Nagels en draad

Een aardig knutselwerkje: klop wat nagels in een plank en verbind deze met wat draad en probeer alzo een mooie figuur te bekomen. In volgend artikel kan je lezen over een wiskundige versie van deze activiteit. Permutaties en ideeën uit d etheorie der groepen worden hier geïllustreerd.

Een nieuwe zeshoek

Neem een willekeurige convexe zeshoek. Met telkens drie opeenvolgende hoekpunten van deze zeshoek vormt men zes driehoeken. Construeer het zwaartepunt van deze driehoeken. De alzo verkregen punten zijn de hoekpunten van een nieuwe zeshoek. Toon aan dat de paren overstaande zijden van deze zeshoek evenwijdig en even lang zijn.

We geven de hoekpunten A_i van de oorspronkelijke zeshoek willekeurige coördinaten (3x_i,3y_i) ( drievouden omdat we het zwaartepunt moeten berekenen). Het zwaartepunt van driehoek A_1A_2A_3 is het punt Z_1(x_1+x_2+x_3,y_1+y_2+y_3). Analoge coördinaten voor de andere hoekpunten. We proberen nu aan te tonen dat Z_1Z_6 evenwijdig is met Z_3Z_4 en dat |Z_1Z_6|=|Z_3Z_4|.

  • De richtingsgetallen van Z_1Z_6 zijn (x_1+x_2+x_3,y_1+y_2+y_3)-(x_6+x_1+x_2,y_6+y_1+y_2)=(x_3-x_6,y_3-y_6)  De richtingsgetallen van Z_3Z_4 zijn (x_3+x_4+x_5,y_3+y_4+y_5)-(x_4+x_5+x_6,y_4+y_5+y_6)=(x_3-x_6,y_3-y_6) Bijgevolg is Z_1Z_6 evenwijdig  met Z_3Z_4.
  • |Z_1Z_6|=\sqrt{(x_3-x_6)^2+(y_3-y_6)^2}=|Z_3Z_4|.

Extremumbepaling zonder afgeleide

Bij een extremumvraagstuk denken we al snel aan het berekenen van de afgeleide functie. Maar sommige extremumproblemen kunnen ook opgelost worden met een methode die geïnspireerd is door de lineaire programmatie. We spreken van niet-lineaire programmatie.

We bespreken een voorbeeld: Bepaal de afmetingen van de rechthoek met maximale oppervlakte waarvan de omtrek constant ( =2a) is.

Noem x en y de afmetingen van de rechthoek. Dan zoeken we naar het maximum van f(x,y)=xy onder de randvoorwaarden:
\begin{cases} x>0 \\ y>0\\ 2(x+y)=2a \end{cases}

Het ‘gunstig gebied’ is het lijnstuk AB. De niveaulijnen zijn rechthoekige hyperbolen van de vorm y=\frac{k}{x}.
We zien enkele van die hyperbolen getekend, voor k=1 ( rood), voor k=4 (blauw). We gaan op zoek naar die hyperbool die nog net raakt aan het lijnstuk AB. Daarvoor moet het stelsel : \begin{cases} xy=k\\ x+y=a  \end{cases} een dubbele oplossing hebben.  Met andere woorden de vergelijking x^2-ax+k=0 heeft een dubbele oplossing. Hiervoor moet de discriminant nul zijn : D=a^2-4k=0 of k=\frac{a^2}{4}. Die dubbele wortel is dan x=\frac{a}{2}. Voor een maximale oppervlakte moeten dus lengte en breedte allebei gelijk zijn aan x=\frac{a}{2}.

Lineaire programmatie

Een mooie toepassing op de studie van lineaire vergelijkingen en ongelijkheden met 2 onbekenden is de lineaire programmering ( LP). Het gaat hier over  optimaliseringsproblemen waarin de doelfunctie en de randvoorwaarden allen lineair zijn. De methode van de lineaire programmering werd in 1939 voor het eerst door de Sovjet-Russische wiskundige Leonid Kantorovitsj besproken in zijn boek “Wiskundige methoden in de organisatie en planning van de productie“.

Mede voor dit werk kreeg Kantorovitsj in 1975 de Nobelprijs in de Economie. Bekijken we eens een voorbeeld:

Bepaal de extreme waarden van f(x,y)=3x+y met als randvoorwaarden

(1)   \begin{equation*} f(k)= \begin{cases} x \geq 0 \\y \geq 0 \\2x+3y \leq 6 \end{cases} \end{equation*}

Eerst bepalen we grafisch de koppels (x,y) die aan de randvoorwaarden voldoen. Dit gebied noemen we het aanvaardingsgebied. We vinden een rechthoekige driehoek ( donkerblauw gekleurd)
Vervolgens worden enkele niveaulijnen van de functie f(x,y) getekend. Dit zijn lijnen die alle punten (x,y), met een zelfde functiewaarde, met elkaar verbinden. Voor een lineaire functie f zijn deze niveaulijnen altijd evenwijdige rechten. Bij het zoeken van de extreme waarden voor f moeten we rekening houden met de randvoorwaarden. Grafisch betekent dit dat de lijnen door het aanvaardingsgebied moeten gaan. In onderstaande tekening hebben we 3x+y=0 en 3x+y=2 getekend ( rode rechten). Maar 3x+y=9 ( groene lijn ) is die lijn, onder alle evenwijdige lijnen, die het aanvaardingsgebied het meest naar rechts snijdt. Bijgevolg is 9  de maximale waarde voor de functie f onder de gegeven randvoorwaarden.

 

Stochastische wandelingen

We bestuderen enkele eenvoudige stochastische wandelingen in d = 1,2 of 3 dimensies. Hier beweegt een fictieve wandelaar over het rooster \mathbb{Z}^d door vanuit een punt naar één van de 2d buurpunten te lopen. Bij elke stap die hij doet zijn alle 2d richtingen even waarschijnlijk. Bovendien zijn alle stappen onafhankelijk van elkaar. De stochastische wandeling wordt ook wel eens de dronkemanswandeling genoemd, omdat de stappen van een (echt) dronken man goed gemodelleerd zouden kunnen worden met toevallige gebeurtenissen.


We onderzoeken de  stelling van Polya die zegt dat het deeltje zeker terugkomt naar de beginpositie enkel en alleen als de wandeling gebeurt in 1 of 2 dimensies. De stelling van Pólya is ook wel eens als volgt geformuleerd: a drunken man will always come home, but a drunken bird never will. Lees meer hierover in volgende tekst.