Opgave 20

AB is een koorde en P een willekeurig punt van een gegeven cirkel. Q is de loodrechte projectie van P op AB en R en S zijn de loodrechte projecties van P op de raaklijnen aan de cirkel in A en B. Bewijs dat PQ het meetkundig gemiddelde is van PR en PS.

 

 

Antwoord Klik hier

Enkelvoudige groepen

De classificatie stelling van eindige enkelvoudige groepen classificeert alle eindige enkelvoudige groepen. Deze groepen zijn de bouwstenen van alle eindige groepen, zoals de priemgetallen de bouwstenen zijn van de natuurlijke getallen. De stelling beslaat meer dan 10000 pagina’s verspreid over meer dan 500 artikels in de periode van 1955 tot 1983. Michael Aschbacher en Steve Smith hebben de laatste puntjes op de spreekwoordelijke i geplaatst.

De enkelvoudige groepen zijn:

  • de cyclische groepen C_p van priem orde.
  • de alternerende groepen A_n met n \geq 5.
  • de Chevalley groepen en de gedraaide Chevalley groepen.
  • De Tits groep.
  • 26 sporadische groepen waaronder de 5 Mathieu groepen.

Een bespreking van al die groepen vind je in de “atlas van de eindige groepen ” van Conway,Curtis,Norton,Parker en Wilson.

Koordenvierhoeken

Een koordenvierhoek is een vierhoek waarbij de vier hoekpunten op een cirkel gelegen zijn.
Enkele eigenschappen:

  • Een koordenvierhoek is altijd convex.
  • Een vierhoek is een koordenvierhoek als en slechts als de overstaande hoeken supplementair zijn ( samen gelijk aan 180°).
  • |AB|.|CD|+|BC|.|AD|=|AC|.|BD|: de stelling van Ptolemaeus.
  • Een vierhoek is een koordenvierhoek als en slechts als de hoek gevormd door een zijde en een diagonaal gelijk is aan de hoek gevormd door de overstaande zijde en de overstaande diagonaal.
  • De hoogtepunten van de vier diagonaaldriehoeken vormen een driehoek die congruent is met de gegeven vierhoek.

Opgave 19

Controleer voor elk natuurlijk getal vanaf 7 of {n} \choose {7} deelbaar is door 12 en bereken de fractie van dergelijke getallen. Zoek de limiet van die fractie als je steeds meer getallen controleert.

Antwoord Klik hier

Opgave 18

n \in \mathbb{N}_0 is p-veilig ( met p een natuurlijk getal verschillend van 0), als het in absolute waarde meer dan 2 verschilt van alle p-vouden. Hoeveel natuurlijke getallen bestaan er die kleiner zijn dan 10000 en tegelijkertijd 7- veilig, 11-veilig en 13-veilig zijn?

 

Antwoord Klik hier