is het linkerlid gegeven door \sum_{i=2}^na_i=\sum_{i=1}^na_i= \sum_{i=1}^n1-\sum_{i=1}^ne_i=n-0=n.
  • Bij de laatste stap maken we gebruik van de eigenschap dat de som van de wortels van z^n-1 gelijk is aan de coëfficiënt van de op één na hoogste graadsterm.
  • Hiermee is het gestelde bewezen.

 

 

Het twee kannen probleem

Geplaatst op door

In dit  artikel bespreken we problemen waarin men beschikt over 2 lege kannen, zonder maatstreepjes. Verder is er een kraan waarmee men de kannen kan vullen en een gootsteen waarin men de kannen kan leeggieten. We aanvaarden volgende handelingen : Een kan volledig leeggieten, een kan helemaal vullen met de kraan, water van de ene kan overhevelen in de andere kan totdat de ene helemaal leeg is of de andere helemaal vol. Je vindt ook een Python programma om het probleem op te lossen

Vrijdag de dertiende

Geplaatst op door

 

Toon aan dat er in ieder jaar minstens 1  en hoogstens 3 keer vrijdag de dertiende   voorkomt.

  • De dertiende van elke maand in een niet-schrikkeljaar hebben als dagnummer:13,44,72,103,133,164,194,225,256,286,317,347.
  • De resten bij deling door 7 zijn: 6,2,2,5,0,3,5,1,4,6,2,4
  • Twee maanden A en B worden in hetzelfde vakje geplaatst als de dertiende van die maanden op dezelfde dag van de week vallen. Omdat elk getal, van 0 tot 6, voorkomt in de laatste rij, zijn de maanden over de 7 vakjes verdeeld.
  • Elk van de 7 vakjes stelt één van de dagen van de week voor. Omdat elk vakje bezet is, komt er minstens 1 vrijdag de dertiende voor in een niet-schrikkeljaar.
  • Een zelfde waarde in dat rijtje resten komt hoogstens 3 maal voor, dus kunnen er hoogstens 3 vrijdagen de dertiende voorkomen.
  • Voor een schrikkeljaar zijn de dagnummers van de dertiende: 13,44,73,104,134,165,195,226,257,287,318 en 348.
  • De resten bij deling door 7 zijn: 6,2,3,6,1,4,6,2,5,0,3 en 5. De redenering is analoog als hierboven

 6 januari 2023 is een vrijdag, dus zijn er in 2023 twee vrijdagen de dertiende, namelijk in januari en oktober: de dagnummers moeten modulo 7 gelijk zijn aan 6 en er komt in het rijtje dagnummers bij niet-schrikkeljaren inderdaad 2 keer een 6 voor.