Axioma van Archimedes

Archimedes ( 287 BC-212 BC) was één van de grootste wiskundigen uit de oudheid, alhoewel hij misschien meer bekend is als natuurkundige en uitvinder.

Een welbekend resultaat van hem is het axioma van Archimedes.

    \[\forall x<y \in \mathbb{N},  \exists n \in \mathbb{N} : nx \geq y\]

Dit resultaat komt voor in zijn werk : De kwadratuur van de parabool.
Archimedes zelf vermeldt erbij dat dit resultaat reeds gebruikt werd door sommige van zijn voorlopers en dat het  reeds een belangrijke rol gespeeld heeft in het werk van Eudoxos. (400BC – 347 BC). Vandaar dat het axioma ook bekend staat als het axioma van Eudoxos. Dit axioma vormt de basis van de uitputtingsmethode ( exhaustie methode ) waarbij problemen met oneindigheid opgelost werden met een soort limietovergangen.

 

Spelstrategie: gunstige en ongunstige situaties

Aan de hand van een eenvoudig spel, proberen we enkele begrippen betreffende spelstrategiën uit te leggen:

Een willekeurig aantal lucifers n ligt op één hoop. Twee spelers nemen om de beurt 1,2 of 3 lucifers weg. De speler die de laatste lucifer(s) neemt, die wint.

Het is duidelijk dat men verliest als, na jouw beurt, er voor de tegenspeler nog 1,2 of 3 lucifers overblijven. Immers hij/zij kan die gewoon wegnemen en zo het spel winnen. Als je echter je tegenspeler kan confronteren met 4 lucifers dan win jij. Want de andere speler moet 1,2 of 3 lucifers wegnemen en daarna neem jij gewoon de rest weg en je wint. Als na je beurt  er 5,6,of 7 lucifers overblijven dan kan de tegenstreven er zoveel wegnemen dat er juist 4 overblijven en dan komt hij/zij in een gunstige situatie terecht. Met andere woorden situaties met 4,8,12,…zijn dus gunstig.

We bekijken dus de spelsituatie na de zet van een speler. We noemen de situatie gunstig als de speler door zijn zet zijn eigen winst vastlegt. In vorig voorbeeld zijn alle viervouden dus gunstige sitiuaties. Een ongunstige situatie kan zowel tot winst als verlies leiden. Ze leidt meestal tot verlies, tenzij de tegenspeler een fout maakt. De winnende spelstrategie bestaat erin als eerste in een gunstige situatie terecht te komen en na elke zet van de tegenstrever de ontstane ongunstige stituatie weer om te buigen in een gunstige situatie.

Het is natuurlijk mogelijk dat de tegenstrever op een moment zelf in een gunstige situatie verzeilt en dan is elke zet voor jou verkeerd. Toch kan je nog een optimale spelstrategie ontwikkelen gebaseerd op het feit dat de tegenstrever een fout kan maken. Dit is waarschijnlijker als de situatie ingewikkeld wordt.  Daardoor wordt meestal een minimum zet gedaan zodat er veel mogelijkeheden overblijven om te kiezen en dus heb je zo een grotere kans geschapen om in de fout te gaan. In het besproken spel zou je dan 1 lucifer wegnemen.

Opgave 16

Voor 3 positieve getallen a,b en c  geldt:

    \[\frac{9}{2(a+b+c)}\leq \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\leq \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)\]

Antwoord Klik hier

Vrienden of niet

 

In elke groep van 6 personen zijn er altijd 3 die elkaar kennen of 3
die elkaar niet kennen.

Dit is niet noodzakelijk waar in een groep van 5
personen.

Het probleem is ook gekend met 6 punten waarbij alle verbindingslijnstukken ofwel in het rood ofwel in het blauw gekleurd worden. Bewijs dat minstens één  driehoek kan gevonden worden die drie gelijkgekleurde zijden heeft. We hebben hier te maken met een volledige graaf waarvan de zijden in twee mogelijke kleuren worden ingekleurd.

Wij gaan het probleem aanpakken in een iets moeilijker versie:

Gegeven 17 punten: A_1, A_2, A_3, . . . . , A_{17} die willekeurig in
het vlak  liggen. Men trekt tussen deze punten alle verbindingslijnstukken, hetzij rood, hetzij blauw, hetzij groen. Bewijs dat minstens één  driehoek kan gevonden worden die drie gelijkgekleurde zijden heeft.

 

 

  • Kies een willekeurig punt uit het zeventiental en beschouw de zestien verbindingslijnstukken die dat punt met de zestien andere punten verbindt.
  • Volgens het duivenhokprincipe is het steeds mogelijk uit die zestiental lijnstukken een zestal te vinden die dezelfde kleur hebben. Laten we aannemen dat de zes gekozen lijnstukken allemaal rood
    zijn.
  • De zes rode lijnstukken verbinden het eerstgekozen punt met een zestal andere punten. We richten nu onze aandacht op dat zestal en in het bijzonder op hun verbindingslijnstukken.
  • Vinden we bij die verbindingslijnstukken een rood exemplaar, dan vormt dit met de beide rode liinstukken  een rode driehoek en dan zijn we klaar.
  • Het ergste, wat ons overkomen kan, is  dat die zes punten alleen groene en blauwe verbindingslijnstukken hebben. Laten we dus aannemen, dat dit het geval is.
  • Kies uit het zestal punten nu een willekeurig punt uit en beschouw de vijf verbindingslijnstukken van dit punt met de vijf andere punten van het zestal.  Kies er drie uit die dezelfde kleur hebben .Dat dit mogelijk is volgt weerom uit het duivenhokprincipe.
  • Laten we aannemen, dat ze alle drie groen zijn. Tenslotte letten we op de verbindingslijnstukken van die drie andere punten. Deze
    zijn groen of blauw. Is er een van die verbindingslijnstukken groen, hebben we een groene driehoek gevonden. En er is geen groene bij, dan vormen ze zelf een blauwe driehoek.

 

We kunnen dit veralgemenen voor n kleuren . Noteer met a_n het aantal punten dat er nodig is om met n kleuren steeds een driehoek te vinden met gelijkgekleurde zijden. Dan geldt:

    \[a_n=n.a_{n-1}+2-n\]

 

 

Multiplicatieve functies

Een rekenkundige functie is een functie f:\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{C}. Een rekenkundige functie drukt een zekere eigenschap van de natuurlijke getallen uit. Een rekenkundige functie f is  multiplicatief  als voor elk tweetal onderling ondeelbare getallen m en n geldt dat

    \[f(m.n)=f(m).f(n)\]

Omdat elk natuurlijk getal ontbonden kan worden in priemfactoren, is een multiplicatieve functie gekend als je de beelden van de priemfactoren kent.

In volgende tekst worden enkele belangrijke multiplicatieve functies bestudeerd:

  • De functie die het aantal delers van een getal berekent.
  • De functie die de som berekent van alle delers van een getal.
  • De Möbius functie.
  • De Dirichlet functie.
  • De Euler functie die van een getal berekent hoeveel getallen er onderling ondeelbaar zijn met het getal.