Lengte zwaartelijn en bissectrice

Om de lengte van een zwaartelijn te berekenen, gebruiken  we de cosinusregel in de driehoeken ABD en ACD voor b^2 en c^2. Optellen van de formules geeft:

    \[4z_a^2=2b^2+2c^2-a^2\]

Als a\geq b\geq c dan is z_a \leq z_b\leq z_c. Want 4(z_a^2-z_b^2)=3(b^2-a^2). Dus bij de langste zijde hoort de kortste zwaartelijn.

Het berekenen van de lengte van een bissectrice is heel wat lastiger. Noteer c=|BD| en y=|DC|.

Een bissectrice in een driehoek verdeelt de overstaande zijde in de verhouding van de aanliggende zijdes, dus x:y=c:b. Volgens de eigenschappen van evenredigheden volgt hieruit dat (x+y):y=(c+b):b of y=\frac{ab}{b+c} en analoog x=\frac{ac}{b+c}. Teken nu een punt E zodat de hoek ACE gelijk is aan de hoek ADB. Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken ACE en ADB volgt dat |AE|.d_a=bc en uit de gelijkvormigheid van de driehoeken DEC en ABD volgt dat |DE|.d_a=xy. Door die twee formules van elkaar af te trekken vinden we dat:

    \[d_a^2=bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2}\]

Net zoals bij de zwaartelijnen kunnen we besluiten dat bij de langste zijde de kortste bissectrice hoort.

Door gebruik te maken van deze formules kan je door algebraïsche berekeningen meetkundige eigenschappen bewijzen, zoals bijvoorbeeld: De langste bissectrice is minstens even lang als de kortste zwaartelijn. Als a\geq b\geq c dan komt dit neer op d_c \geq z_a.

Opgave 25

Wanneer is het produkt P van de eerste n natuurlijke getallen deelbaar door hun som S?

Antwoord Klik hier

Emmy Noether

Amelie Emmy werd geboren op 23 maart 1882 in Erlangen ( Zuid-Duitsland) uit Joodse ouders. Haar vader Max was hoogleraar wiskunde aan de universitiet van haar geboortstad. Vooraleer ze wiskunde ging studeren, volgde ze een leraarsopleiding Frans en Engels. darna schreef ze zich in aan de universiteit van Erlangen, waar ze na enige tijd nog alleen wiskundige vakken volgde. In de winter van 1903-1904 verbleef ze in Göttingen waar ze cursus liep bij o.a. Minkowski, Hilbert en Klein. Haar doctoraatsverhandeling , met als promotor Paul Gordon (1837-1912), handelde over de theorie van de algebraïsche invarianten.

In 1915 werd ze door Hilbert en Klein uitgenodigd om naar Göttingen te komen als Privardozent. Eén van de eerste onderzoeksonderwerpen waar Emmy Noether zich mee bezighield, was de vraag of een gegeven permutatie groep de Galoisgroep is van een gegeven veelterm of met andere woorden of niet alleen een veelterm een groep bepaald, maar of het omgekeerde ook waar is. Rond 1919 wordt ze medewerker aan de ‘mathematische annalen’ en publiceert ze haar eerste artikels in de zuivere algebra, met name over de theorie van de ringen en de idealen.

De ideaaltheorie die Emmy Noether fundeerde, werd later verlgemeend door Krull, van der Waerden en E. Artin. Naast de vele successen in haar beroepsleven kende ze, tijdens haar Göttingse jaren, ook veel tegenslagen in haar familie. Achtereenvolgens stierven haar moeder, twee van haar broers en haar vader. Zijzelf verloor in 1933 haar toelating om te doceren vanwege haar Joodse afkomst en werd daardoor verplicht uit te wijken. In de VS werd ze professor aan een meisjes college, in Bryn Mawr. Ze hield ook seminaries in Princeton. In 1935 stierf ze aan de gevolgen van een heelkundige ingreep. Op wiskundig gebied verschoof ze, haar laatste jaren, de aandacht naar de studie van ‘algebra’s’.

De stelregel waardoor Emmy Noether in haar werk werd geleid, kan als volgt worden geformuleerd: “Alle relaties tussen getallen, functies en operaties worden pas nadat ze zijn geïsoleerd van hun specifieke objecten en als universeel geldende concepten zijn geformuleerd, transparant, algemeen toepasbaar en volledig productief. Met andere woorden, ze legde de fundamenten van de zuivere algebra. Aanhalingsteken sluiten

 

Een meetkundige plaats

Gegeven is een cirkel met middelpunt A en straal R en een punt B buiten de cirkel. Neem een willekeurig punt Q op die cirkel en bereken het snijpunt P van QA met de middelloodlijn van QB. Bepaal de meetkundige plaats van de punten P als Q zich op d ecirkel beweegt.

  • We schakelen Geogebra in om een inpressie te krijgen van die meetkundige plaats:
  • De oplossing lijkt een hyperbool te zijn. Omdat P op de middelloodlijn van QB ligt is |PQ|=|PB| en bijgevolg is |PA|+R=|PB| of

        \[|PB|-|PA|=R\]

    Het verschil van de afstanden van P tot twee vaste punten A en B is dus constant en daarom is de meetkundige plaats inderdaad een hyperbool.

  • In de tekening zijn ook de raaklijnen uit B aan de cirkel getekent ( met raakpunten D en E). Als Q samenvalt met D of E dan bestaat P niet, omdat QA dan loodrecht staat op QB en dus evenwijdig is met de middelloodlijn.
  • Als Q samenvalt met de snijpunten van AB met de cirkel, dan vinden we de toppen van de hyperbool.
  • Als Q de grote boog DE doorloopt, dan vinden we de linkertak van de hyperbool. Het andere deel van de cirkel coorespondeert dan met de rechtertak.

Een vlieger

 

 

Een vlieger is een meetkundige figuur waar bij exact twee overstaande hoeken, de aanliggende zijden gelijk zijn. Die hoekpunten noemt men de toppen van de vlieger. In onderstaande figuur zijn A en C de toppen.

Verdere eigenschappen:

  • De diagonalen staan loodrecht op elkaar.
  • De diagonaal door de toppen is de enige symmetrieas van de vlieger.
  • De overstaande hoeken, die niet bij de toppen horen, zijn gelijk.
  • De oppervlakte van de vlieger is het halve product van de lengtes van de diagonalen.
  • De diagonaal door de toppen deelt de andere diagonaal middendoor.
  • Een vlieger is een raaklijnen vierhoek en heeft dus een ingeschreven cirkel. In bovenstaande figuur is het middelpunt van de cirkel het snijpunt van de diagonaal door de toppen met de bissectrice van de hoek in D.