Opgave 34: Een integraal…

Bereken A=\int_0^{\frac{\pi}{4}} ln(1+tan x) dx

  • Gewone methoden werken hier niet.
  • Als een functie f gedefinieerd is op \left[a,b\right] dan kan je de functie spiegelen rond de middelloodlijn van dit lijnstuk en bekom je de functie g(x)=f(a+b-x).
  • Uit de definitie van de bepaalde integraal volgt dan dat \int_a^bf(x) dx=\int_a^b g(x) dx.
  • Passen we dit toe op de opgave , dan krijgen we: A=\int _0^{\frac{\pi}{4}} ln(1+tan(\frac{\pi}{4}-x)) dx.
  • Nu is tan(\frac{\pi}{4}-x)=\frac{1-tan x}{1+tan x}.
  • Zodat A=\int _0^{\frac{\pi}{4}} ln\Big( \frac{2}{1+ tan x}\Big) dx.
  • Gebruikmakend van de rekenregels voor logaritmen, volgt hieruit dat A=\int _0^{\frac{\pi}{4}} ln(2) dx -A.
  • Bijgevolg is A=\frac{\pi}{8} ln(2).

Nog 2 opgaven over priemgetallen

De som van twee tweelingpriemen, groter dan 3, is deelbaar door 12.

Antwoord
  • Veronderstel dus dat p>3 en dat  p en p+2 allebei priem zijn.
  • Hun som is dan S=2(p+1).
  • Omdat p oneven is , is p+1 even en is S dus zeker al deelbaar door 4.
  • p kan geen drievoud zijn. Het kan evenmin van de vorm 3k+1 zijn , want anders zou p+2=3(k+1) en dus niet priem zijn.
  • Bijgevolg is p van de vorm 3k-1 en dan is S=6k. Dus is S deelbaar door 3 en samen met een vorig resultaat is S dus deelbaar door 12.

Veronderstel dat p een priemgetal is en dat allebei de oplossingen van x^2+px-444p=0 gehele getallen zijn, zoek dan de mogelijke waarden van p.

 

Antwoord

 

  • De discriminant van de gegeven vergelijking is p^2+4*444p.
  • Als de vergelijking gehele oplossingen moet hebben moet  dit zeker een volkomen kwadraat zijn , dus is er  een gehele q met q^2=p^2+4*444p=p(p+4*444).
  • Vermits hierboven p een deler is van het rechterlid en omdat p priem is moet p ook een deler zijn van q en dan kunnen we schrijven dat q=p.r, met r een geheel  getal.
  • Ingevuld vinden we zo dat p(p+4*444)=p^2r^2 of pr^2=p+4*444.
  • Hieruit volgt dat p een deler moet zijn van 4*444. De mogelijke waarden voor p zijn dan 2, 3 en 37. 
  • We kunnen p = 2 of  p = 3 in de oorspronkelijke vergelijking en we zien dat er dan geen gehele oplossingen zijn. Wel bij p=37.
  • Er is dus slechts 1 oplossing, namelijk p = 37.

2 opgaven over priemgetallen

Als p,q en r priemgetallen zijn groter dan 3, bewijs dan dat p^2+q^2+r^2 geen priemgetal is.

Antwoord
  • Elk priemgetal x is van de vorm 3k\pm 1.
  • Dan is x^2 van de vorm 3l+1
  • De som van 3 priemgetallen is dan : p^2+q^2+r^2=3l+1+3n+1+3m+1=3(l+m+n+1).
  • Dus is p^2+q^2+r^2  niet priem.

Als 2^k+1 een priemgetal is, dan is k een macht van 2. Bewijs.

Antwoord
  • Stel dat k geen macht van 2 is, dan is k=n.2^q, waarbij n zeker oneven is.
  • Nu is A= 2^k+1=2^{n.2^q}=\Big(2^{(2^q)}\Big)^n+1.
  • Algemeen geldt er dat , bij oneven n, x^n+1 steeds deelbaar is door x+1.
  • Bijgevolg is A deelbaar door 2^{(2^q)}+1 en hebben we een tegenspraak.
  • Dus is k wel een macht van 2.

Opgave 31

Het getal (5^2+9^2)(12^2+17^2) kan geschreven worden als som van twee kwadraten van positieve gehele getallen. Geef zo een schrijfwijze.

Antwoord

  • We zouden de vraag algemener kunnen stellen: schrijf (a^2+b^2)(c^2+d^2) als som van twee kwadraten.
  • Het is gemakkelijk aan te tonen dat dit product gelijk is aan (ac+bd)^2+(ad-bc)^2 of (ac-bd)^2+(ad+bc)^2.
  • Zo vinden we dat (5^2+9^2)(12^2+17^2)=93^3+193^3=213^2+23^2.
  • Je kan de oplossing ook vinden door gebruik te maken van complexe getallen.
  • Zo is 5^2+9^2 het kwadraat van de modulus van 5+9i.
  • Omdat de modulus van een product gelijk is aan het product van de moduli is (5^2+9^2)(12^2+17^2) het kwadraat van de modulus van o.a. (5+9i)(12+17i)=-93+193i. Zo bekom je hetzelfde resultaat.

 

 

Opgave 30

Plaats de eerste 20 getallen op een cirkel. S is de som van ( de positief getelde ) verschillen van twee aanliggende getallen. Wat zijn de minimum en maximum waarden voor S?

 

 

Antwoord

 

 

  • Proberen we eens uit met 4 getallen en noteer een schikking op de cirkel door bijvoorbeeld ( 1,3,2,4). De waarde van S is dan (3-1)+(3-2)+(4-2)+(4-1)=8. 
  • Als we de schikking (1,2,3,…,20) gebruiken, dan is het positief getelde verschil va twee buren altijd 1 behalve bij de buren 1 en 20. Dus s=19.1+19=38. Dit is duidelijk de minimumwaarde.
  • Noteer de getallen door a_1,a_2,...,a_{20}. Dan is elk verschil van de vorm \pm (a_{i+1}-a_i).
  • Bijgevolg is S=k_1a_1+k_2a_2+....+k_{20}a_{20} met k_i\in \{2,-2,0\} en waarvan de som van alle k_i gelijk is aan 0.
  • Dan wordt S gemaximaliseerd door h_1=h_2=...=h_{10}=-2 en h_{11}=h_{12}=...=h_{20}=2 en dan is S=-2(1+2+...+10)+2(11+12+...+20)=100
  • Dit kan je effectief verkrijgen door volgende schikking: (1,20,2,19,3,18,…,10,11).