Opgave 4

Onderzoek de convergentie van volgende rij

    \[u_n=\frac{1}{e}\int_0^1 x^n.e^x \ dx\]

Antwoord Klik hier

Giscorrectie

Bij  een  test die bestaat uit meerkeuze vragen kent men gewoonlijk aan elk goed antwoord 1 punt toe en aan elk fout of blanco antwoord 0 punten.

 

Noemen we X de stochast die het aantal punten weergeeft bij het gissen van één vraag met 4 antwoord alternatieven ( waarvan er slecht 1 juist is).

De kansverdeling van X is \begin{array}{1|cc} x&0&1 \\  \hline  P(X=x)&\frac{3}{4}&\frac{1}{4} \end{array}

Hieruit bekomen we de verwachtingswaarde E(x)= 0.\frac{3}{4}+1.\frac{1}{4}=0,25. Een student die blindelings gokt, heeft in dit evaluatiesysteem toch een positieve score. Om het gokken tegen te gaan zal men c punten aftrekken bij een fout antwoord. We bepalen de waarde van c zodat de student noch een positieve, noch een negatieve gemiddelde score zal hebben. Met andere woorden: E(x)=0.

De kansverdeling wordt nu: \begin{array}{1|cc} x&-c&1 \\  \hline  P(X=x)&\frac{3}{4}&\frac{1}{4} \end{array} en dus is E(x)=0 \Longleftrightarrow -c.\frac{3}{4}+1.\frac{1}{4}=0 \Longleftrightarrow c=\frac{1}{3}. We trekken dus \frac{1}{3} punt af bij een fout antwoord.

We veralgemenen: bij vragen met n keuzemogelijkheden geven we dan 1 punt voor een goed antwoord en voor een blanco 0 punten. Voor een fout antwoord trekken we \frac{1}{n-1} punten af

Ruimtemeetkunde

In het zesde jaar van het MO wordt een cursus gegeven over ruimtemeetkunde. In dit artikel wordt een andere manier van benadering gegeven dan de meeste handboeken. We steunen op de theorie van de vectorruimten. We onderscheiden twee delen:

  1. Definitie van punten, vectoren, rechten en vlakken. We bespreken hun onderlinge ligging en evenwijdigheid en bewijzen een aantal stellingen daarrond. Dit vindt je hier.
  2. Via de definitie van een skalair product kunnen we ook spreken over loodrechte stand, afstanden en hoeken. De bespreking daarvan vindt je hier.

Evenwijdige rechten

Evenwijdige rechten zijn rechten, die in een zelfde vlak liggen en elkaar niet snijden.

Een paar eigenschappen:

  • Twee rechten die beiden loodrecht staan op een derde rechte, zijn evenwijdig.
  • Door een punt buiten een rechte kan juist één evenwijdige rechte aan de eerste getrokken worden.
  • Twee rechten, die evenwijdig lopen met een derde, lopen onderling evenwijdig.
  • Lopen twee rechten evenwijdig, dan staat een loodlijn op de ene ook loodrecht op de andere.

Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte ontstaan er verschillende soorten van hoeken: verwisselende binnenhoeken (zoals \widehat{O_4} en \widehat{U_2}), verwisselende buitenhoeken (zoals \widehat{O_1} en \widehat{U_3}), overeenkomstige hoeken (zoals \widehat{O_3} en \widehat{U_3}), binnenhoeken aan de zelfde kant van de snijlijn (zoals \widehat{O_3} en \widehat{U_2}) en buitenhoeken aan de zelfde kant van de snijlijn (zoals \widehat{O_2} en \widehat{U_3}).

Enkele eigenschappen:

  • Al de verwisselende binnenhoeken  en al de verwisselende buitenhoeken zijn twee aan twee gelijk.
  • Al de binnenhoeken en al de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn zijn twee aan twee elkaars supplement.
  • De overeenkomstige hoeken zijn gelijk.
  • Twee rechten zijn evenwijdig, als ze een derde rechte onder gelijke verwisselende binnenhoeken snijden.
  • Twee rechten zijn evenwijdig, als ze een derde rechte onder gelijke verwisselende buitenhoeken snijden.
  • Twee rechten zijn evenwijdig, als ze een derde rechte snijden zodat de binnen- of buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn, gelijk zijn.
  • Twee rechten zijn evenwijdig, als ze een derde rechte onder gelijke overeenkomstige hoeken snijden.