Groeimodel van Verhulst

Het groeimodel van Malthus voorspelt een exponentiële groei. In de praktijk zijn er echter grenzen aan de bevolkingsexplosie, doordat bijvoorbeeld de woonomgeving of de voedselsituatie een begrenzing stelt op de grootte van de populatie.

Pierre Verhulst(1804-1849), een Belgisch mathematisch bioloog modelleerde dit als volgt:

    \[N'(t)=kN(t)(M-N(t))\]

waarbij N(t) de grootte van de populatie weergeeft op elk tijdstip t. Op basis van zijn studie van de evolutie van de bevolkingscijfers leidde Verhulst af dat deze remmende factor evenredig is met het verschil tussen de populatie op een gegeven tijdstip en de maximale populatie M. De oplossing van deze differentiaalvergelijking geeft de bekende logistische functie met als grafiek de sigmoïde:

De logistische functie van Verhulst wordt tegenwoordig vooral gebruikt in biologische wetenschappen, bijvoorbeeld bij de studie van bacteriënpopulaties. Ook bij de besmettingscijfers van de Corona pandemie zie je deze grafiek terugkomen.

Het groeimodel van Malthus

Thomas Malhus(1766-1834) was een Brits demograaf en econoom, die vooral bekend is van zijn model voor bevolkingsgroei. Modellen voor bevolkingsgroei vormen een populair en dankbaar toepassingsgebied van differentiaalvergelijkingen en dynamische systemen.

De grootte van een populatie is intrinsiek een geheel getal en toename en afname ervan zijn discrete gebeurtenissen in de tijd. De meetgegevens die we willen moduleren zijn niet nauwkeurig tot op de eenheden, dus mogen we de verandering is de tijd eveneens modelleren alsof ze continu was.

In 1798 publiceerde Malthus het pamflet  An essay on the principle of population  waarin hij stelde dat de bevolkingsgroei de economische groei voor zou blijven. Hij veronderstelde dat de populatiegrootte op een zeker tijdstip alleen afhangt van het vorige tijdstip. Als we de bevolkingsgrootte voorstellen door P(t), dan wordt deze aanname gemodelleerd door

    \[P'(t)=kP(t)\]

De oplossing van deze differentiaal vergelijking is

    \[P(t)=A.e^{kt}\]

met exponentiële groei als e^k>1 en verval als e^k<1.

 

Op grond van volkstellingen kwam Malthus tot de vaststelling dat er een  exponentiële groei was voor de Engelse bevolking en dat deze bevolkingsexplosie niet kon worden bijgehouden door de lineaire groei in de voedselproductie.

 Malthus dacht dat  epidemieën en oorlog, onvoldoende waren om de exponentiële groei van de bevolking ten opzichte van de lineaire groei van de voedselproductie te corrigeren. Daarom zag Malthus als enige oplossing voor de overbevolking ‘moral restraint’; arme mensen die wisten dat ze geen gezin zouden kunnen ondersteunen, moesten volgens hem ook geen gezin stichten.

Een mannen urinoir…

Een vraag van een collega wiskundeleraar van het HDC…

In een mannentoilet staan 13 urinoirs op een rijtje. Persoon 1 komt binnen en kan kiezen waar hij zich zet. Nadien komt persoon 2 binnen en kiest een zo ver mogelijke plaats van persoon 1. Daarna komt persoon 3 binnen en maximaliseert de afstand tot de persoon waar hij het dichtste tegen staat. Indien er meerdere plaatsen zijn die de afstand maximaliseren, dan kiest hij willekeurig. Er blijven personen binnen komen die aan hetzelfde principe de urinoirs vullen. Personen gaan zich nooit vlak naast elkaar zetten (er blijft altijd minstens 1 plek tussen) Waar moet de eerste persoon zich nu zetten zodat de urinoirs optimaal gevuld zullen zijn? En hoe ziet zo’n optimale vulling er uit? Voor welke hoeveelheid urinoirs zal het altijd optimaal gevuld kunnen zijn? 

Een mogelijke oplossing vind je hier.

 

Fouten verbeterende codes( deel 2)

In een vorig artikel bespraken we Hamming-codes. De Hamming (7,4) code codeert een 4-bits boodschap p_1p_2p_3p_4 naar een 7-bits codewoord p_1p_2p_3p_4p_5p_6p_7, door drie even pariteitsbits toe te voegen:

    \[p_5=p_1+p_2+p_4\]

    \[p_6=p_1+p_3+p_4\]

    \[p_7=p_2+p_3+p_4\]

De vergelijkingen dienen modulo 2 bekeken te worden.

Dit zijn de 16 mogelijke codewoorden. Om 0100 te zenden, stuur je het codewoord 0100101 door. Als er 1 transmissiefout op zit en je ontvangt 0101101, dan kan de ontvanger de fout vinden door het dichts bijzijnde codewoord te gebruiken. Inderdaad, 0100101 is het enige codewoord dat in slechts 1 positie verschilt van 0101101.

Neem nu even de eerste zes bits van een codewoord  en verdeel ze als p_1p_2,p_3p_4 en p_5p_6. Gebruik nu het eindige veld met 4 elementen, gedefinieerd door volgende bewerkingen:

Neem nu terug  het codewoord 0100101. De punten (1,p_1p_2)=(1,1), (2,p_3p_4)=(2,0) en (3,p_5p_6)=(3,2) blijken alle drie op de rechte y=2x+3 te  liggen. Reken na met bovenstaande bewerkingstabellen. Deze eigenschap kan gebruikt worden bij het decoderen. Veronderstel dat het ontvangen  codewoord 0101101 is. Met de zes eerste bits vormen we, zoals hierboven beschreven drie punten A(1,1),B(2,1) en C(3,1). De rechte door A en B bevat C niet.Omdat de Hamming code 1 fout kan detecteren, veronderstellen we dat 1 van de punten fout is. De oorspronkelijke rechte is dus ofwel AB:y=1, AC:y=2x+3 of BC:y=3x. Dan zouden de zes eerste bits van het originele codewoord 010101,010010 of 110110 moeten zijn. Onder deze drie mogelijkheden voldoet enkel 010010 aan p_7=p_2+p_3+p_4 mod 2. Bijgevolg decoderen we de ontvangen boodschap 0101101 als 0100101 en was de oorspronkelijke boodschap 0100.

Deze proceduren lijkt erg complex. Ze kan echter veralgemeend worden om meer fouten verbeterende codes te construeren, door gebruik te maken van veeltermen in plaats van rechten.

Het idee om dergelijke veetermen te gebruiken werd het eerst naar voren gebracht door Reed en Solomon in 1960.

Verkiezingen

In deze tekst kan je wat meer lezen over verschillende kiesmechanismen .

Dit zijn procedures volgens dewelke de uitslag van een verkiezing bepaald wordt. Het lijkt zo vanzelfsprekend, dat bij verkiezingen de meeste stemmen gelden. We zullen echter zien dat aan dit kiesmechanisme toch nogal wat bezwaren kleven.