Catalan veelvlakken

Een Catalan veelvlak is de duale figuur van een Archimedisch veelvlak.  Ze werden vernoemd naar de Belgische wiskundige Eugène Catalan( 1814-1894). Twee figuren heten duaal als de middelpunten van de zijvlakken van de ene figuur ,de hoekpunten van het andere veelvlak vormen, en omgekeerd.

Enkele eigenschappen:

  • De Catalan veelvlakken zijn convex.
  • Ze zijn zijvlak transitief, m.a.w. alle zijvlakken zijn bijvoorbeeld driehoeken. Ze hoeven niet gelijkzijdig te zijn.

 

Een mooi voorbeeld is te zien op het Atomium ( ontwerp van A.Waterkeyn en de broers Polak): de disdyakis dodecahedron, een veelvlak met 48 zijvlakken die allemaal driehoeken zijn

Halfregelmatige veelvlakken

 

Half regelmatige veelvlakken zijn veelvlakken die voldoen aan volgende eigenschappen:

  • Alle zijvlakken zijn regelmatige veelhoeken.
  • Hoekpunt transitief: in ieder hoekpunt komen steeds dezelfde veelhoeken samen in dezelfde of tegengestelde volgorde.

We onderscheiden 3 soorten:

  1. Een oneindige reeks prisma’s ( 2 regelmatige n-hoeken verbinden met n vierkanten)
  2. Een oneindige reeks anti-prisma’s (2 regelmatige n-hoeken over 180°/n draaien en dan verbinden met 2n gelijkzijdige driehoeken)
  3. Dertien Archimedische lichamen

 

 

Regelmatige veelvlakken

Een regelmatig veelvlak is een veelvlak met volgende eigenschappen:

  • Alle zijvlakken zijn congruente regelmatige veelhoeken.
  • In elk hoekpunt komen evenveel zijvlakken samen.
  • Ze zijn convex
  • De hoeken tussen de zijvlakken zijn steeds hetzelfde.
  • Voor het aantal ribben (R), het aantal grensvlakken (G) en aantal hoekpunten (H) van een convex lichaam geldt de formule van Euler: R + 2 = G + H

Er zijn er 5; ze worden ook wel eens de Platonische lichamen genoemd naar Plato(427 BC – 347BC), die ze het eerst beschreef.

Plato bracht de vijf regelmatige veelvlakken ook in verband met de vijf kosmische bouwstenen van de wereld: vuur, lucht, water, aarde en hemelmaterie.

Verbindt men de middens van de zijvlakken van een veelvlak met elkaar, dan vormen de verbindingslijnen de ribben van een ander veelvlak. Een viervlak blijft een viervlak, maar een kubus wordt een octaëder en omgekeerd. Een dodecaëder wordt een icosaëder en omgekeerd. De kubus en de octaëder zijn het duale veelvlak van elkaar, de dodecaëder en de icosaëder ook.

Superellipsen

 

Iedereen kent wel de vergelijking  van een  ellips of het speciaal geval van een cirkel (als a=b=r):

    \[\Big(\frac{x}{a}\Big)^2+\Big(\frac{x}{b}\Big)^2=1\]

We kunnen onderzoeken wat er gebeurt als  we de vergelijkingen , die hierboven vermeld staan,  algemener te maken door de kwadraten te vervangen door andere exponenten. 

    \[\Big|\frac{x}{a}\Big|^n+\Big|\frac{x}{a}\Big|^n=1\]

Deze meetkundige figuren werden het eerst bestudeerd door de Franse wiskundige Gabriël Lamé (1795-1870). Ze werden nadien sterk gepropageerd door de Deense wiskundige, dichter en kunstenaar Piet Hein (1905-1996)

We geven een paar van zijn ‘creaties’:

De stelling van Napoleon

Iedereen kent gelijkvormige driehoeken. In deze tekst proberen we ze te beschrijven met complexe getallen. Elk punt Z in het vlak correspondeert met een uniek complex getal z.

Twee driehoeken ABC en DEF zijn rechtstreeks gelijkvormig ( alle  hoeken hebben eenzelfde oriëntatie, bvb met de klok mee) als en slechts als

    \[\begin{vmatrix} a&d&1\\b&e&1\\c&f&1 \end{vmatrix}=0\]

Bij onrechtstreekse gelijkvormigheid moet je , in de tweede kolom, elk complex getal vervangen door zijn complex toegevoegde. Gebruiken we deze formules nu op een voorbeeld:

De stelling van Napoleon luidt dat als aan de zijden van een willekeurige driehoek gelijkzijdige driehoeken worden vastgemaakt, ofwel alle drie naar buiten, ofwel naar binnen gericht, dat vormen de zwaartepunten van die driehoeken  een gelijkzijdige driehoek.

  • We veronderstellen alle driehoeken klok georiënteerd.
  • Elke gelijkzijdige driehoek is gelijkvormig met de driehoek gevormd door de complexe getallen 1,\omega en \omega^2 . Hierbij is \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}.
  • Als ABC gelijkzijdig is dan moet

        \[a+b\omega+c\omega^2=0\]

    Dit volgt uit vorige opmerking.

  • Dus is :

        \[\begin{array}{c} c+x\omega+b\omega^2=0\\b+z\omega+a\omega^2=0\\a+y\omega+c\omega^2=0\end{array}\]

  • Door de tweede vergelijking te vermenigvuldigen met \omega en de derde met \omega^2 vinden we:

        \[\begin{array}{c} c+x\omega+b\omega^2=0\\a+b\omega+z\omega^2=0\\y+c\omega+a\omega^2=0\end{array}\]

  • Omdat M,L en N zwaartepunten zijn geldt: m=\frac{a+c+y}{3},l=\frac{c+x+b}{3} en n=\frac{a+b+z}{3}.
  • Rest ons te bewijzen dat MLN gelijkzijdig is, daartoe moeten we bewijzen dat m+l\omega+n\omega^2=0. Een combinatie van de twee laatste puntjes geeft ons het gewenste resultaat.