Deelbaarheid van $n^3-n$ door 1000

Geplaatst op 13 september 2026 door admin

Drie opeenvolgende getallen leveren snel een uitsluiting op voor een exacte vergelijking. Voor de vraag naar deelbaarheid door 1000 is vooral van belang waar de factoren 8 en 125 in hun product kunnen zitten.

Infobox

Onderwerpen: Getaltheorie, deelbaarheid
Probleemoplossingstechnieken: Ontbinden in factoren, rekenen modulo 3, priemfactoren afzonderlijk onderzoeken
Moeilijkheid: Gemiddeld
Competitie: Nederlandse Wiskunde Olympiade, finale, klas 6
Jaar: 2026
Opgavenummer: 1

Opgave

(a) Bewijs dat er geen positief geheel getal $n$ bestaat met $n^3-n=1000$ .

(b) Vind het kleinste positieve gehele getal $n>1$ waarvoor $n^3-n$ deelbaar is door 1000.

Eerste idee

Schrijf $n^3-n$ als het product van drie opeenvolgende getallen. Dat geeft direct de deelbaarheid door 3 voor (a). Voor (b) moet het product zowel de factor 125 als de factor 8 bevatten: eerst begrenst de factor 125 de mogelijke waarden van $n$ , waarna de factor 8 de eerste kandidaat uitsluit.

Uitwerking

We ontbinden

$n^3-n=(n-1)n(n+1).$

(a)

Van drie opeenvolgende gehele getallen is er precies één deelbaar door 3. Daarom is $(n-1)n(n+1)$ voor ieder geheel getal $n$ deelbaar door 3. Het getal 1000 is niet deelbaar door 3. De gelijkheid $n^3-n=1000$ is dus onmogelijk.

(b)

Omdat $1000=8\cdot125$ en 8 en 125 onderling priem zijn, moet $n^3-n$ zowel door 8 als door 125 deelbaar zijn.

Van de drie opeenvolgende getallen $n-1$ , $n$ en $n+1$ kan er hoogstens één deelbaar zijn door 5. Als hun product door $125=5^3$ deelbaar is, moet daarom één van deze drie getallen zelf door 125 deelbaar zijn. Voor $1<n<124$ liggen alle drie de getallen tussen 1 en 124. In dat bereik is geen veelvoud van 125, dus geen van die waarden van $n$ voldoet.

Voor $n=124$ geldt

$n^3-n=123\cdot124\cdot125.$

Hier zijn 123 en 125 oneven en is 124 wel door 4 maar niet door 8 deelbaar. Dit product is dus niet deelbaar door 8.

Voor $n=125$ geldt

$n^3-n=124\cdot125\cdot126.$

De factor 125 is deelbaar door 125. Verder is 124 deelbaar door 4 en 126 door 2, zodat het product deelbaar is door 8. Omdat 8 en 125 onderling priem zijn, is het product deelbaar door 1000. Het kleinste gevraagde getal is dus

$\boxed{n=125}.$

Probleemoplossingstechnieken

Ontbinden in factoren: Schrijf $n^3-n$ als het product van drie opeenvolgende getallen.
Rekenen modulo 3: Gebruik dat een van die getallen deelbaar is door 3.
Priemfactoren afzonderlijk onderzoeken: Behandel de factoren 8 en 125 van 1000 apart.

Bron

Symmetrische eenheden van ℤC₈

Geplaatst op 12 september 2026 door admin

Voor $C_8=\langle g\mid g^8=1\rangle$ zijn de rationale componenten

$\mathbb QC_8\cong\mathbb Q\oplus\mathbb Q\oplus\mathbb Q(i)\oplus\mathbb Q(\zeta_8), \qquad \mathbb QC_8^+\cong\mathbb Q^3\oplus\mathbb Q(\alpha),$

met $\alpha=\zeta_8+\zeta_8^{-1}=\sqrt2$ . De drie rationale componenten hebben bij een genormaliseerde symmetrische eenheid alle waarde $1$ .

De integrale orde. Voor een beeld $(m_1,m_2,m_3,u+v\alpha)$ gelden precies de congruenties

$m_1+m_2+2m_3+4u\equiv0,\quad m_1+m_2-2m_3\equiv0,\quad m_1-m_2+4v\equiv0\pmod8.$

Daarom beschrijft de vierde projectie de genormaliseerde symmetrische eenheden via

$H=\{u+v\alpha\in\mathbb Z[\alpha]^\times\mid u\equiv1\pmod2,\ v\equiv0\pmod2\}, \qquad U_1(\mathbb ZC_8)^+\cong H.$

Voor $\eta=1+\alpha$ geldt $\mathbb Z[\alpha]^\times=\langle-1,\eta\rangle$ . Reductie naar $R=\mathbb F_2[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ met $\alpha\mapsto\varepsilon$ geeft $H=\langle-1,\eta^2\rangle$ . De inverse beelden zijn $g^4$ en

$y=2+(g+g^{-1})-(g^3+g^{-3})-g^4.$

Structuurfiguur van de symmetrische eenheden, de deelgroep H en de reductie modulo 2 bij C8

Eindresultaat

$U_1(\mathbb ZC_8)^+=\langle g^4,y\rangle\cong C_2\times\mathbb Z.$

Volledige uitwerking (PDF)
Computationele controle (PDF)
Scripts downloaden

De groepsring F2C4

Geplaatst op 12 september 2026 door admin

Hoeveel structuur kan een ring met slechts zestien elementen bevatten? In $R=\mathbb{F}_2C_4$ vormen de idealen een ketting, hebben de eenheden verschillende orden en blijft een nilpotent element tot zijn derde macht niet nul. De unitaire Cayleygraaf toont een eenvoudiger beeld: twee groepen van acht toppen, met alle verbindingen ertussen.

We bouwen de ring stap voor stap op en verklaren hoe haar eenheden, Jacobsonradicaal en quotiëntring samen de graaf bepalen.

De zestien elementen

Neem het veld $\mathbb{F}_2=\{0,1\}$ en de cyclische groep $C_4=\langle g\mid g^4=1\rangle$ . Een element van de groepsring is een formele som

$a+bg+cg^2+dg^3,\qquad a,b,c,d\in\mathbb{F}_2.$

De vier coëfficiënten kunnen onafhankelijk $0$ of $1$ zijn. Daarom heeft $R$ precies $2^4=16$ elementen. We tellen coëfficiënten op modulo $2$ en vermenigvuldigen met $g^4=1$ . De ring is commutatief, heeft karakteristiek $2$ en heeft als additieve groep $C_2\times C_2\times C_2\times C_2$ .

Omdat de karakteristiek $2$ de groepsorde $4$ deelt, is dit een voorbeeld uit het modulaire geval. De groepsring is niet semisimpel; hieronder zien we dat concreet aan haar niet-triviale Jacobsonradicaal.

Augmentatie: eenheden tegenover nilpotenten

De augmentatie telt de coëfficiënten op:

$\varepsilon(a+bg+cg^2+dg^3)=a+b+c+d.$

Dit is een surjectief ringhomomorfisme van $R$ naar $\mathbb{F}_2$ . Voor $z=a+bg+cg^2+dg^3$ verdwijnen bij kwadrateren alle kruistermen, zodat

$\begin{aligned} z^2&=(a+c)+(b+d)g^2,\\ z^4&=a+b+c+d=\varepsilon(z). \end{aligned}$

Als $\varepsilon(z)=1$ , dan is $z^4=1$ . Het element is een eenheid, met inverse $z^3$ .
Als $\varepsilon(z)=0$ , dan is $z^4=0$ . Het element is nilpotent en geen eenheid. Is het niet nul, dan is het een niet-triviale nuldeler.

Er zijn dus acht eenheden en zeven niet-triviale nuldelers. De niet-triviale nuldelers zijn hier precies de niet-triviale nilpotenten.

Nilpotentie-indices en idempotenten

Zet $\eta=1+g$ . Dan

$\begin{aligned} \eta^2&=1+g^2,\\ \eta^3&=1+g+g^2+g^3\neq0,\\ \eta^4&=0. \end{aligned}$

Het element $\eta$ heeft dus nilpotentie-index $4$ : de vierde macht is de eerste macht die nul wordt. Vermenigvuldiging met de eenheden $g$ , $g^2$ en $g^3$ bewaart die index. De andere drie niet-triviale nilpotenten hebben kwadraat nul.

Niet-triviale nilpotenten	Index
$1+g$ , $g+g^2$ , $g^2+g^3$ , $1+g^3$	$4$
$1+g^2$ , $g+g^3$ , $1+g+g^2+g^3$	$2$

Er zijn geen elementen met nilpotentie-index $3$ . Ook zijn er geen niet-triviale idempotenten: als $e^2=e$ , dan is $e^4=e$ , terwijl $e^4=\varepsilon(e)\in\{0,1\}$ . De enige idempotenten zijn dus $0$ en $1$ .

De eenhedengroep

De eenheden zijn de vier groepselementen en de vier drietermen. Hun inversen en multiplicatieve orden zijn:

Eenheid	Inverse	Orde
$1$	$1$	$1$
$g$	$g^3$	$4$
$g^2$	$g^2$	$2$
$g^3$	$g$	$4$
$1+g+g^2$	$1+g^2+g^3$	$4$
$1+g+g^3$	$1+g+g^3$	$2$
$1+g^2+g^3$	$1+g+g^2$	$4$
$g+g^2+g^3$	$g+g^2+g^3$	$2$

Neem $v=1+g+g^3$ . Het element $g$ heeft orde $4$ , terwijl $v$ orde $2$ heeft en niet in $\langle g\rangle$ ligt. Omdat de ring commutatief is, vormen de acht producten $g^iv^j$ , met $0\leq i<4$ en $0\leq j<2$ , alle eenheden. Bijgevolg

$\begin{aligned} U(R)&=\langle g\rangle\times\langle1+g+g^3\rangle\\ &\cong C_4\times C_2. \end{aligned}$

Er zijn vier eenheden van orde $4$ , drie van orde $2$ en één van orde $1$ .

Het Jacobsonradicaal en alle idealen

Het augmentatie-ideaal is de kern van de augmentatie:

$I(R)=\{a+bg+cg^2+dg^3\mid a+b+c+d=0\}.$

Omdat $R/I(R)\cong\mathbb{F}_2$ , is dit ideaal maximaal. Alle elementen erbuiten zijn eenheden. Elk echt ideaal ligt daarom in $I(R)$ , zodat dit het unieke maximale ideaal is. De ring is lokaal en haar Jacobsonradicaal, de doorsnede van de maximale idealen, is

$J=J(R)=I(R)=(1+g)=(\eta).$

De elementen $1,\eta,\eta^2,\eta^3$ vormen een basis over $\mathbb{F}_2$ . In deze basis bestaat $J$ precies uit de elementen met constante term nul. De machten van $J$ geven de volgende idealen:

Ideaal	Generator	Aantal elementen
$R$	$1$	$16$
$J$	$1+g$	$8$
$J^2$	$1+g^2$	$4$
$J^3$	$1+g+g^2+g^3$	$2$
$J^4=(0)$	$0$	$1$

In het bijzonder is $J^2=\{0,1+g^2,g+g^3,1+g+g^2+g^3\}$ en $J^3=\{0,1+g+g^2+g^3\}$ .

Waarom zijn dit alle idealen? Elk niet-nul element is van de vorm $\eta^k w$ , met $w$ een eenheid en $k$ de kleinste exponent die voorkomt in de η-basis. Kies in een niet-nul ideaal een element waarvoor $k$ minimaal is. Door vermenigvuldiging met $w^{-1}$ bevat dat ideaal $\eta^k$ . Alle andere elementen ervan zijn veelvouden van $\eta^k$ . Het ideaal is dus precies $(\eta^k)$ .

Alle idealen liggen bijgevolg in één ketting:

$R\supset J\supset J^2\supset J^3\supset(0).$

Het idealenrooster van F2C4: van beneden naar boven het nulideaal, J tot de derde macht, J tot de tweede macht, J en R, met respectievelijk 1, 2, 4, 8 en 16 elementen. — De vijf idealen vormen een ketting. Inclusie loopt naar boven; rechts staat het aantal elementen. J is het unieke maximale ideaal.

De groepsring F₂C₄ is een lokale kettingring. Ze heeft drie niet-triviale echte idealen, die allemaal machten van het Jacobsonradicaal zijn.

Eén nilpotente richting, tot de vierde macht

De groepsrelatie $g^4=1$ geeft een beschrijving als quotiënt van een veeltermring. In karakteristiek $2$ is $x^4-1=(x+1)^4$ , zodat

$\begin{aligned} \mathbb{F}_2C_4&\cong\mathbb{F}_2[x]/(x^4-1)\\ &\cong\mathbb{F}_2[\eta]/(\eta^4),\qquad \eta=x+1. \end{aligned}$

We rekenen dus met veeltermen in $\eta$ , waarbij termen vanaf graad $4$ verdwijnen. Het isomorfisme, bepaald door $g\mapsto1+\eta$ , is expliciet

$\begin{aligned} \Phi(a+bg+cg^2+dg^3) ={}&(a+b+c+d)+(b+d)\eta\\ &+(c+d)\eta^2+d\eta^3. \end{aligned}$

Omgekeerd geldt

$\begin{aligned} \Phi^{-1}(r+s\eta+t\eta^2+u\eta^3) ={}&(r+s+t+u)+(s+u)g\\ &+(t+u)g^2+ug^3. \end{aligned}$

Dit veralgemeent de duale getallen $\mathbb{F}_2[\eta]/(\eta^2)$ , die we bij $\mathbb{F}_2C_2$ ontmoeten. Hier blijven ook de tweede en derde macht van $\eta$ niet nul. De opeenvolgende lagen $R/J$ , $J/J^2$ , $J^2/J^3$ en $J^3/J^4$ zijn elk eendimensionaal over $\mathbb{F}_2$ . Ze worden respectievelijk voortgebracht door de klassen van $1$ , $\eta$ , $\eta^2$ en $\eta^3$ .

De quotiëntring en haar kleine graaf

Modulo $J$ blijft alleen de augmentatie over. De quotiëntring $R/J\cong\mathbb{F}_2$ heeft twee elementen: $J$ en $1+J$ . Het tweede is de enige eenheid.

De unitaire Cayleygraaf van een ring heeft haar ringelementen als toppen. Twee verschillende toppen zijn verbonden wanneer hun verschil een eenheid is. Voor $R/J$ geeft dit één rand:

$\operatorname{Cay}(R/J)\cong K_2.$

De graaf K2 van de quotiëntring R modulo J: de twee toppen J en 1 plus J zijn verbonden. — De twee toppen van K₂ zijn de nevenklassen J en 1 + J. Iedere klasse bevat acht elementen van de oorspronkelijke ring.

De unitaire Cayleygraaf van F₂C₄

Nu nemen we alle zestien elementen van $R$ als toppen. In karakteristiek $2$ is $x-y=x+y$ . Omdat een element een eenheid is precies wanneer zijn augmentatie $1$ is, geldt

$x\sim y\quad\Longleftrightarrow\quad\varepsilon(x)\neq\varepsilon(y).$

Elke top is verbonden met de acht elementen met de andere augmentatie. De graaf is dus 8-regulier. De handshakingformule geeft $16\cdot8/2=64$ randen.

Eerst: alle toppen op een cirkel

Voor leesbare labels schrijven we $J=\{j_0,\ldots,j_7\}$ en $U(R)=\{u_0,\ldots,u_7\}$ , met $u_i=1+j_i$ . Deze tabel bevat alle zestien ringelementen:

i	jᵢ ∈ J	uᵢ = 1 + jᵢ ∈ U(R)
0	$0$	$1$
1	$1+g$	$g$
2	$1+g^2$	$g^2$
3	$1+g^3$	$g^3$
4	$g+g^2$	$1+g+g^2$
5	$g+g^3$	$1+g+g^3$
6	$g^2+g^3$	$1+g^2+g^3$
7	$1+g+g^2+g^3$	$g+g^2+g^3$

We plaatsen de toppen afwisselend in de volgorde $j_0,u_0,j_1,u_1,\ldots,j_7,u_7$ op een cirkel. Blauw staat voor $J$ , rood voor de eenheden. Iedere blauwe top is verbonden met alle rode toppen. Naast de cirkelrand horen dus ook alle getekende koorden bij de graaf.

De unitaire Cayleygraaf van F2C4 op een cirkel: acht blauwe toppen j0 tot j7 en acht rode toppen u0 tot u7, met alle 64 verbindingen tussen verschillende kleuren. — De cirkelopstelling toont alle zestien toppen en alle 64 randen. Kruisingen van randen zijn geen extra toppen.

Daarna: de twee bipartiete delen

Door de nevenklassen $J$ en $1+J$ apart te tekenen, wordt de structuur duidelijker. Binnen elk deel zijn er geen randen. Tussen de twee delen zijn alle verbindingen aanwezig. Daarom

$\operatorname{Cay}(\mathbb{F}_2C_4)\cong K_{8,8}.$

De volledige bipartiete graaf K8,8 met links de acht gelabelde elementen van het Jacobsonradicaal en rechts de acht gelabelde eenheden; elk links element is verbonden met elk rechts element. — Dezelfde graaf als K₈,₈. Links staat J = I(R), rechts staat 1 + J = U(R). Labels, kleur en positie geven samen de twee nevenklassen aan.

Rechtstreeks tellen geeft opnieuw $8\cdot8=64$ randen. We kunnen deze graaf opbouwen uit de eerder getekende $K_2$ van $R/J$ : vervang iedere top door de acht elementen van haar nevenklasse en vervang de ene rand door alle verbindingen tussen de klassen.

De twee delen laten de lokale structuur zien: de niet-eenheden vormen het unieke maximale ideaal J, en de quotiëntring heeft precies twee elementen. De graaf registreert de nevenklassen van J en hun gemeenschappelijke grootte.

Afstanden en sommen van eenheden

Toppen in verschillende delen liggen op afstand $1$ . Twee verschillende toppen in hetzelfde deel hebben een gemeenschappelijke buur en liggen op afstand $2$ . De graaf is dus samenhangend en heeft diameter $2$ .

Een pad vanaf $0$ komt overeen met het achtereenvolgens optellen van eenheden. De diameter betekent daarom dat ieder element een som van ten hoogste twee eenheden is. Voor $z\in J$ is een expliciete voorstelling

$z=1+(1+z).$

Beide termen zijn eenheden, want hun augmentatie is $1$ . Zo is $0=1+1$ en is $1+g+g^2+g^3=1+(g+g^2+g^3)$ . Een eenheid zelf is al een som van één eenheid.

Een eenheid is echter geen som van precies twee eenheden: zo’n som heeft augmentatie $1+1=0$ . De sommen van precies twee eenheden vormen dus precies $J$ . Algemeen heeft een som van $k$ eenheden augmentatie $k$ modulo $2$ . Die pariteit wordt zichtbaar in het afwisselen van de twee delen langs een pad.

Wat de graaf niet vertelt

Alle elementen van $J$ hebben dezelfde buren. De graaf maakt daarom geen onderscheid tussen de kleinere idealen $J^2$ en $J^3$ , en ook niet tussen nilpotentie-index $2$ en $4$ .

Een verwante groepsring is $S=\mathbb{F}_2(C_2\times C_2)$ . Daar geldt voor ieder element $z$ al $z^2=\varepsilon(z)$ , omdat elk groepselement kwadraat $1$ heeft. Ook die ring heeft acht eenheden en een Jacobsonradicaal van acht elementen met restveld $\mathbb{F}_2$ . Haar unitaire Cayleygraaf is eveneens $K_{8,8}$ .

Toch zijn de twee ringen niet isomorf: $R$ bevat een nilpotent element met index $4$ , terwijl elke niet-triviale nilpotent in $S$ kwadraat nul heeft. Isomorfe unitaire Cayleygrafen betekenen dus niet dat de onderliggende groepsringen isomorf zijn.

F₂C₄ in één oogopslag

Groepsring $R=\mathbb{F}_2C_4$
16 elementen; karakteristiek 2

Eenhedengroep $U(R)\cong C_4\times C_2$
8 eenheden

Niet-triviale nuldelers7; alle nilpotent
4 met index 4, 3 met index 2

IdempotentenAlleen $0$ en $1$

Jacobsonradicaal $J=I(R)=(1+g)$
8 elementen; $J^4=(0)$

Idealen $R$ , $J$ , $J^2$ , $J^3$ , $(0)$
Eén ketting van vijf idealen

RingstructuurLokale kettingring

$R\cong\mathbb{F}_2[\eta]/(\eta^4)$

Quotiëntring $R/J\cong\mathbb{F}_2$
Quotiëntgraaf: $K_2$

Cayleygraaf $K_{8,8}$
Delen: $J$ en $1+J=U(R)$

Toppen en randen16 toppen, 64 randen
Graad 8; diameter 2

Sommen van eenhedenIeder element: ten hoogste twee
Precies twee: de elementen van $J$

Grens van de graafDe kleinere radicale lagen en de nilpotentie-indices zijn niet af te lezen.

De plaats maakt het getal: van ons tientallig stelsel naar de Maya’s

Geplaatst op 11 september 2026 door admin

In het getal 222 staat driemaal hetzelfde cijfer. Toch betekent de eerste 2 tweehonderd, de tweede twintig en de laatste twee. De plaats bepaalt mee de waarde. Dat eenvoudige principe maakt het mogelijk om met een handvol tekens elk natuurlijk getal te schrijven. De Maya’s gebruikten het ook, maar met punten, strepen en een teken voor nul, en met twintig als basis.

Wat is een positiestelsel?

Een positiestelsel, ook positietalstelsel genoemd, is een manier om getallen te schrijven waarbij de waarde van een cijfer afhangt van zijn plaats. Het cijfer vertelt hoeveel er zijn; de plaats vertelt van welke eenheid.

In een stelsel met een vaste basis, het grondtal, bundelen we telkens evenveel eenheden. Bij grondtal tien worden tien eenheden één tiental en tien tientallen één honderdtal. Bij grondtal twintig worden twintig eenheden één twintigtal en twintig twintigtallen één vierhonderdtal.

Voor een geheel grondtal $b\geq 2$ zijn de plaatswaarden:

$1,\quad b,\quad b^2,\quad b^3,\quad \ldots$

De exponent geeft aan hoe vaak we met de basis vermenigvuldigen: $b^2=b\cdot b$ , bijvoorbeeld. Op elke plaats gebruiken we een cijferwaarde van nul tot en met $b-1$ . Zodra we $b$ eenheden van dezelfde soort hebben, maken we er één eenheid op de volgende plaats van.

Ons tientallig stelsel

Wij gebruiken tien cijfers: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Van rechts naar links staan ze voor eenheden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen enzovoort. Zo betekent 3472:

$3472=3\cdot1000+4\cdot100+7\cdot10+2.$

Bij het optellen passen we hetzelfde principe toe: tien losse eenheden wisselen we in voor één tiental. Dat is wat er achter het ‘onthouden’ bij cijferend rekenen zit.

De nul houdt een plaats vrij. In 305 zijn er drie honderdtallen, geen tientallen en vijf eenheden:

$305=3\cdot100+0\cdot10+5.$

Laten we de nul weg, dan krijgen we 35. De 3 krijgt een andere plaatswaarde en het getal verandert. Nul voegt hier niets aan de som toe, maar geeft wel onmisbare informatie.

De Maya’s en de basis twintig

De Maya’s ontwikkelden in Meso-Amerika een rijke traditie van wiskunde, kalenderrekening en hemelobservatie. Hun cultuur behoort niet uitsluitend tot het verleden: ook vandaag leven er Mayagemeenschappen, onder meer in Mexico, Guatemala en Belize. Smithsonian, Living Maya Time Teacher Guide.

Hun getalnotatie steunt op twintig. Zo’n stelsel heet twintigtallig of vigesimaal. Om het principe te leren kennen, gebruiken we eerst de zuivere plaatswaarden 1, 20, 400 en 8000. Bij de historische kalenderrekening volgt verderop een belangrijke aanpassing.

Punten, strepen en een schelpvormig teken

In de bekende punt-streepnotatie telt een punt voor één en een horizontale streep voor vijf. Nul krijgt een afzonderlijk teken, vaak schelpvormig weergegeven. Daarmee kunnen de waarden 0 tot en met 19 worden gevormd. De tekens zijn te zien in het Smithsonian-lesmateriaal over Mayagetallen.

Schematisch overzicht van de Mayagetallen 0 tot en met 19, met punten voor eenheden, strepen voor vijftallen en een schelpvormig nulteken.

Eigen didactisch schema. Het nulteken is vereenvoudigd; historische tekens vertonen variatie.

Zo schrijf je 7 met twee punten boven één streep en 13 met drie punten boven twee strepen: $13=3+5+5$ . De grootste cijferwaarde, 19, bestaat uit vier punten en drie strepen.

Binnen één groep tellen we de punten en strepen op. Tussen verschillende groepen bepaalt de plaats de waarde. Twee strepen binnen dezelfde groep betekenen dus tien; ze vormen geen twee afzonderlijke plaatswaarden.

Getallen boven negentien

In de verticale notatie staan de eenheden onderaan en de twintigtallen daarboven. Bij twintig begint een nieuwe plaats: één twintigtal en nul eenheden.

De getallen 20 en 47 in verticale Mayanotatie, met per groep de plaatswaarde en bijdrage.

Eenheden onderaan, twintigtallen erboven. De kaders zijn moderne hulpmiddelen om de groepen te onderscheiden.

Voor 47 hebben we twee twintigtallen en zeven eenheden nodig:

$47=2\cdot20+7.$

De twee punten bovenaan dragen samen 40 bij. Onderaan vormen twee punten en één streep samen 7. Je leest dus eerst elke groep afzonderlijk en vermenigvuldigt de gevonden waarde met haar plaatswaarde.

Een groter getal ontleden

In het zuivere twintigstelsel is de derde plaats $20\cdot20=400$ waard. Schrijven we bijvoorbeeld 2026 in dat stelsel, dan zoeken we eerst hoeveel vierhonderdtallen erin passen:

$2026=5\cdot400+26=5\cdot400+1\cdot20+6.$

Van boven naar beneden krijgen we de cijferwaarden 5, 1 en 6.

2026 in het zuivere twintigstelsel: bovenaan vijf vierhonderdtallen, daaronder één twintigtal en onderaan zes eenheden.

Met moderne cijfers kunnen we dat verkort schrijven als $(5,1,6)_{20}$ . De komma’s scheiden de cijferwaarden; het kleine getal 20 vermeldt het grondtal. Dit is onze uitlegnotatie, geen historische Mayaschrijfwijze.

Controle: $2000+20+6=2026$ . Het getal blijft hetzelfde; alleen de schrijfwijze verandert.

Nul: zichtbaar maken wat ontbreekt

Neem in het zuivere twintigstelsel de cijferwaarden $(1,0,5)_{20}$ :

$1\cdot400+0\cdot20+5=405.$

In een verticale voorstelling staat bovenaan één punt, in het midden het nulteken en onderaan één streep. Het nulteken zegt: op deze plaats zijn er geen twintigtallen. Schuiven we de groepen samen door die nul weg te laten, dan blijft $(1,5)_{20}$ over:

$1\cdot20+5=25.$

De nul bewaart dus de structuur van het getal, net zoals in ons getal 305.

Historisch was het Mayagebruik van nul rijker dan één vast schelpteken. Onderzoek van inscripties en handschriften onderscheidt verschillende nultekens en bespreekt hun verband met afwezigheid en kalendernotatie. Daarom moeten we onderscheid maken tussen nul als plaatsaanduiding en de ruimere betekenissen die nul in een cultuur kon hebben. Een plaatsaanduiding toont op zichzelf ook nog niet aan dat alle moderne rekenregels met nul bekend waren. Anna Blume, Maya Concepts of Zero (2011).

De uitspraak ‘de Maya’s vonden de nul uit’ vraagt eveneens nuance. De geschiedenis van nul omvat verschillende ontwikkelingen, onder meer in Meso-Amerika en India. Ons huidige tientallige stelsel met nul is via de Indiase en de Arabischtalige wiskundige traditie overgeleverd. Het Mayagebruik is een andere historische ontwikkeling. MacTutor, Zero.

De kalender: 360 in plaats van 400

Wie een historische Mayadatering wil lezen, kan niet zomaar alle plaatswaarden door machten van twintig vervangen. In de Lange Telling, een kalendernotatie voor het tellen van dagen vanaf een vast beginpunt, zijn de eerste plaatswaarden:

$1,\quad20,\quad360,\quad7200,\quad144000.$

De afwijking zit bij de derde plaats: die is $18\cdot20=360$ dagen waard. Daarna wordt telkens weer met twintig vermenigvuldigd. Dit is een gemengd positiestelsel. MacTutor, Mayan mathematics.

Plaats, vanaf onderaan	Zuiver twintigstelsel	Lange Telling, in dagen
Eerste	1	1
Tweede	20	20
Derde	400	360
Vierde	8000	7200
Vijfde	160000	144000

Daardoor krijgen dezelfde cijferwaarden een andere betekenis. Eén op de derde plaats, met daaronder twee nullen, betekent in het zuivere twintigstelsel 400. Met de plaatswaarden van de Lange Telling betekent het 360 dagen.

Ook ons voorbeeld 2026 verandert van schrijfwijze. Met kalenderplaatswaarden wordt het:

$2026=5\cdot360+11\cdot20+6.$

De waarden zijn dan 5, 11 en 6, in plaats van 5, 1 en 6. De context is dus onmisbaar. De zuiver twintigtallige voorbeelden hierboven dienen om het plaatswaardeprincipe te leren; ze zijn geen transcripties van historische dateringen.

Zelf proberen

Gebruik voor deze oefeningen het zuivere twintigstelsel.

Welke cijferwaarden schrijf je van boven naar beneden voor 83? Teken ook de punten en strepen.
Welk getal is $(3,0,12)_{20}$ ?
Waarom heeft 400 twee nultekens nodig wanneer je het zonder vooraf getekende plaatsvakken schrijft?

Antwoorden. Voor 83 geldt $83=4\cdot20+3$ : vier punten bovenaan, drie punten onderaan, in twee aparte groepen. Verder is $(3,0,12)_{20}=3\cdot400+12=1212$ . Ten slotte is $400=1\cdot400+0\cdot20+0$ : beide nultekens houden een lagere plaats bezet.

Verder lezen

Smithsonian, Living Maya Time Teacher Guide: Maya’s, wiskunde en kalenders.
Smithsonian, Let’s Multiply—Maya Style!: getaltekens en plaatswaarden.
Anna Blume, Maya Concepts of Zero, Proceedings of the American Philosophical Society 155(1), 2011, pp. 51–88: de verschillende Mayatekens en betekenissen van nul.
MacTutor, Mayan mathematics en Zero: historische achtergrond.

De afbeeldingen en rekenvoorbeelden zijn voor dit artikel gemaakt. Het zijn didactische schema’s, geen kopieën van historische inscripties.

Newton’s methode met verschillentabel

Geplaatst op 5 september 2026 door admin

Newtons methode en de verschillentabel

Wanneer we de waarden van een polynoom kennen voor enkele opeenvolgende gehele getallen, kunnen we met een verschillentabel vaak heel eenvoudig verdere functiewaarden bepalen.

De methode is vooral handig wanneer de waarden van $x$ telkens één eenheid verschillen.

Het basisidee

Stel dat we een polynoom $f(x)$ kennen in de punten

$x=0,1,2,3,\ldots$

We berekenen eerst de verschillen tussen opeenvolgende functiewaarden:

$\Delta f(x)=f(x+1)-f(x).$

Daarna berekenen we opnieuw verschillen:

$\Delta^2 f(x)=\Delta f(x+1)-\Delta f(x),$

en zo verder.

Voor een polynoom van graad $n$ worden de $n$ -de verschillen constant.

$\begin{array}{c|c} \text{graad van het polynoom} & \text{constante verschillen}\\ \hline 1 & \text{eerste verschillen}\\ 2 & \text{tweede verschillen}\\ 3 & \text{derde verschillen}\\ 4 & \text{vierde verschillen} \end{array}$

Deze eigenschap laat toe om een tabel verder aan te vullen zonder eerst het volledige polynoom te bepalen.

Voorbeeld 1: een lineair polynoom

Gegeven:

$f(0)=2,\qquad f(1)=5,\qquad f(2)=8.$

De verschillentabel is:

$\begin{array}{c|c|c} x&f(x)&\Delta f\\ \hline 0&2&3\\ 1&5&3\\ 2&8& \end{array}$

De eerste verschillen zijn constant:

$3,3.$

Het volgende verschil is dus opnieuw $3$ . Daarom:

$f(3)=8+3=11.$

Voorbeeld 2: een kwadratisch polynoom

Neem:

$f(0)=1,\qquad f(1)=4,\qquad f(2)=9,\qquad f(3)=16.$

De verschillentabel wordt:

$\begin{array}{c|c|c|c} x&f(x)&\Delta f&\Delta^2f\\ \hline 0&1&3&2\\ 1&4&5&2\\ 2&9&7&\\ 3&16&& \end{array}$

De eerste verschillen zijn

$3,5,7,$

en de tweede verschillen zijn

$2,2.$

Omdat de tweede verschillen constant zijn, past dit bij een tweedegraadspolynoom.

Om de volgende waarde te vinden, zetten we de tabel verder. Het volgende tweede verschil blijft $2$ .

Het volgende eerste verschil wordt:

$7+2=9.$

Daarom:

$f(4)=16+9=25.$

Voorbeeld 3: een derdegraadspolynoom

Neem de waarden:

$0,\quad 1,\quad 8,\quad 27,\quad 64.$

Dit zijn de waarden van

$f(x)=x^3$

voor $x=0,1,2,3,4$ .

De verschillentabel is:

$\begin{array}{c|c|c|c|c} x&f(x)&\Delta f&\Delta^2f&\Delta^3f\\ \hline 0&0&1&6&6\\ 1&1&7&12&6\\ 2&8&19&18&\\ 3&27&37&&\\ 4&64&&& \end{array}$

De derde verschillen zijn constant:

$6,6.$

Ook hier zien we dus precies het gedrag dat hoort bij een derdegraadspolynoom.

Een onbekende volgende waarde bepalen

Stel dat een tweedegraadspolynoom de waarden heeft

$3,\quad 6,\quad 11,\quad ?$

We maken opnieuw een verschillentabel:

$\begin{array}{c|c|c|c} x&f(x)&\Delta f&\Delta^2f\\ \hline 0&3&3&2\\ 1&6&5&\\ 2&11&& \end{array}$

Omdat het om een tweedegraadspolynoom gaat, moeten de tweede verschillen constant zijn. Dus blijft

$\Delta^2f=2.$

Het volgende eerste verschil wordt:

$5+2=7.$

Daarom is de volgende functiewaarde:

$11+7=18.$

Dus:

$\boxed{f(3)=18}.$

Waarom is deze methode nuttig?

Een polynoom kunnen we altijd schrijven als

$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n.$

Maar als verschillende functiewaarden gegeven zijn, leidt het bepalen van al die coëfficiënten vaak tot een vrij groot stelsel vergelijkingen.

Met een verschillentabel is dat meestal niet nodig. Wanneer de waarden van $x$ opeenvolgende gehele getallen zijn, kunnen we rechtstreeks met de functiewaarden werken.

De methode is daarom bijzonder geschikt voor:

interpolatie;
getallenrijen die door een polynoom bepaald worden;
wiskundeolympiades en andere wedstrijdopgaven;
het bepalen van een volgende functiewaarde;
het herkennen van de graad van een polynoom.

Samengevat

Voor een polynoom van graad $n$ geldt:

$\boxed{\text{de }n\text{-de verschillen zijn constant}}$

Daarom kan men een verschillentabel maken en die vervolgens verder aanvullen.

De methode van Newton is eenvoudig, overzichtelijk en vaak veel sneller dan het expliciet bepalen van het polynoom zelf.