De schoonheid van de wiskunde volgens B.Russell

Over de juistheid én de schoonheid van de wiskunde, volgende uitspraak van B.Russell (1872-1970), een Britse filosoof, historicus, logicus en wiskundige:

“Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty—a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show.”

 

Wiskundige Haiku’s

Een Haiku is een Japanse dichtvorm geschreven in 3 regels, die respectievelijk 5,7 en 5 lettergrepen tellen. De haiku drukt, in de klassieke vorm, een ogenblik ervaring uit, soms gelinkt aan en geïnspireerd door zen. De haiku is een vingerhoed vol emotie, waarin weinig ruimte is voor ontledingen en benaderende omschrijvingen.

Omdat wiskunde ook poëzie is, kan je proberen wat wiskundige begrippen in de Haiku te verwerken. Hieronder enkele voorbeelden gemaakt door Diana Huygens.

 

 

Druppels zijn bollen
trekken lijnen op de ruit,
cirkels in de plas

 

De ramen tranen
concentrische cirkels op
het vijverwater

 

Ik zucht en krijg er
langzaamaan een punthoofd van
een kegel gelijk

 

 

Gebruikmaken van de symmetrie

Soms kan je, door gebruik te maken van de  symmetrie  in de tekening of de symmetrie van de gegevens, de opgave aanzienlijk vereenvoudigen.

Een voorbeeld: Los op in \mathbb{R}:

    \[(x+2013)(x+2014)(x+2020)(x+2021)=44\]

  • Dit is een vierdegraads vergelijking. Hiervoor kennen we geen algemene oplossingsmethode.
  • Dus: haakjes uitwerken en dan ofwel proberen te ontbinden in factoren ofwel de regel van Horner toepassen. Maar dit is niet aantrekkelijk want de getallen in de opgave zijn nogal groot.
  •  De getallen 2013,2014,2020 en 2021 liggen wel symmetrisch rond 2017!
  •  We vervangen x+2017 door een nieuwe variabele t. De opgave wordt nu:

        \[(t-4)(t-3)(t+3)(t+4)=44\]

    .

  • Dit kan je netjes uitrekenen tot:

        \[(t^2-16)(t^2-9)=44\]

  • Verder uitrekenen geeft: t^4-25t+100=0. Hieruit volgt dat t^2=20 of t^2=5.
  • De 4 oplossingen voor t zijn dan: \pm \sqrt{5} en \pm \sqrt{20}. En dus moet \newline x=-2017 \pm \sqrt{5} of x=-2017 \pm \sqrt{20}.

Hoeken

Formuleren we een aantal eigenschappen van hoeken:

  • In onderstaande figuur zijn \overhat{S}_1 en \overhat{S}_3 overstaande hoeken. Overstaande hoeken zijn gelijk. De hoeken \overhat{S}_1 en \overhat{S}_4 zijn aanliggende hoeken . Hun som is 180^\circ.
    Daarom noemen we ze nevenhoeken.
  • Hoeken waarvan de benen onderling evenwijdig lopen zijn gelijk of supplementair  
  • Hoeken waarvan de benen onderling loodrecht op elkaar staan, zijn gelijk of supplementair.
      
  • Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de niet aanliggende binnenhoeken.
  • Een driehoek kan maar 1 rechte hoek en 1 stompe hoek hebben.
  • De som van de hoeken van een driehoek is 180^\circ.
  • De som van de binnenhoeken van een convexe n-hoek is (n-2).180^\circ.
  • Verlengt men, in eenzelfde richting, al de zijden van een convexe veelhoek, dan is de som van de gevonden buitenhoeken gelijk aan 360^\circ.

 

 

 

 

De paradox van Bertrand

Sinds Zeno aantoonde dat de snelvoetige Achilles de schildpad nooit zou inhalen, hebben vele paradoxen de wiskundige gemeenschap bezig gehouden. Elke paradox draagt bij tot een dieper inzicht in de wiskunde die men bedrijft.

Ook de kanstheorie is niet gespaard gebleven van haar portie paradoxen. Begin vorige eeuw waren verschillende wiskundigen zich bewust van bepaalde problemen bij het berekenen van kansen. Onder andere Joseph Bertrand( Franse wiskundige, die leefde van 1822 tot 1900) wilde beklemtonen dat een degelijke fundering van verscheidene, intuïtief gebruikte begrippen noodzakelijk was. Het was wachten tot 1933 om via het monumentale werk van A.N.Kolmogorov te ontdekken dat de ideale axiomatische theorie voor de kansrekening die der maattheorie is.

Besluit: een uitspraak in kanstheorie heeft enkel zin met betrekking tot een bepaalde kansruimte, in het bijzonder met betrekking tot een bepaald universum.

 

Lees hier meer over het koordenprobleem van Bertrand.