Nootje 75

Geplaatst op 7 juni 2026 door admin

Wat is het cijfer van de eenheden van
$A=1^{2026}+3^{2026}+5^{2026}+7^{2026}+11^{2026}+13^{2026}$

Antwoord

Om het cijfer van de eenheden te kennen moeten we de rest bij deling door 10 berekenen, dus werken we modulo 10.
$5^{2026}$ eindigt zeker op een 5.
$1^{2026}=1$ .
$3^{2026}=9^{1013}\equiv (-1)^{1013} \mod 10=-1$
$7^{2026}=49^{1013}\equiv (-1)^{1013} \mod 10=-1$
$11^{2026}=121^{1013}\equiv (1)^{1013} \mod 10=1$
$13^{2026}=169^{1013}\equiv (-1)^{1013} \mod 10=-1$
Het eindcijfer van A is bijgevolg $1+(-1)+5+(-1)+1+(-1)=4$

De cirkel van Conway

Geplaatst op 14 mei 2026 door admin

De Britse wiskundige John Horton Conway ontdekte een verrassende meetkundige eigenschap van willekeurige driehoeken. Vertrekkend van een eenvoudige constructie verschijnt onverwacht een cirkel door zes speciaal geconstrueerde punten.

Neem een willekeurige driehoek ABC. Verleng nu elke zijde aan beide kanten met een lengte gelijk aan de lengte van de overstaande zijde.

De zes bekomen punten blijken allemaal op éénzelfde cirkel te liggen. Deze cirkel noemt men de Conway-cirkel. Het middelpunt van de cirkel is het middelpunt Ivan de ingeschreven cirkel van driehoek ABC

Normaal gezien is het zeer uitzonderlijk dat zes willekeurige punten op één cirkel liggen. In deze constructie worden de punten enkel bepaald door lengtes van de oorspronkelijke driehoek. Toch ontstaat automatisch een perfecte cyclische configuratie. De stelling toont hoe verborgen symmetrieën in een driehoek kunnen leiden tot onverwachte eigenschappen. Conway stond bekend om zulke elegante meetkundige ontdekkingen: eenvoudig te formuleren, maar diep en verrassend.

Welke eigenschap wordt hier geïllustreerd?

Geplaatst op 10 mei 2026 door admin

Antwoord

Veronderstel dat de zijde van het groene vierkant gelijk is aan 1.
De som van de oppervlakten van de gele vierkanten is
$\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\cdots$
Dit de som van de termen van een meetkundige rij met reden $r=\frac{1}{4}$ en beginterm $a=\frac{1}{4}$ .
Deze som wordt gevonden met de formule $\frac{a}{1-r}$ . Dit geeft hier $\frac{0,25}{1-0,25}=\frac{1}{3}$ .
Dus de som van de oppervlakten van de gele vierkanten is $\frac{1}{3}$ . Analoog is de som van de oppervlakten van de rode vierkanten en de oranje vierkanten ook gelijk aan $\frac{1}{3}$ .
De tekening is dus een illustratie van de formule
$3(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\cdots)=1$

Vierkanten tellen

Geplaatst op 4 mei 2026 door admin

Hoeveel vierkanten zitten er in een rooster?

Een klassieke vraag in de recreatieve wiskunde is de volgende: Een vierkant is verdeeld in kleine vierkantjes. Hoeveel vierkanten kan je daarin vinden?

Op het eerste gezicht zou je misschien antwoorden: evenveel als het aantal kleine vakjes. Maar dat klopt niet helemaal. In een rooster zitten niet alleen kleine vierkantjes, maar ook grotere vierkanten die uit meerdere kleine vakjes bestaan.

We bekijken eerst een concreet voorbeeld. Een rooster van $5 \times 5$

Neem een vierkant rooster van $5$ op $5$ . Het rooster bestaat dus uit $25$ kleine vierkantjes.

Maar daarnaast zijn er ook grotere vierkanten.

We tellen per grootte.

Vierkanten van $1 \times 1$ : $5^2=25$

Vierkanten van $2 \times 2$ : $4^2=16$

Vierkanten van $3 \times 3$ : $3^2=9$

Vierkanten van $4 \times 4$ : $2^2=4$

Vierkanten van $5 \times 5$ : $1^2=1$

Het totaal aantal vierkanten is dus: $25+16+9+4+1=55$

In een rooster van $5 \times 5$ zitten dus $55$ vierkanten. Waarom komen die kwadraten voor?

Bekijk bijvoorbeeld de vierkanten van $2 \times 2$ in een rooster van $5 \times 5$ .

Zo een vierkant kan horizontaal op $4$ verschillende plaatsen beginnen en verticaal ook op $4$ verschillende plaatsen. Daarom zijn er $4^2=16$ vierkanten van $2 \times 2$ .

Het algemene geval

Neem nu een rooster van $n \times n$ kleine vierkantjes.

Dan zijn er:

– $n^2$ vierkanten van $1 \times 1$ ;

– $(n-1)^2$ vierkanten van $2 \times 2$ ;

– $(n-2)^2$ vierkanten van $3 \times 3$ ;

– enzovoort;

– $1^2$ vierkant van $n \times n$ .

Het totaal aantal vierkanten is dus: $n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+\cdots+1^2$

Voor deze som bestaat een mooie formule: $1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Daarom is het aantal vierkanten in een rooster van $n \times n$ gelijk aan:

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$

## Controle voor $n=5$

We vullen $n=5$ in: $\frac{5\cdot 6\cdot 11}{6}=55$ . Dat is precies het aantal dat we eerder vonden.

Nootje 74

Geplaatst op 29 april 2026 door admin

Los op:

$\begin{cases} xy+zu=444\\xz+yu=180\\xu+yz=156\\xyzu=5184 \end{cases}$

Antwoord

Dit is geen lineair stelsel, dus die methodes kunnen we al vergeten.
Uit de eerste en vierde vergelijking volgt dat xy en zu twee getallen zijn met som 444 en product 5184,dus oplossingen zijn van $r^2-444r+5184=0$ . De oplossingen zijn 12 en 432.
Analoog volgt uit de tweede en vierde vergelijking dat xz en yu oplossingen zijn van $r^2-180r+5184=0$ . Deze zijn 36 en 144.
Doe nu hetzelfde voor de derde en vierde vergelijking. Dan zij xu en yz oplossingen van $r^2-156r+5184=0$ . Dus 48 en 108.
Neem nu bijvoorbeeld $xy=12,zu=432,xz=36,yu=144,xu=48$ en $yz=108$ .
Het eerste wat opvalt is dat x,y,z en u hetzelfde teken moeten hebben.
Omdat $\frac{xy.xz.xu}{xyzu}=\frac{12.36.48}{5184}$ , krijgen we dat $x^2=4$ en dus dat $x=\pm 2$ . Het is nu gemakkelijk om y,z en u te berekenen en we vinden zo $(2,6,18,24)$ en zijn tegengestelde als oplossing.
Andere combinatie geven $(3,4,12,36),(4,3,36,12),(6,2,24,18),(12,36,3,4),(18,24,2,6),(24,18,6,2),(36,12,4,3)$ en hun tegengestelde als oplossingen.