Veelhoeksgetallen

Dit artikel is van de hand van Hannah Prause, leerlinge van 6MTWI van het H.Drievuldigheidscollege in Leuven.

Veelhoeksgetallen zijn voorbeelden van figuratieve getallen: getallen die kunnen gevormd worden door figuurtjes te maken met bijvoorbeeld rijstkorrels of steentjes. Een veelhoeksgetal is dus een getal dat het aantal stippen is van een figuur met een in een hoekpunt geneste regelmatige veelhoek. Vanuit een hoekpunt (een buitenste stip) vertrekt dus steeds een regelmatige veelhoek.

De meest gekende zijn de driehoeksgetallen en de vierkantsgetallen of kwadraten.

 

Hierboven zie je hoe je het n-de driehoeksgetal T_n kan vinden: Het is duidelijk dat

    \[T_n=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\]

De kwadraatgetallen zijn uiteraard 1,4,9,16,… Interessant is dat sommige getallen zowel driehoeksgetallen als kwadraten zijn. Het eerste dergelijk getal is uiteraard 1. Pas bij 36 vinden we nog een getal dat in punten zowel een driehoek als een vierkant kan vormen; daarna komt 1225 en 41616.

Er bestaat een algemene formule om het n-de k-hoeksgetal te bepalen:

    \[T_k(n)=(0,5k-1)n^2-(0,5k-2)n\]

In tegenstelling tot een veelhoeksgetal gedefinieerd vanuit een hoekpunt ( zoals hierboven besproken) bestaat een gecentreerd veelhoeksgetal uit steeds groter wordende veelhoeken rond een centraal punt. hieronder zie je links een voorbeeld van een vijfhoeksgetal en rechts een voorbeeld van een gecentreerd vijfhoeksgetal

Gecentreerde veelhoeksgetallen hebben geen gemeenschappelijk hoekpunt en worden beschreven volgens volgende formule: 

    \[C_k(n)=0,5k*n^2-0,5k*n+1\]

Hierboven zie je het vierde vijfhoeksgetal en het vierde gecentreerd vijfhoeksgetal: T_5(4)=22 en C_5(4)=31

Derde afgeleide

De afgeleide of het differentiaal quotiënt is een maat voor verandering van een functie ten opzichte van verandering van zijn variabelen. Als de afgeleide van een functie f gedefinieerd is voor alle punten in het domein van f, wordt de daardoor bepaalde functie de afgeleide functie of kortweg de afgeleide genoemd. Het concept van de afgeleide van een functie werd in de 17e eeuw vrijwel tegelijkertijd door Isaac Newton en Gottfried Leibniz uitgevonden.

In Coronatijden wordt wel elke dag iets over de afgeleide verteld: het aantal besmettingen ( N(t)) stijgt, betekent dat de eerste afgeleide N'(t) groter is dan 0. De stijging van het aantal besmettingen neemt af, de kromme vlakt af, betekent dat de tweede afgeleide N”(t) negatief is.

De vraag die Leander Saerens, leerling van 6WEWI uit het H.Drievuldigheidscollege in Leuven, zich stelde was: heeft de derde afgeleide van een functie ook een ‘interessante’ betekenis.

Voor willekeurige functies ligt dat wat moeilijk, maar er is wel een betekenis te geven als we naar de fysische toepassingen kijken. In de natuurkunde  spelen afgeleiden ook een zeer belangrijke rol. Zo bepaalt de eerste afgeleide van de plaats functie de snelheid en bepaalt de tweede afgeleide van de plaats functie (of de eerste afgeleide van de snelheidsfunctie) de versnellingsfunctie.

De derde afgeleide, of de verandering van de versnelling, wordt  ‘jerk’ genoemd, van het werkwoord ‘to jerk’, rukken. Zo kan je bijvoorbeeld denken aan de plotselinge ruk aan een touw. in een auto kan je het effect van een kerk of ruk goed voelen. een ervaren chauffeur zal zachtjes versnellen. Een beginnende rijder zal meer met horten en stoten rijden, zeker bij het veranderen van versnelling.

 

Een voorbeeld met een lift: 

in een eerste model gaat men uit van een constante versnelling  bij het versnellen en  bij het vertragen. Tussenin blijft de lift met zijn maximale snelheid bewegen.

            

in een tweede model stijgt de versnelling lineair stijgt tot haar maximale waarde, ze blijft op haar maximale waarde, en neemt daarna lineair af .Dan is de snelheid maximaal en dit blijft zo gedurende enige tijd. Daarna vindt eenzelfde soort proces plaats maar dan omgekeerd om de snelheid weer tot 0 m/s te brengen. 

In differentiaalmeetkunde wordt de derde afgeleide onder andere ook gebruikt om de torsie van een ruimtekromme te berekenen. De torsie van een ruimtekromme zegt hoe sterk deze kromme afwijkt van een vlak. De torsie wordt uitgedrukt in radialen/lengte-eenheid en kan positief, nul of negatief zijn. Indien een ruimtekromme in een vlak ligt is haar torsie nul. 

Stelling van Pythagoras

Deze tekst is gemaakt door Joran Deschagt, leerling van 6WEWI uit het H.Drievuldigheidscollege in Leuven.

 

    \[a^2+b^2=c^2\]

Iedereen kent de stelling dat in een rechthoekige driehoek de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk is aan het kwadraat van de schuine zijde. Wij kennen deze stelling als de stelling van Pythagoras. Maar deze stelling was al gekend bij de Soemeriërs en de Egyptenaren, lang voor Pythagoras.

Er zijn in feite heel  veel verschillende bewijzen voor de stelling van Pythagoras. Ook werden deze over heel de wereld ontworpen, van Azië tot Amerika. Er was er zelfs één van de Amerikaanse president, J. A. Garfield. We geven een kleine selectie:

Het oudste bewijs dat we hebben gevonden situeren we ergens tussen 1200 v.C. – 100v.C. in een oud Chinese leerboek Chou-Pei Suan Ching.

De zijde van het grote vierkant is a + b en de oppervlakte dus (a+b)^2. Hierbij zijn a en b de zijden van de rechthoekige driehoeken die getekend staan tussen het grote vierkant en het kleine vierkant. De zijde van het middelste vierkant is c. De oppervlakte van het grote vierkant is de som  van  de oppervlakten van de 4 rechthoeken en de oppervlakte van het kleine vierkant: (a+b)^2=4. \frac{ab}{2}+c^2. Hieruit volgt dan de stelling van Pythagoras.

Het bewijs van president Garfield steunt op de oppervlakte van een trapezium

De oppervlakte van het trapezium is gelijk aan de som van de oppervlakten van de drie driehoeken, dus (a+b).\frac{a+b}{2}=\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}+\frac{c^2}{2}. Uitrekenen geeft ….de stelling van Pythagoras!

 

Een recenter bewijs komt van Xiaolin Zhong, professor aan het UCLA:

Draai de driehoeken ABH en BCD naar de driehoeken HGF en FED; Je ziet hier 4 keer die driehoek ‘rond’ het binnenste vierkant en 2 keer in dat binnenste vierkant. Het grootste vierkant heeft  een zijde van a + b en een oppervlakte gelijk aan (a+b)^2 en bestaat uit 4 rechthoeken en een vierkant met zijde EG. Het vierkant FDCH heeft oppervlakte c^2 en bestaat uit 4 driehoeken (die 2 rechthoeken vormen) en dat vierkant met zijde EG. Hieruit kan je het gewenste resultaat afleiden.

 

Dimensie

Rechthoeken, driehoeken, cirkels,… zijn lange tijd de meest bestudeerde meetkundige figuren geweest. In realiteit komen deze figuren echter zelden voor. Als we eens een luchtfoto bekijken van de kustlijn van een willekeurig continent, dan blijkt die lijn niet meer zo ‘glad’ te zijn dan bij een rechthoek. Er is hier spraken van een fractaal.

De naam fractaal werd ingevoerd door Benoit Mandelbrot, die heeft willen aantonen dat de ons omgevende natuur rijk is aan fractals.

We willen het hier vooral hebben over de dimensie van dergelijke objecten. Dit artikel is geschreven door Luca Pignatti, leerling van 6WEWIe2 aan het H.Drievuldigheidscollege in Leuven.

We zoeken een  alternatieve definitie  voor de dimensie van een object. Daarvoor voeren we  een onderzoek naar dimensies op objecten waarvan we de dimensie reeds kennen. Een 1-dimensioneel lijnstuk, een 2-dimensioneel oppervlak en een 3-dimensionele kubus. Wanneer je elk voorwerp met een factor vergroot of verkleint bekom je hetzelfde voorwerp maar met een verschillende afmeting. Deze afmeting zou je ook kunnen beschouwen als de massa van het voorwerp, ook al is dit niet helemaal juist, een lijnstuk heeft geen massa. Het is wel een goede manier om het te visualiseren. Probeer je voor te stellen dat de voorwerpen uit metaal gemaakt zijn, metalen draad, metaalplaat en massief metaal. Een voorbeeld: verkleinen met factor ½

dimensie 1, lengte ½ , massa ½

dimensie 2, lengte ½, massa 1/4

dimensie 3, lengte ½, massa 1/8 

We vinden dat wanneer de lengte gehalveerd wordt,  de massa van het voorwerp met diezelfde factor tot de macht van de dimensie verheven wordt. Dit geldt niet enkel voor factor ½ maar voor elk ander reëel, positief getal. zo krijgen we de formule

    \[s^d=m\]

Hierbij is s de vergrotingsfactor, m de massa na de transformatie en  d  de dimensie .

Dit verband kan ons helpen met zoeken naar de dimensies van bepaalde fractalen, zoals de driehoek van Sierpinski. De driehoek van Sierpiński is een fractaal die werd ontdekt door de Poolse wiskundige Wacław Sierpiński. Uit een gelijkzijdige driehoek wordt de driehoek verwijderd die gevormd wordt door de middens van de drie zijden. Vervolgens wordt deze procedure herhaald in elk van de drie overgebleven driehoeken.

We zien dat wanneer we de zijde van de driehoek met factor ½ verkleinen dat de massa (oppervlakte)  van het voorwerp er na tot \frac{1}{3} van de massa ervoor is. Wanneer we onze formule invullen voor s=1/2 en m=1/3 vinden we (1/2)D = (1/3). De dimensie zou dan gelijk moeten zijn aan \log_23\approx 1,58496.

Laten we even kijken naar de kromme van Koch:

We vinden s=1/3, m=1/4 en dus is de dimensie van de Kochkromme gelijk aan \log_34\approx 1,26186.

De dimensie van onze fractals is dus niet langer een natuurlijk getal, maar wel een breuk! Iets tussen dimensie 1 en dimensie 2. 

 

 

De Rascal driehoek

Als men, bij een IQ-test, zou vragen  om de driehoek te voltooien, dan krijg je meestal als antwoord:

Dit is de driehoek van Pascal. Vervolledigen kan via de formule

    \[u_{n,r}=u_{n-1,r-1}+u_{n,r-1}\]

Hierbij geeft r de rij weer en n de plaats op de rij. Zowel r als n starten bij de waarde 0.

Maar dit is niet het enige patroon dat je kan gebruiken. Wat denk je van volgend antwoord:

Het waren 3 middelbare school leerlingen,  Alif Anggoro, Eddy Liu, Angus Tulloch  uit de USA, Canada en Indonesië die dit verband beschreven met de formule

    \[u_{n,r}=n(r-n)+1\]

Je kan ook gebruik maken van de diagonaalformule :

Het getal op zuid is ( oost x west +1 ) : noord. Bij de driehoek van Pascal was zuid = oost + west.

Eigenaardig genoeg is elk element in de Rascal driehoek een natuurlijk getal! Net zoals bij de driehoek van Pascal kan je ook hier een paar mooie patronen terugvinden. Kijk maar naar de diagonalen van de Rascal driehoek