Nootje 5

Zoek het bereik van f(x) = G(x) + G(2x), waarbij G(x) het grootste geheel getal is kleiner of gelijk aan x.

Antwoord Klik hier

Opgave 27

Uit {1,2,…,n} worden 4 opeenvolgende even getallen verwijderd. De overgebleven getallen hebben een gemiddelde van 51+ 9/16. Bepaal alle viertallen opeenvolgende even getallen die hieraan voldoen.
Antwoord Klik hier

Een combinatorisch probleem

Je beschikt over 7 verschillende flessen wijn en je hebt 7 proevers.  Het is niet praktisch alle 7 proevers alle 7 flessen te laten beoordelen, dus besluiten we volgende test te doen:

  • Iedereen proeft van  eenzelfde aantal flessen.
  • Elk paar van flessen wordt door exact 1 gemeenschappelijke persoon geproefd.
  • Elk paar van proevers proeft exact 1 gemeenschappelijke wijn.

Kan die test worden uitgevoerd? En wat als je de 7 vervangt door een ander aantal? Dit type van problemen is van groot belang voor statistici en behoort tot de tak van de combinatorische ontwerp theorie. Voor 7 is het probleem oplosbaar. Geef de 7 proevers een nummer van 1 tot 7 en de flessen een label A tot G. De test kan dan worden uitgevoerd door iedereen 3 flessen te laten proeven:
1:{A,B,C}   2:{A,D,F}   3: {B,D,E}   4:{A,E,G}   5: {C,E,F}    6:{B,F,G}   7:{C,D,G}

Deze oplossing heeft ook een mooie grafische voorstelling in volgende figuur waar de proevers voorgesteld worden door lijnen en de flessen door punten. Je moet dus 7 lijnen tekenen tussen 7 punten zodat elk paar punten juist 1 lijn gemeen heeft en zodat elk paar lijnen juist 1 punt gemeen heeft.

 

Je kan in ons voorbeeld 7 veranderen door een getal n van de vorm : n=q^2+q+1 met q een priemmacht. De overeenkomstige voorstelling geeft dan een projectief vlak van orde q+1. Dit vlak heeft q^2+q+1 punten en q^2+q+1 lijnen . Elke lijn bevat juist q+1 punten en door elk punt gaan exact q+1 lijnen. In bovenstaand voorbeeld is q=2.

Nog een goniometrische ongelijkheid

In een driehoek met hoeken \alpha,\beta en \gamma geldt:

    \[\cot \alpha.\cot \beta.\cot \gamma \leq \frac{\sqrt{3}}{9}\]

  • Als één van de hoeken groter is dan 90^{\circ} dan is de cotangens ervan negatief en klopt de eigenschap zeker.
  • Veronderstel dus dat alle hoeken scherp zijn, dan is de tangens functie convex en volgt uit de stelling van Jensen dat:  \tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma \geq 3\tan(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3})=3\sqrt{3}.
  • Men kan eenvoudig controleren dat \tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha .\tan \beta .\tan \gamma en dus is  \tan \alpha .\tan \beta .\tan \gamma \geq 3\sqrt{3}.
  • Als we het omgekeerde nemen vinden we dat  \cot \alpha .\cot \beta .\cot \gamma \leq \frac{1}{ 3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}.