Categorie archieven: Kansrekenen

De 2 enveloppenparadox

Geplaatst op door

Er zijn twee enveloppen. In de ene zit een bedrag , in de andere . Je kiest willekeurig een envelop.Vervolgens krijg je de mogelijkheid om te wisselen naar de andere envelop. De vraag is: is het rationeel om te wisselen, of maakt het niet uit?

Stel je kiest een envelop en opent die. Er zit bedrag Y in. Met kans 50% heb je de kleinere envelop, de andere bevat dan 2Y. Met kans 50% heb je de grotere envelop, de andere bevat \frac{1}{2}Y

De verwachte waarde van de andere envelop lijkt dan: E=0,5.2Y+0,5.\frac{1}{2}Y = \frac{5}{4}Y

Dus zou de andere envelop gemiddeld meer waard zijn. Dit suggereert dat je altijd beter af bent door te wisselen. Maar dat kan niet kloppen, want symmetrie: beide spelers kunnen redeneren dat ze moeten wisselen, en toch kan niet iedereen altijd winnen.

De bovengenoemde redenering berust op een denkfout. Weliswaar is de winst 100% in het ene geval en het verlies 50% in het andere, maar het betreft percentages van (stochastisch gezien) verschillende bedragen en absoluut gezien gaat het om hetzelfde bedrag. Op tafel liggen namelijk enveloppen met respectievelijk X zeg 1000 euro, en 2X, dus 2000 euro. Wisselen levert in het ene geval een winst van 100% van X, dus 1000 euro op, en in het andere geval een verlies van 50% van 2X, dus ook 1000 euro op. Het verwachte voordeel bij wisselen is dus 0. Er is geen winnende strategie.
 
 

 

Dames in een kaartspel

Geplaatst op door

Schud een spel kaarten goed. Hoeveel kaarten van de top , gemiddeld genomen, kom je de eerste dame tegen?

  • We weten dat er 4 dames in het spel zijn. 
  • Wat ook de volgorde van de kaarten mag zijn, de dames verdelen het pak kaarten in 5 groepen: de kaarten voor de eerste dame, de kaarten tussen de eerste en tweede dame, enzovoort.
  • Het aantal kaarten in elk van die groepen varieert van 0 tot en met 48.
  • Noteer met X_i het aantal kaarten in de i-de groep. Dan geldt:

        \[0 \leq X_i \leq 48\]

     

        \[X_1+X_2+X_3+X_4+X_5=48\]

  • Elke X_i is een kansvariabele en omdat het pak kaarten goed geschud is, zal de kansverdeling van elke X_i dezelfde zijn.
  • Maar dan is 48=E(48)=E(X_1+X_2+X_3+X_4+X_5)=5E(X_1).
  • Bijgevolg is

        \[E(X_1)=\frac{48}{5}=9,6\]

  • Het verwacht aantal kaarten voor de eerste dame is dus gelijk aan 9,6.

Determinant vervolg

Geplaatst op door

Bereken de kans dat de determinant van een 3×3 matrix, met natuurlijke getallen als elementen,  oneven is.

 

  • Gegeven een matrix A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}.
  • Zijn determinant is

        \[det A =aei+bfg+dhc-gec-dbi-ahf\]

  • Omdat het gaat over even/oneven kunnen we modulo 2 werken. 
  • Determinant oneven betekent dan dat de determinant 1 is en dus dat de matrix inverteerbaar moet zijn.
  • Een matrix is inverteerbaar als de kolommen onafhankelijk zijn. Kies de eerste kolom willekeurig ( mag niet 000 zijn) . Dan heb je hiervoor 7 mogelijkheden.
  • De tweede kolom mag geen veelvoud zijn van de eerste, maw mag er niet aan gelijk zijn. Dus heb je hiervoor nog 6 mogelijkheden.
  • De derde kolom mag niet gelijk zijn aan de eerset of de tweede , maar ook niet gelijk aan de som van die twee ( en natuurlijk ook niet 000). Hiervoor heb je 4 mogelijkheden .
  • Er zijn 7x6x4=168 mogelijkheden om determinant 1 te vinden. Er zijn 2^9=512 mogelijke matrices te vormen met nullen en enen.
  • De kans dat een 3×3 matrix met natuurlijke elementen oneven is , is dus

        \[\frac{168}{512}\]

Determinant

Geplaatst op door

Bereken de kans dat de determinant van een 2×2 matrix, met natuurlijke getallen als elementen,  even is.

 

  • Gegeven een matrix A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}.
  • Zijn determinant is

        \[det A =ad-bc\]

  • Een product van twee natuurlijke getallen is oneven als beide getallen oneven zijn, dus de kans dat ad oneven is, is \frac{1}{4}. De kans dat ad even is, wordt dat \frac{3}{4}.
  • Nu is det A even als ad en bc beiden even zijn of beide oneven zijn.
  • De kans dat det A even is , is bijgevolg gelijk aan \frac{1}{4}.\frac{1}{4}+\frac{3}{4}.\frac{3}{4}=\frac{10}{16}=0,625

De verjaardagsparadox

Geplaatst op door

Hoe groot is de kans dat in een groep van n personen er minstens twee op dezelfde dag jarig zijn? Dit  probleem, in 1939 bedacht door de Oostenrijks wetenschapper en filosoof, Richard von Mises(1883-1953), is belangrijk omdat de oplossing de meeste mensen onwaarschijnlijk lijkt.

Als we uitgaan van 365 dagen in een jaar is de gevraagde kans gelijk aan

    \[1-\frac{365!}{(365-n)!365^n}\]

Een paar waarden:

    \[\begin{array}{c|c} n& kans \\ \hline 20&0,411\\23&0,507\\30&0,706\\40&0,891\\50&0,970 \end{array}\]

Voor een groep van 23 personen is de kans al 50%. Dat het aantal personen in de groep zo laag is, komt doordat we niet specifieke persoenen of een specifieke datum zochten. Van 23 personen zijn 253 verschillende paren voor te stellen, en maar 1 van die paren hoeft te voldoen!