De rij van Padovan en het plastisch getal

Gelijkaardig aan de rij van Fibonacci, kunnen we ook de rij van Padovan definiëren, als de rij met p_1=p_2=1 en

    \[p_n=p_{n-2}+p_{n-3}\]



De rij van Padovan is vernoemd naar de schrijver en architect Richard Padovan die zijn ontdekking toegeschreef aan de Nederlandse architect Hans van der Laan . Hieronder zie je een spiraal van gelijkzijdige driehoeken waarvan de lengten der zijden gelijk zijn aan de de getallen uit de rij van Padovan.

Als we de rij bestuderen van de quotiënten van twee opeenvolgende getallen uit de rij van Padovan, bekomen we volgende rij : 2,1,\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4},\frac{7}{5},\frac{9}{7},.... We vermoeden dat deze rij convergeert naar een limiet L. 
a_n=\frac{p_n}{p_{n-1}}=\frac{p_{n-2}}{p_{n-1}}+\frac{p_{n-3}}{p_{n-1}}=\frac{p_{n-2}}{p_{n-1}}+\frac{p_{n-3}}{p_{n-2}}\frac{p_{n-2}}{p_{n-1}}. Dus is a_n=\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_{n-2}}\frac{1}{a_{n-1}}. In de limiet wordt dit L=\frac{1}{L}+\frac{1}{L^2}. Bijgevolg voldoet de limiet L aan de betrekking

    \[L^3-L-1=0\]

Zo vinden we voor L de benaderende waarde 1,3247.

Dit getal noemen we het plastisch getal. Het plastisch getal heeft met de gulden snede nog meer eigenschappen gemeen, maar sommigen gaan nog verder en dichten aan deze getallen verregaande eigenschappen toe omtrent schoonheid.

 

 

 

Priemgetallen

Deze mooie plot krijg je als je in het vlak de punten (p,p) tekent, waarbij p een priemgetal is en waarbij je met poolcoördinaten werkt. Dus elk punt (p,p) wordt op een afstand p van de oorsprong getekend met een hoek van p  radialen ten opzichte van de positieve X-as

Fibonacci en de gulden snede

 

De rij van Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,21,…  wordt gevormd door met twee enen te beginnen en dan is elke term de som van de vorige twee termen, dus:

    \[a_1=a_2=1 \text{ en } a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\]

Vorm nu de rij s_n door twee opeenvolgende termen van de rij van Fibonacci te delen door elkaar:

    \[s_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}\]

Een paar termen van die rij zijn : 1,2,\frac{3}{2},\frac{5}{3},\frac{8}{5},.... Wat zou de limiet van deze rij nu zijn?

We vermoeden dat deze limiet bestaat. Noteer de limiet met L.
Nu geldt s_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_n+a_{n-1}}{a_n}=1+\frac{1}{s_{n-1}}. Dus voldoet de limiet L aan de betrekking L=1+\frac{1}{L}. Dit geeft de vergelijking

    \[L^2-L-1=0\]

De positieve oplossing van deze vergelijking is \frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi=1,6180 3398 8749 8948 482... , de gulden snede!

4.Egyptische wiskunde

Onze grootste kennis van de Egyptische wiskunde komt van twee papyri: Rhind ( rond 1450 v.C.) en Moscou (1750 v.C)

De Egyptenaren gebruikten een tientallig stelsel met volgende tekens:

 

 

 

 

 

 

De notatie is in wezen additief:

Enkele merkwaardigheden:

  • Om te vermenigvuldigen gebruikten ze een reeks van verdubbelingen. De vermenigvuldiging wordt dus herleid tot een aantal optellingen. Eén van de getallen werd dus in feite  binair herschreven. Zo wordt 25 x 13 = (16 + 8 + 1) x 13.
  • De Egyptenaren rekenden met stambreuken en eventueel hun complement: \frac{1}{n} of  \frac{n-1}{n}. Een stambreuk werd genoteerd als \overline{n}. Alle andere breuken trachtten ze te schrijven als som van stambreuken, waarbij elke stambreuk slechts één keer mag voorkomen. ze kenden hiervoor enkele formules zoals bvb. \frac{2}{3n}=\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n}.
  • De deling werd beschouwd als een vermenigvuldiging met een stambreuk. Zo is het quotiënt van 13 door 21 gelijk aan (1+4+8).\overline{21}=\overline{21}+2.\frac{2}{21}+4\frac{2}{21}=\overline{21}+2.(\frac{1}{42}+\frac{1}{14})+4(\frac{1}{42}+\frac{1}{14})=\overline{21}+\overline{2}+\overline{14}.
  • De rekenkunde van de Egyptenaren was minder gevorderd dan die van de Babyloniërs.
  • Met de meetkunde was het anders gesteld, deze wordt wel eens  ” een geschenk van de Nijl ” genoemd. Toch vertoonde de meetkunde nooit een deductieve structuur.
  • Als iemand bij de jaarlijkse overstromingen van de Nijl land verloor, moest hij dit aan de farao melden. Deze stuurde dan dienaren die het verlies gingen opmeten en een proportionele belastingsvermindering toestonden. Het opmeten, en eventueel herverkavelen, was het werk van de harpedonapten, die gebruik maakten van touwen waarin op regelmatige afstanden knopen lagen. Zo maakten ze bvb. gebruik van de eigenschap: een driehoek waarvan de zijden 3-4-5 lengte hebben , is rechthoekig.
  • Ze kenden een formule voor de inhoud van een afgeknotte vierkantige piramide.
  • De jaarlijkse overstromingen gaven ook aanleiding tot kalenderrekening en astronomie.
  • Voor \pi gebruikten ze een heel goede benadering : 3,1605.
  • De Egyptische wiskunde heeft zich meer dan 2000 jaar kunnen ontwikkelen, maar starre staatsstructuren en geheimhouding door priesters verhinderden een ongeremde ontwikkeling. In het eerste millenium voor Christus zou een beschaving opstaan die op wiskundig gebied de Egyptische en Babylonische ver zou overvleugelen: de Griekse.

Vampier getallen

 

Een vampier getal is een getal met 2n cijfers dat geschreven kan worden als een product van twee getallen van n cijfers die ontstaan door de cijfers van het oorspronkelijke getal te gebruiken. Zo is 1260 een vampier getal want

    \[1260=21 \times 60\]

Vampier getallen werden het eerst gebruikt door Clifford Pickover, een Amerikaanse columnist op het gebied van wetenschap en wiskunde.

Sommige getallen kunnen zelfs op meerdere manieren als een vampier getal geschreven worden: 125460 = 204 × 615 = 246 × 510