9801

Mooie decimale schrijfwijze! Kan je dit verklaren?

Nu is \frac{1}{99}=0,01010101...=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{100}. Verder is \frac{1}{9801}=\Big(\frac{1}{99}\Big)^2.

Je kan gemakkelijk narekenen dat

    \[\Big(\sum_{n=1}^{\infty}x^n\Big)^2=x.\sum_{n=1}^{\infty}nx^n\]

Vervangen we nu hierin x door \frac{1}{99}, dan krijgen we de gewenste decimale schrijfwijze. Maar waarom ontbreekt hierin de 98?

In de uitwerking staan de som \frac{98}{100^{98}}+\frac{99}{100^{99}}\frac{100}{100^{100}}=\frac{1}{100^{100}}(980000+9900+100)=\frac{99}{100^{98}}

Wat gebeurt er met \frac{1}{998001} en \frac{1}{99980001}?

Nog 2 opgaven over priemgetallen

De som van twee tweelingpriemen, groter dan 3, is deelbaar door 12.

Antwoord Klik hier

Veronderstel dat p een priemgetal is en dat allebei de oplossingen van x^2+px-444p=0 gehele getallen zijn, zoek dan de mogelijke waarden van p.

Antwoord Klik hier

2 opgaven over priemgetallen

Als p,q en r priemgetallen zijn groter dan 3, bewijs dan dat p^2+q^2+r^2 geen priemgetal is.

Antwoord Klik hier

Als 2^k+1 een priemgetal is, dan is k een macht van 2. Bewijs.

Antwoord Klik hier

Ingrid Daubechies

Ingrid Daubechies is een Vlaamse wiskundige, geboren in Houthalen op 17 augustus 1954. Ze is vooral bekend voor haar bijdrage aan de  theorie van de wavelets,  die gebruikt woede in beeldcompressie. De zogenaamde Daubechies wavelets vormen de basis van het JPEG2000 formaat dat in digitale cinema wordt gebruikt. Zij studeerde en doctoreerde aan de VUB en geeft momenteel les aan de Dure University in North Carolina. In een lovend artikel in de New York Times wordt zij de ‘Meryl Streep van de wiskunde ‘ genoemd (naar hoe een student haar noemde)

Men bestudeert hierbij wiskundige structuren  die gezien worden als een soort van golfjes. Daubechies ontdekte dat er diverse soorten van wavelets bestaan. Zij beschreef hiervan de eigenschappen in haar intussen klassiek geworden publicatie: Ten Lectures on Wavelets (1992).

Ze probeert ook haar wiskundige theorie praktisch te gebruiken.  We hebben hierboven al gesproken over het JPEG2000 formaat. Maar ook  de Amerikaanse inlichtingendienst FBI kon  profijt  trekken uit haar theorie: dankzij de ‘Daubechies Wavelets’ slaagde men erin om alle beschikbare vingerafdrukken drastisch te comprimeren, waardoor persoonsidentificaties en identiteitscontroles nu veel efficiënter gebeuren.

wavelets

 

Dat Daubechies sterk betrokken blijft bij de praktijk, blijkt ook uit haar initiatief om sedert 2010 via de VUB jaarlijks de wedstrijd ‘Wiskunnend Wiske’ te organiseren. Op die manier kruisen ieder jaar in Vlaanderen zowat 2.000 scholieren, vooral meisjes, de degens bij het zoeken naar oplossingen voor intrigerende wiskundige opdrachten.

Archimedische lichamen

De Platonische lichamen die we zagen zijn regelmatig. Dat wil zeggen dat al hun zijvlakken identiek zijn. De Archimedische lichamen, vernoemd naar Archimedes, zijn half regelmatig, omdat ze twee of meer soorten vlakken hebben.

Alhoewel de Archimedische lichamen verschillende vlakken hebben, zijn hun hoekpunten regelmatig: ze zijn allemaal hetzelfde. Deze vormen zien er vreemder uit en zijn minder bekend, maar als we kijken naar het aantal vlakken, ribben en hoekpunten, zien we de formule terug die we ook bij de Platonische lichamen zagen : V + H – R = 2

Zeven van de Archimedische lichamen zijn gevormd door het afknotten van de platonische lichamen., met andere woorden door de hoeken er af te snijden : 

  • Afgeknotte tetraëder
  • Afgeknotte kubus
  • Afgeknotte octaëder
  • Afgeknotte dodecaëder
  • Afgeknotte icosaëder
  • Afgeknotte kuboctaëder
  • Afgeknotte icosidodecaëder

Drie andere van de Archimedische lichamen zijn gevormd door het uitbreiden van de platonische lichamen. 

  • Icosidodecaëder
  • Romboëdrische icosidodecaëder
  • Kuboctaëder

De twee laatste  Archimedische lichamen zijn gevormd door de vlakken van een kubus en een dodecaëder naar buiten te bewegen, zodat elk vlak een draai krijgt. Bij de stompe Archimedische lichamen wordt elke veelhoek omringd door gelijkzijdige driehoeken.

  • Stompe kubus
  • Stompe dodecaëder