De kromme van Peano

Geplaatst op door
 
De Peano-kromme, genoemd naar de Italiaanse wiskundige Giuseppe Peano (1858-1932), is een van de meest intrigerende concepten in de wiskunde. Deze curve, die in 1890 werd geïntroduceerd, was een revolutionaire ontdekking omdat het aantoonde dat een continue lijn een volledig tweedimensionaal vlak kan vullen.
 
De constructie van de Peano-kromme is gebaseerd op een iteratief proces. Het begint met een eenvoudige lijn die in een vierkant wordt getekend. Deze lijn wordt vervolgens herhaaldelijk opgesplitst en gevouwen volgens een specifiek patroon. Na oneindig veel stappen vult de curve het hele vierkant, waarbij elk punt in het vierkant wordt bereikt door de lijn. 
 
 
  • Basisstap: Begin met een vierkant en een eenvoudige lijn die het vierkant in een patroon doorkruist (bijvoorbeeld een zigzaglijn).
  • Iteratiestap: Verdeel het vierkant in een 3×3 raster (dus 9 kleinere vierkanten). Vervang de oorspronkelijke lijn in elk van deze kleinere vierkanten door een verkleinde versie van het oorspronkelijke patroon.
  • Herhaling: Herhaal dit proces oneindig vaak, waarbij het vierkant steeds verder wordt onderverdeeld in kleinere vierkanten, en de lijn steeds complexer wordt.

Voor Peano’s ontdekking werd aangenomen dat een continue functie van een eendimensionale ruimte (zoals een lijn) naar een tweedimensionale ruimte (zoals een vlak) niet het hele vlak kon vullen. Peano bewees het tegendeel en opende daarmee de deur naar nieuwe inzichten in topologie en fractale  meetkunde. Een belangrijke eigenschap van de Peano-kromme is dat deze continu maar niet differentieerbaar is. Dit betekent dat de curve geen scherpe hoeken heeft, maar ook geen vloeiende afgeleide – een kenmerk dat typisch is voor fractale structuren.

De fractale of Hausdorff dimensie van de Peano-kromme is 2.  Neem bijvoorbeeld een andere fractale figuur , zoals de sneeuwvlok van Koch. Dit is geen ruimtevullende kromme; zijn fractale dimensie is ongeveer 1,26.

Een ander voorbeeld van een ruimtevullende kromme is de kromme van Hilbert:

Bolstapeling

Geplaatst op door

In de wereld van de moderne wiskunde zijn er enkele namen die opvallen door hun baanbrekende ontdekkingen en bijdragen aan complexe problemen. Maryna Viazovska is zo’n persoon. Geboren in Oekraïne op 2 december 1984, heeft ze niet alleen de wereld van de getaltheorie en wiskundige optimalisatie verrijkt, maar heeft ze ook bewezen dat zelfs de meest uitdagende problemen kunnen worden opgelost door vastberadenheid en briljant denken. Ze is hoogleraar getaltheorie in Lausanne en staat vooral bekend voor haar werk aan de dichtste stapeling van bollen.

Dit is een zodanige configuratie, regelmatig of onregelmatig, van een willekeurig groot aantal identieke bollen, dat geen andere configuratie voor hetzelfde aantal bollen minder ruimte inneemt. De gemiddelde dichtheid, de verhouding van het volume van de bollen tot het volume van het de ruimte noemt men de pakkingsfactor. De hoogste pakkingsfactor die kan bereikt worden is ongeveer 0,74( bewezen door Thomas Hales). Er zijn meerdere manieren van bolstapeling, die de maximale pakkingsfactor van ongeveer 0,74 halen. De simpele, veelvoorkomende zijn de hexagonale en de kubische:

In 2016 loste Viazovska het probleem van de dichtste bolstapeling  in een acht-dimensionale ruimte op. Zij toonde aan dat de dichtste stapeling wordt verkregen als de bollen geordend worden volgens een Lie–groep. Voor haar werk kreeg ze de Fields Medal een van ’s werelds hoogste onderscheidingen in de wiskunde. Tot dan was het probleem slechts opgelost in 3 dimensie en dat bewijs kostte 300 pagina’s. Marina bewees dat van haar op 23 pagina’s en deed dat op een opvallend elegante manier. Ze was pas de tweede vrouw die de Fields Medal mocht ontvangen; De eerste was de Iraanse wiskundige Mirzakhani (1977-2017).

 
 

Magisch vierkant van B. Franklin

Geplaatst op door

Benjamin Franklin (1706-1790) , een van de Founding Fathers, was een Amerikaanse wetenschapper die erg hield van wiskundige puzzels. In 1769 beschreef hij in een brief aan een collega een magisch vierkant dat hij had gemaakt.

Dit vierkant zit vol van symmetrie:

  • elke rij en kolom heeft als som 260.
  • de helft van elke rij of kolom levert als som 130.
  • gebogen rijtjes hebben som 260, zoals blijkt in bovenstaande tekening.
  • de 4 getallen in de hoeken en de 4getallen in het midden hebben als som 260.
  • de som van de getallen in elke 2×2 vierkant is 130.
  • alle getallen van 1 tot 64 komen juist 1 keer er in voor.

Ondanks al deze symmetrie is het eigenlijk geen magisch vierkant , want de som van de  getallen op de diagonalen is niet 260. Franklin maakte zelfs een 16×16 vierkant met alle getallen van 1 tot ,16×16=256. Zoek maar naar alle symmetrie….

Boom van Pythagoras

Geplaatst op door

De boom van Pythagoras is  een fractal die in 1942 door de Nederlandse wiskundeleraar AE Bosman is bedacht. Het probleem dat hij zich stelde was: wat voor een figuur ontstaat er, als je op de bovenste zijde van een vierkant een gelijkbenige rechthoekige driehoek tekent en op de rechthoekszijden daarvan weer twee vierkanten, vervolgens weer driehoeken, enzovoort.

Geïnspireerd hierop maakte de Vlaamse kunstenaar Jos de Mey in de periode 1975-178 ruim 200 schetsen. Hieronder zie je twee voorbeelden: een project  voor een kunstmetselwerkboom en de tulbandboom;

 

Opgave 42

Geplaatst op door

Antwoord

  • Stel x=\frac{a}{b}; Dan is x+x^{-1}=1 of x^2-x+1=0.
  • De oplossingen hiervan zijn \frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}. Het is duidelijk dat de ene oplossing x voorstelt en de andere x^{-1}.
  • We kunnen deze complexe oplossingen ook schrijven  met behulp van de goniometrische notatie: x=\cos 60^{\circ}+i\sin 60^{\circ} en x=\cos -60^{\circ}+i\sin -60^{\circ}.
  • Nu moeten we x^{2025}+x^{-2025} uitrekenen. We doen dit met de formule van Le Moivre. 
  • x^{2025}=\cos 2025.60^{\circ}+i\sin 2025.60^{\circ}=\cos 675.180^{\circ}+i\sin675.180^{\circ}. Een oneven veelvoud van 180^{\circ} maakt de cosinus -1 en de sinus 0.
  • Dus x^{2025}=-1. Analoog kunnen we x^{-2025} uitrekenen en we vinden \cos 675.180^{\circ}-i\sin675.180^{\circ}=-1.
  • Bijgevolg is de gevraagde uitdrukking gelijk aan -2.