Categorie archieven: Meetkunde

De schoenvetermethode

Geplaatst op door

De schoenveterformule  is een rekenmethode om de oppervlakte van een veelhoek te bepalen wanneer de coördinaten van de hoekpunten bekend zijn. De methode wordt zo genoemd omdat de berekening lijkt op het kruislings strikken van veters: de coördinaten van de punten worden in een tabel onder elkaar gezet, en er worden kruisvermenigvuldigingen gemaakt die visueel doen denken aan een veterpatroon.

Stel dat we een veelhoek hebben met hoekpunten (x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n) die in volgorde (met de klok mee of tegen de klok in) gegeven zijn.

De oppervlakte wordt berekend met:

    \[A=\frac{1}{2}\Big|\sum_{i=1}^n(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)\Big|\]

waarbij (x_{n+1},y_{n+1})=(x_1,y_1), (met andere woorden: het eerste punt wordt na het laatste punt herhaald om de lus te sluiten).

Stappen van de methode

  1. Schrijf de coördinaten van de punten onder elkaar, en herhaal de eerste rij onderaan.

  2. Vermenigvuldig kruiselings:

    • van linksboven naar rechtsonder, en tel deze producten op;

    • van rechtsboven naar linksonder, en tel deze producten op.

  3. Trek de tweede som af van de eerste som.

  4. Neem de absolute waarde en deel door 2.

Stel, we hebben een driehoek met punten: (3,4), (5,11) en (12,8). De tabel wordt:

De oppervlakte van de driehoek is dus A= \frac{1}{2}|(3.11+5.8+12.4)-(4.5+11.12+8.3)|=27,5.

De formule is gebaseerd op de wiskundige theorie van determinanten (ontwikkeld door Leibniz en Cramer in de 17e-18e eeuw).

de stelling van Van Aubel

Geplaatst op door

De stelling van Van Aubel is een wiskundige stelling die te maken heeft met vierkanten op de zijden van een willekeurige vierhoek. Het zegt dat als je vierkanten bouwt op de zijden van een vierhoek, de som van de oppervlaktes van twee tegenoverliggende vierkanten gelijk is aan de som van de oppervlaktes van de andere twee tegenoverliggende vierkanten. Of in een meer klassieke vorm: De lijnstukken die de middens van tegenoverliggende vierkanten (in het rood getekend)  verbinden, staan loodrecht op elkaar en zijn even lang.

Het is een veralgemening van een ander beroemd meetkundig resultaat — namelijk het stelling van Napoleon, maar dan toegepast op vierhoeken in plaats van op driehoeken : als je gelijkzijdige driehoeken construeert op de zijden van een willekeurige driehoek (allemaal naar buiten toe), dan liggen de middens van deze driehoeken op de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek.

 

Marion’s theorema

Geplaatst op door

Neem een willekeurige driehoek. Verdeel elke zijde in drie gelijke stukken (triseer de zijden), en trek van elk hoekpunt lijnen naar de.  Wat blijkt? In het midden van de driehoek ontstaat dan een zeshoek (hexagoon), en die heeft precies 1/10e van de oppervlakte van de oorspronkelijke driehoek.

We danken dit resultaat aan Marion Walter (1928–2021), een Duits-Amerikaanse wiskunde‑pedagoge. Ze stond bekend om haar werk rond ontdekkend leren in de wiskunde, met een focus op geometrie en visualisatie. Ze gebruikte programma’s zoals Geometer’s Sketchpad om leerlingen zelf meetkundige stellingen te laten ontdekken. Haar theorema werd in 1993 populair door visuele en digitale exploratie.

Er is een uitbreiding van Marion’s theorema voor het geval je elke zijde verdeelt in n gelijke delen (waarbij n oneven is, dus 3, 5, 7, enz.). De formule voor de oppervlakte van de centrale zeshoek is dan:

Voor n = 4 is de oppervlakte 8/35 ste van de oppervlakte van de gegeven driehoek, wat via analytische meetkunde vrij gemakkelijk na te gaan is.

Nootje 55

Geplaatst op door

Bepaal de oppervlakte  van het blauwe deel, beschreven door twee halve cirkels in een vierkant met zijde 8 cm.

Antwoord

Bij dit soort opgaven is het handig om tekening te “herschikken”:

En dan is het duidelijk dat het blauwe gebied eigenlijk een half vierkant vormt. De oppervlakte is dan \frac{1}{2}8^2=32 vierkante centimeter.

De ladder stelling

Geplaatst op door

Er is een verband tussen de hoogtes  gegeven in onderstaande tekening.

Deze stelling kan je gebruiken om in onderstaande tekening de oppervlakte van het witte deel te bepalen. Door de ladder stelling een aantal keer te gebruiken  met hoogtes uit E,F en D en eveneens vanuit B en C tot aan de verlengdes van de zijden AC en AB vinden we een verband tussen de oppervlaktes van driehoeken met BC als basis. Noteer met x , y en z de oppervlakte van respectievelijk de driehoeken BEF,BFC en FDC. Noteer met a de oppervlakte van driehoek ABC, dan geldt :

    \[\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}\]

Neem bijvoorbeeld x=3, y=9 en  z=6,  en noteer w voor de witte oppervlakte :

    \[\dfrac{1}{w+18}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{15}\]

Hieruit volgt dat w=\dfrac{54}{7}