Derdegraads vergelijkingen: vervolg.

In een vorig artikel hebben we de formules van Cardano besproken voor het oplossen van een willekeurige vergelijking van graad 3. Maar wat heeft de symmetrische groep van orde 6,S_3 hier mee te maken? En wat is de discriminant van zo een vergelijking? Is dat dan een veralgemening van de discriminant van een vergelijking van graad 2? Wil je hierover meer weten , lees dat dit vervolgartikel.

Derdegraads vergelijkingen

derdegraadsvergelijkingen


 

 

Een  algemene tweedegraads vergelijking ax^2+bx+c=0 kan worden opgelost met de formule

    \[x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

 

We vragen ons af of er voor een willekeurige derdegraads vergelijking ax^3+bx^2+cx+d=0, met a\neq0, ook een algemene oplossingsmethode bestaat. We weten wel al zeker dat elke derdegraads vergelijking minstens 1 re\”ele oplossing heeft. Dit in tegenstelling tot de tweedegraads vergelijkingen waar niet elke vergelijking een re\”ele oplossing heeft.

Lees hier verder.

Overdekkingen van het vlak

We gaan op zoek naar regelmatige bedekkingen van het vlak: dit zijn bedekkingen met regelmatige n-hoeken met alle dezelfde lengte als zijde. Het vlak is dan de unie van al die veelhoeken en de doorsnede van twee veelhoeken is ledig, ofwel een punt ofwel een zijde. We eisen ook dat de hoekpunten gelijkwaardig zijn, dus dat in een punt steeds dezelfde veelhoeken in dezelfde aantallen en in dezelfde volgorde voorkomen. Noteren we met q het aantal verschillende veelhoeken in een bepaald knooppunt.

De waarde van een hoek van een regelmatige n-hoek is

    \[\frac{n-2}{n}180^{\circ}\]

Neem eerst het geval q=1. Noteer met m het aantal veelhoeken in een knooppunt. Dan moet m.\frac{n-2}{n}180^{\circ}=360^{\circ}. Hieruit volgt dat m(n-2)=2n of (m-2)(n-2)=4. Hierbij zijn uiteraard m en n natuurlijke getallen. De enige oplossingen zijn:

    \[(m,n)=(6,3),  (m,n)=(3,6), (m,n)=(4,4)\]

Dus drie zeshoeken, zes driehoeken of vier vierkanten.

Neem nu q=2 ( we spreken dan van Archimedische vlakvullingen) en stel dat er a regelmatige m-hoeken en b regelmatige n-hoeken samenkomen, dan moet a.\frac{m-2}{m}180^{\circ}+b.\frac{n-2}{n}180^{\circ}=360^{\circ} of

    \[a+b=2(\frac{a}{m}+\frac{b}{n}+1)\]

Omdat \frac{a}{m}+\frac{b}{n}>0 zal a+b\geq3. Omdat de klenst mogelijke hoek van een regelmatige veelhoek 60^{\circ}  is, zal a+b\leq 6. Bijgevolg geldt:

    \[3 \leq a+b \leq 6\]

Geval 1: a=1 en b=2, dan is n=\frac{4m}{m-2} en zijn de enige natuurlijke oplossingen: (m,n)=(3,12) en (m,n)=(4,8). De oplossing (m,n)=(6,6) hebben we al en (m,n)=(10,5) geeft geen regelmatige overdekking. De twee oplossingen geven we volgende typering: 3,12^2( 1 driehoek en 2 twaalfhoeken) en 4,8^2 (1 vierkant en 2 achthoeken).

 

 

 

 

Geval 2: a=1 en b=3, dan is n=\frac{3m}{3m-2} en is de enige natuurlijke oplossing: (m,n)=(4,4) en die hebben we al gehad bij q=1.

Geval 3: a=1 en b=4, dan is n=\frac{8m}{m-2} en zijn de enige natuurlijke oplossingen: (m,n)=(6,3) . Typering: 6,3^4( een zeshoek en 4 driehoeken)Geval 4: a=2 en b=2, dan is n=\frac{2m}{m-2} en zijn de enige natuurlijke oplossingen: (m,n)=(3,6), (m,n)=(4,4)  en (m,n)=(6,3). De oplossing  (m,n)=(4,4) hebben we al. Bovendien geven (6,3) en (3,6)  dezelfde oplossing.Rest nog het geval 6^2,3^2 (2 zeshoeken en 2 driehoeken).

Geval 5: a=2 en b=3, dan is n=\frac{6m}{3m-4} en is de enige natuurlijke oplossing: (m,n)=(4,3) . Type 4^2,3^3 ( twee vierkanten en drie driehoeken). We verfijnen de typering: links de overdekking (3,3,3,4,4) en rechts (3,3,4,3,4).




 

 

Neem nu q=3 en stel dat er a regelmatige m-hoeken, b regelmatige n-hoeken  en c regelmatige p-hoeken samenkomen, dan moet a.\frac{m-2}{m}180^{\circ}+b.\frac{n-2}{n}180^{\circ}+c.\frac{p-2}{p}180^{\circ}=360^{\circ} of

    \[a+b+c=2(\frac{a}{m}+\frac{b}{n}+\frac{c}{p}+1)\]

Waarbij 3\leq a+b+c<6 zodat voor (aub,c) volgende mogelijkheden moeten worden onderzocht: (1,1,1),(2,1,1),3,1,1) en (2,2,1).

Geval 1: (a,b,c)=(1,1,1). Dan is p=\frac{2mn}{mn-2m-2n}. Onderzoek van verschillende mogelijkheden geeft (m,n,p)=(5,10,5),(5,20,4),(6,12,4),\\(8,8,4),(12,12,3),(15,10,3),(18,9,3),(24,8,3),(42,7,3). Enkel (m,n,p)=(6,12,4) levert een nieuwe bestaande overdekking. We krijgen een zeshoek, een twaalfhoek en een vierkant in elk knooppunt.

Geval 2: (a,b,c)=(2,1,1). Enkel (m,n,p)=(4,6,3) levert een nieuwe bestaande overdekking. We krijgen twee vierkanten , een zeshoek en een driehoek in elk knooppunt. Geval 3: (a,b,c)=(3,1,1). Deze combinatie levert geen nieuwe oplossingen.

Geval 4: (a,b,c)=(2,2,1). Deze combinatie levert geen nieuwe oplossingen.

Situaties met q=4,5 of 6 kunnen niet voorkomen want 60+90+108+120=378>360.

Construeerbare getallen

 

In deze tekst onderzoeken welke we getallen er construeerbaar zijn met de klassieke constructieapparaten, passer en liniaal. Verder bestuderen we ook de structuur van de verzameling van alle construeerbare getallen. We komen zo tot een modern algebraïsch bewijs van de onmogelijkheid om met passer en liniaal een kubus te verdubbelen. Dit is een welbekend probleem uit de oude Griekse meetkunde. Zo zien we dat algebra en meetkunde enerzijds en oude en moderne wiskunde anderzijds erg nauw samenlopen. 

Groeimodel van Verhulst

Het groeimodel van Malthus voorspelt een exponentiële groei. In de praktijk zijn er echter grenzen aan de bevolkingsexplosie, doordat bijvoorbeeld de woonomgeving of de voedselsituatie een begrenzing stelt op de grootte van de populatie.

Pierre Verhulst(1804-1849), een Belgisch mathematisch bioloog modelleerde dit als volgt:

    \[N'(t)=kN(t)(M-N(t))\]

waarbij N(t) de grootte van de populatie weergeeft op elk tijdstip t. Op basis van zijn studie van de evolutie van de bevolkingscijfers leidde Verhulst af dat deze remmende factor evenredig is met het verschil tussen de populatie op een gegeven tijdstip en de maximale populatie M. De oplossing van deze differentiaalvergelijking geeft de bekende logistische functie met als grafiek de sigmoïde:

De logistische functie van Verhulst wordt tegenwoordig vooral gebruikt in biologische wetenschappen, bijvoorbeeld bij de studie van bacteriënpopulaties. Ook bij de besmettingscijfers van de Corona pandemie zie je deze grafiek terugkomen.