Nootje 70

Geplaatst op 4 maart 2026 door admin

Bepaal de som A van alle natuurlijke getallen tussen $\sqrt[3]{2026}$ en $\sqrt{2026}$ .

Antwoord

Omdat $12^3=1728$ en $13^3=2197$ weten we dat $12<\sqrt[3]{2026}<13}$ .
Omdat $45^2=2025$ en $46^2=2116$ weten we dat $45<\sqrt{2026}<46$ .
Dan is $A=13+14+\cdots+45$ .
We kunnen deze som berekenen door de formule te gebruiken van de som van de termen van een rekenkundige rij. Deze som is het product van het gemiddelde van de eerste en laatste term met het aantal termen.
Bijgevolg is
$A=\frac{13+45}{2}\times 33=957$

type 1 en type 2 fouten bij hypothese toetsen

Geplaatst op 1 maart 2026 door admin

Bij een hypothesetoets neem je op basis van een steekproef een beslissing over een uitspraak (de hypothese). Omdat steekproeven toevallig kunnen afwijken, kan je twee soorten fouten maken: type 1 en type 2. In de praktijk komen die overeen met vals positief en vals negatief.

De basis: en

Nulhypothese : “er is geen effect / geen verschil / alles is normaal”.
Alternatieve hypothese $H_{1}$ : “er is wél een effect / wél een verschil / er is iets aan de hand”.

Een toets eindigt met één van deze beslissingen:

je verwerpt $H_{0}$ (je vindt genoeg bewijs tegen $H_{0}$ )
je verwerpt $H_{0}$ niet (je vindt onvoldoende bewijs tegen $H_{0}$ )

Type-1 fout betekent: Je verwerpt $H_{0}$ terwijl $H_{0}$ in werkelijkheid waar is. Dit heet ook een vals positief: je “detecteert” iets dat er niet is. $H_{0}$ is waar, maar jij zegt: “nee, $H_{0}$ klopt niet”.Klassieke slogan: “vals alarm”.

Type-2 fout betekent: Je verwerpt $H_{0}$ niet terwijl $H_{1}$ in werkelijkheid waar is. Dit heet ook een vals negatief: er is wél een effect, maar je mist het. $H_{1}$ is waar, maar jij zegt: “ik zie geen reden om $H_{0}$ te verwerpen”. Klassieke slogan: “gemiste detectie

Je kan nooit beide fouten ‘klein’ maken, want als de ene kleiner wordt, dan wordt de andere groter.

Voorbeeld A: medische test (screening)

$H_{0}$ : “de patiënt is niet ziek”
Type-1 fout (vals positief): test zegt “ziek”, maar patiënt is gezond
→ stress, extra onderzoeken, kosten
Type-2 fout (vals negatief): test zegt “gezond”, maar patiënt is ziek
→ gevaarlijk: behandeling komt te laat

Voorbeeld B: rechtbank

$H_{0}$ : “de verdachte is onschuldig”
Type-1 fout (vals positief): onschuldige wordt veroordeeld
Type-2 fout (vals negatief): schuldige wordt vrijgesproken

Voorbeeld C: kwaliteitscontrole in een fabriek

$H_{0}$ : “dit product voldoet aan de norm”
Type-1 fout (vals positief): een goed product wordt afgekeurd
→ verspilling, extra kosten
Type-2 fout (vals negatief): een slecht product wordt goedgekeurd
→ klachten, risico’s, soms veiligheidsproblemen

Welke fout wil je vooral vermijden?

Dat hangt af van de context:

Als een gemiste detectie gevaarlijk is (bv. ernstige ziekte), dan wil je vooral type-2 fouten (vals negatief)beperken.
Als een vals alarm heel schadelijk is (bv. iemand ten onrechte beschuldigen), dan wil je vooral type-1 fouten (vals positief) beperken

Priemgetallen en Gilbreath

Geplaatst op 24 februari 2026 door admin

Sommige vermoedens in de getaltheorie zijn zo eenvoudig dat je ze in één minuut kunt uitleggen—en toch blijft een bewijs decennia (of eeuwen) buiten bereik. Het vermoeden van Gilbreath is zo’n voorbeeld.

In 1958 krabbelde de Amerikaanse wiskundige en goochelaar Norman Gilbreath(1936-) iets op een servetje en vond vervolgens een verbijsterende hypothese over priemgetallen:

Neem een rij opeenvolgende priemgetallen vanaf 2 en schrijf onder elk opeenvolgend tweetal de absolute waarde van hun verschil. In de derde rij neem je weer de positieve verschillen tussen opeenvolgende getallen, enzovoort. Gilbreaths vermoeden is dat elke rij vanaf de tweede begint met het getal 1.

Alle priemen behalve de eerste zijn oneven, dus de verschillen in de tweede rij zijn vrijwel altijd even. Dat verklaart waarom je veel ’s en ’s ziet in latere rijen. Maar “alles is meestal even” dwingt helemaal niet af dat het allereerste element in élke volgende rij precies $1$ blijft. Dat is het mysterieuze, hardnekkige deel. François Proth observeerde het al in de 19e eeuw; Norman L. Gilbreath maakte het in 1958 bekend (vandaar soms “Proth–Gilbreath”) en tot op heden is er nog geen bewijs van gevonden. Het patroon is zeer ver gecontroleerd door middel van computerberekeningen. Odlyzko had het in 1993 gecontroleerd voor alle priemen tot $10^{13}$

Nootje 69

Geplaatst op 15 februari 2026 door admin

Zoek een getal x zodat x en x+1 allebei zes delers hebben.

Antwoord

Het aantal delers van een getal wordt bepaald door het product van factoren $e_i+1$ waarbij $e_i$ de exponent is van een priemfactor $p_i$ in de ontbinding in factoren.
Omdat $6=6\times 1$ of $6=3\times 2$ , is het gezochte getal x van de vorm $p^5$ of $p^2q$ .
Er zullen waarschijnlijk meerdere oplossingen bestaan, maar wij zoeken naar de kleinste. Neem dan $x=2^2q$ en $x+1=3^2r$ .
Hieruit volgt dat $4q+1=9r$ ; De kleinste waarde ( $q=2$ kan niet want q is een priemfactor verschillend van 2) die hieraan voldoet is $p=11$ en $r=5$ .
Bijgevolg is $x=44$ .
Als je $x+1$ van de vorm $p^5$ neemt vind je ook snel een oplossing: $x+1=3^5=243$ , dan is $x=242=2\times 11^2$ . Dus 242 is ook een oplossing