Categoriearchief: Opgaven

Opgave 38

Geplaatst op door

Antwoord

  • Bekijken we het probleem wat algemener en gebruiken we de eigenschap dat de raaklijnen vanuit een punt aan een cirkel evenleng zijn.
  • Noteren we de straal van de ingeschreven cirkel met x .
  • We passen  nu de stelling van Pythagoras toe: 5^ 2=(x+2)^2+(x+3)^2.
  • Deze vierkantsvergelijking heeft als oplossing 1 en -6. Bijgevolg is x=1.
  • De gevraagde oppervlakte is dan \frac{1}{2}(2+1)(3+1)=6.

Opgave 36

Geplaatst op door

Wanneer deelt een natuurlijk getal n de uitdrukking 10^k-1 voor een natuurlijke k?

Spoiler

  • Als n een veelvoud is van 2 of 5, dan is de enige mogelijkheid de triviale oplossing k=0.
  • Veronderstel dus verder dat n geen priemfactor 2 of 5 bevat.
  • Noteer met K(n) de kleinste, van 0 verschillende waarde van k, waarvoor n|(10^k-1).
  • Proberen we een aantal waarden uit:
    \begin{array}{c|c} n&K(n) \\ \hline \\ 3&1\\7&6\\9&1\\11&2 \end{array}
  • Stel nu dat n, geen priemfactor 2 of 5 bevat, en een deler is van 10^k-1, dan bestaat er een natuurlijk getal a zodat n.a=10^k-1.
  • Noteer de decimale schrijfwijze van a als a=a_110^{k-1}+\cdots+a_{k-1}10+a_k.
  • Dan is a_110^{k-1}+\cdots+a_{k-1}10+a_k=\frac{10^k}{n}-\frac{1}{n}.
  • Bij deling, van deze laatste vergelijking door 10^k vinden we:

        \[0,a_1\cdots a_{k-1}a_k=\frac{1}{n}-\frac{10^{-k}}{n}\]

  • Als we steeds maar opnieuw delen door 10^k en alle bekomen formules lid per lid bij elkaar optellen vinden we

        \[\frac{1}{n}=0,a_1\cdots a_{k-1}a_ka_1\cdots a_{k-1}a_k\cdots\]

  • Omgekeerd is het eenvoudig te zien dat, als \frac{1}{n} een decimale ontwikkeling zoals hierboven heeft, dat n een deler is van 10^k-1.
  • Besluit: Als n geen priemfactor 2 of 5 bevat, dan in K(n) gelijk aan de lengte  van de periode van \frac{1}{n}.
  • Natuurlijk is elk veelvoud van k ook een goede oplossing.

 

Opgave 35

Geplaatst op door

N is een natuurlijk getal. Een goede verdeling van N is een partitie van \{1,2,\cdots,N\} in twee gescheiden, niet lege deelverzamelingen S_1 en S_2, zo dat de som van de elementen van S_1 gelijk is aan het product van de elementen van S_2. Bewijs dat voor N\geq 5 er altijd een goede verdeling bestaat.

Spoiler

  • Laten we eerst even op verkenning gaan en kijken of we een goede verdeling vinden voor 5,6 en 7.
  • Voor 5 vinden we S_1=\{3,5\} en S_2=\{1,2,4\}.
  • Voor 6 vinden we S_1=\{3,4,5\} en S_2=\{1,2,6\}.
  • Voor 7 vinden we S_1=\{2,4,5,7\} en S_2=\{1,3,6\}.
  • In deze voorbeelden vinden we S_21 van de vorm \{1,x,y\}. Proberen we eens of dit altijd kan! 
  • S_1 is het complement van S_2 dus we krijgen een goede verdeling als

        \[\frac{N(N+1)}{2}-1-x-y=xy\]

  • Uitgewerkt geeft dit (x+1)(y+1)=\frac{N(N+1)}{2}.
  • Als nu N\geq 5 en N even is , dan kunnen we voor x en y volgende oplossingen vinden:

        \[x=\frac{N}{2}-1 \text{ en } y=N\]

  • Als N echter oneven is, vinden we:

        \[x=\frac{N+1}{2}-1 \text{ en } y=N-1\]

  • We hebben dus een constructie bewijs gegeven van het gevraagde.

Opgave 34: Een integraal…

Geplaatst op door

Bereken A=\int_0^{\frac{\pi}{4}} ln(1+tan x) dx

  • Gewone methoden werken hier niet.
  • Als een functie f gedefinieerd is op \left[a,b\right] dan kan je de functie spiegelen rond de middelloodlijn van dit lijnstuk en bekom je de functie g(x)=f(a+b-x).
  • Uit de definitie van de bepaalde integraal volgt dan dat \int_a^bf(x) dx=\int_a^b g(x) dx.
  • Passen we dit toe op de opgave , dan krijgen we: A=\int _0^{\frac{\pi}{4}} ln(1+tan(\frac{\pi}{4}-x)) dx.
  • Nu is tan(\frac{\pi}{4}-x)=\frac{1-tan x}{1+tan x}.
  • Zodat A=\int _0^{\frac{\pi}{4}} ln\Big( \frac{2}{1+ tan x}\Big) dx.
  • Gebruikmakend van de rekenregels voor logaritmen, volgt hieruit dat A=\int _0^{\frac{\pi}{4}} ln(2) dx -A.
  • Bijgevolg is A=\frac{\pi}{8} ln(2).