Stelling van Ptolemaeus

De kans, dat 4 willekeurig gekozen punten in het vlak, op 1 lijn of 1 cirkel liggen is erg klein. Er moeten dus  wel speciale voorwaarden zijn om dit te doen gebeuren.  Zo een voorwaarde wordt gegeven in de stelling van Ptolemaeus:

Voor 4 willekeurige punten A,B,C en D in het vlak, geldt

    \[AB.CD+AD.BC \geq AC.BD\]

Er treedt gelijkheid op als de punten collineair of concyclisch zijn .

Enkele gevolgen:

  • Als ABCD een koordenvierhoek is en ABC een gelijkzijdige driehoek, dan is BD=AD+CD.
  • Als ABCD een koordenvierhoek is en de hoeken in B en D zijn recht, dan is BD=AC.\sin A ( schrijf de hoek A als som van twee hoeken en pas de domformule voor \sin(x+y) toe)

Hoogtedriehoek

De hoogtedriehoek van een driehoek ABC is de driehoek gevormd door de  voetpunten van de drie hoogtelijnen van deze driehoek.

Enkele speciale eigenschappen:

  • Het hoogtepunt van driehoek ABC is het middelpunt van de ingeschreven cirkel van zijn hoogtedriehoek.
  • Van alle driehoeken ingeschreven in driehoek ABC(d.i de hoekpunten liggen op de zijden  van driehoek ABC) heeft de hoogtedriehoek de kleinste omtrek.
    Dit wordt ook wel eens het probleem van Fagnano genoemd naar Giovanni Fagnano die dit probleem stelde in 1775.

Middendriehoek

De middendriehoek van een driehoek ABC is de driehoek SRQ, gevormd door de middenparallellen van de gegeven driehoek. 

Enkele eigenschappen:

  • De oppervlakte van de middendriehoek is \frac{1}{4} van de oppervlakte van de gegeven driehoek.
  • De omtrek van de middendriehoek is \frac{1}{2} van de omtrek van de gegeven driehoek.
  • De middendriehoek  is gelijkvormig met de gegeven driehoek: de middendriehoek is het beeld van ABC onder een homothetie met centrum het zwaartepunt van ABC en als factor -\frac{1}{2}.
  • De middendriehoek en driehoek ABC hebben hetzelfde zwaartepunt.
  • Het hoogtepunt van de middendriehoek valt samen met het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.
  • De voetpunten van de hoogtelijnen van driehoek ABC liggen op de omgeschreven cirkel van de middendriehoek.

  • De omgeschreven cirkel van de middendriehoek is de negenpuntscirkel van ABC ( de cirkel door de middens van de zijden, de voetpunten van de hoogtelijnen en de middens van de lijnsegmenten van uit de hoekpunten naar het hoogtepunt ).
  • En dan nog deze afsluiter: bedenk zelf maar de stelling!

Een meetkundige parel

Onlangs vond ik volgende stelling die ik helemaal niet kende. Een echt pareltje: De spiegelbeelden van het hoogtepunt van een driehoek ABC rond de zijden en rond de middens van de zijden liggen op de omgeschreven cirkel van ABC.

H’ is het spiegelbeeld van H (hoogtepunt) rond de zijde AB en CD is een middellijn van de omgeschreven cirkel.

  • \widehat{CDB} is een rechte hoek, als omtrekshoek op een halve cirkel. Omdat AH loodrecht op BC staat, zijn BD en AH evenwijdig.
  • Analoog is AD ook evenwijdig met BH.
  • Dus is AHBD een parallellogram. 
  • Omdat de diagonalen van een parallellogram elkaar midden doordelen is M_c het midden van AB en dus is D inderdaad het spiegelbeeld van H bij een puntspiegeling rond het midden van B.
  • Omdat HC’=C’H’ is C'M_c de middenparallel van driehoek HH’D en staat DH’ loodrecht op CC’ omdat DH’ evenwijdig is met C'M_c.
  • Dus is \widehat{CH'D}=90^\circ  en wegens de eigenschappen van omtrekshoeken ligt dus H’ op de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.

Isogonaal toegevoegde punten

Om het isogonaal toegevoegd punt van P  te berekenen, construeert men het snijpunt van de spiegelbeelden van AP, BP en CP ten opzichte van de respectievelijke bissectrices van de hoeken A,B en C. Het is duidelijk dat de hoeken CAP en  QAB gelijk zijn. analoog zijn ook ABP en QBC gelijk en BCP en QCA.

Een andere mogelijke constructie werkt met de voetpuntsdriehoek:

Men tekent de loodlijnen vanuit P op de drie zijden van de driehoek. Hun voetpunten vormen de voetpuntsdriehoek. Construeer nu snijpunt Q van de loodlijnen uit A,B en C op de zijden van de voetpuntsdriehoek. Dan zijn P en Q isogonaal toegevoegd.

Een paar voorbeelden:

  • Het middelpunt van de ingeschreven cirkel is isogonaal toegevoegd aan zichzelf.
  • Het hoogtepunt van een driehoek en het middelpunt van zijn omgeschreven cirkel zijn isogonaal toegevoegd.