De volhardingswaarde

Neem een willekeurig getal, zeg 56 en vermenigvuldig de cijfers. dan bekom je 5*6=30. Bij dit getal neem je opnieuw het product van de cijfers: 3*0=0. Als je nu verder zou gaan met het product van de cijfers te nemen, dan verandert er niets meer. Na 2 stappen bekom je dus een getal van 1 cijfer. We noemen 2 de volhardingswaarde van het gegeven getal 56.

Algemeen: Neem dus een willekeurig getal, vermenigvuldig alle cijfers met elkaar, zodat je een nieuw getal krijgt. Als dat getal meerdere cijfers bevat, herhaal je het proces van cijfers vermenigvuldigen, totdat je maar 1 cijfer over houdt. Het aantal stappen dat je daarvoor nodig hebt noem je de volhardingswaarde van het gegeven getal.

Een programma in Python:

Is er een maximaal aantal stappen voor een willekeurig getal? Dit ‘eenvoudig’ probleem werd bedacht door Neil Sloane, een Amerikaanse wiskundige.

We kennen hem het best van zijn website (oeis.org) met zijn verzameling getallenreeksen. In 1973 schreef hij in Journal of Recreational Mathematics een artikel over het probleem van de volhardingswaarde. Hij beweerde dat we maximaal 11 stappen kunnen maken eer we een enkel cijfer over houden, hoe groot het begin getal ook is. Dit vermoeden werd tot op heden nog niet bewezen.

Het kleinste getal met volhardingswaarde 1 is uiteraard 10. Verder is 25 het kleinste getal met volhardingswaarde 2, 39 het kleinste getal met volhardingswaarde 3, 77 het kleinste getal met volhardings-waarde 4 en 679 het kleinste getal met volhardingswaarde 5.

De kleinste getallen met volhardingswaarden 6,7,8,9,10 en 11 zijn respectievelijk 6788,68889,2677889,26888999,3778888999 en 277777788888899.

 

Een mannen urinoir…

Een vraag van een collega wiskundeleraar van het HDC…

In een mannentoilet staan 13 urinoirs op een rijtje. Persoon 1 komt binnen en kan kiezen waar hij zich zet. Nadien komt persoon 2 binnen en kiest een zo ver mogelijke plaats van persoon 1. Daarna komt persoon 3 binnen en maximaliseert de afstand tot de persoon waar hij het dichtste tegen staat. Indien er meerdere plaatsen zijn die de afstand maximaliseren, dan kiest hij willekeurig. Er blijven personen binnen komen die aan hetzelfde principe de urinoirs vullen. Personen gaan zich nooit vlak naast elkaar zetten (er blijft altijd minstens 1 plek tussen) Waar moet de eerste persoon zich nu zetten zodat de urinoirs optimaal gevuld zullen zijn? En hoe ziet zo’n optimale vulling er uit? Voor welke hoeveelheid urinoirs zal het altijd optimaal gevuld kunnen zijn? 

Een mogelijke oplossing vind je hier.

 

Griekse wiskunde : deel 9

Na Apollonius begint voor de Griekse meetkunde een periode van stagnatie en verval. Personen zoals Heron van Alexandrië (1ste eeuw NC), Menelaos van Alexandrië(1ste eeuw NC), Theon van Alexandrië(4e eeuw NC), Proclus en Pappus leveren weinig nieuwe bijdragen , maar brengen hoofdzakelijk commentaren op en aanvullingen van de werken van de oude meesters. De laatste Alexandrijnse wiskundige is Hypatia, de eerste bekende vrouwelijke wiskundige.

De voornaamste redenen van de teleurgang van de Griekse meetkunde zijn:

  • Het gebrek aan belangstelling van de Romeinse keizers voor de zuivere wetenschappen.
  • De uitbuiting van de Hellenistische landen door de Romeinen, waardoor het wetenschappelijk onderzoek niet langer financieel gesteund werd.
  • Het ontbreken van zuiver-algebraïsche methodes ( en vooral symbolen) waardoor een verdere ontwikkeling bemoeilijkt wordt.

22/7

Vroeger vertelde men ons dat we voor \pi de breuk \frac{22}{7} mochten nemen. Natuurlijk drong het niet bij iedereen door dat dit een benadering was. Een bewijsje:

Neem de functie

    \[f(x)=\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\]

  • f is strikt positief en continu tussen 0 en 1.
  • Dus is \int_0^1f(x) dx>0.
  • De Euclidische deling geeft \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}=x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}.
  • Een primitieve functie van f is dan \frac{1}{7}x^7-\frac{4}{6}x^6-x^5-\frac{4}{3}x^3+4x-4\text{Bgtan }(x).
  • Bijgevolg is \int_0^1f(x) dx= \frac{22}{7}-\pi
  • Uit het tweede puntje volgt dan:
  • Narekenen op rekentoestel geeft \frac{22}{7}=3,142857142857,... en \pi=3,14159265....

Grieks wiskunde : deel 8

Apollonius van Perga (262-180 v.C.) is na Euclides en Archimedes, de derde en laatste grote Griekse wiskundige.

Hij is de auteur van de beroemde verhandeling in 8 delen : de Konica, over kegelsneden. Hierin definieert hij de kegelsneden als vlakke doorsneden van kwadratische kegels en ontwikkelt hij, in een klare en zuiver meetkundige stijl, een studie van deze krommen.

Gebruik makend van methodes van de meetkundige algebra, stelt hij de kegelsneden voor door hun zogenaamde symptoom . Voor ons betekent dit niet minder of meer een carthesische vergelijking. Het hoeft ons dan ook niet te verwonderen dat dit werk van Apollonius aan de basis ligt van latere studies van Descartes en Fermat, waaruit de moderne analytische meetkunde is ontstaan.