De stelling van Bottema

Geplaatst op 16 juni 2026 door admin

Iemand wil een schat begraven’ op een plek, die ter wille van de geheimhouding op een gecompliceerde wijze wordt bepaald, maar door hem zelf gemakkelijk kan worden teruggevonden. Hij gaat daartoe uit van drie gemerkte bomen A, B, C, denkt zich AC over een rechte hoek om A (in positieve richting). gewenteld tot AC1, BC om B (in tegengestelde richting) tot BC2 en kiest het midden P van C1C2 als de bewuste plaats .

Later terugkomend kan hij de boom C niet terug vinden; in zijn wanhoop besluit hij verschillende punten als C aan te nemen en hij stelt zich voor vele vergeefse opgravingen te moeten verrichten De eerste poging heeft echter reeds succes. De eenvoudige stelling die uitspreekt dat P onafhankelijk is van C schijnt niet algeméen bekend te zijn.

Dit resultaat is is de stelling die vernoemd werd naar Oene Bottema (1901-1992). Bottema beschreef de stelling in de vorm van een verhaal over een verloren schat in een van zijn “Verscheidenheden” in het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde in 1959, zoals hierboven te lezen valt.

De cirkel van Conway

Geplaatst op 14 mei 2026 door admin

De Britse wiskundige John Horton Conway ontdekte een verrassende meetkundige eigenschap van willekeurige driehoeken. Vertrekkend van een eenvoudige constructie verschijnt onverwacht een cirkel door zes speciaal geconstrueerde punten.

Neem een willekeurige driehoek ABC. Verleng nu elke zijde aan beide kanten met een lengte gelijk aan de lengte van de overstaande zijde.

De zes bekomen punten blijken allemaal op éénzelfde cirkel te liggen. Deze cirkel noemt men de Conway-cirkel. Het middelpunt van de cirkel is het middelpunt Ivan de ingeschreven cirkel van driehoek ABC

Normaal gezien is het zeer uitzonderlijk dat zes willekeurige punten op één cirkel liggen. In deze constructie worden de punten enkel bepaald door lengtes van de oorspronkelijke driehoek. Toch ontstaat automatisch een perfecte cyclische configuratie. De stelling toont hoe verborgen symmetrieën in een driehoek kunnen leiden tot onverwachte eigenschappen. Conway stond bekend om zulke elegante meetkundige ontdekkingen: eenvoudig te formuleren, maar diep en verrassend.

Sylvester-Gallai stelling

Geplaatst op 4 januari 2026 door admin

Stel je een eindige verzameling van $n$ punten in het vlak voor, waarbij niet alle punten op éénzelfde rechte liggen. Een verrassend eenvoudige maar diepe bewering luidt dan:

Er bestaat minstens één rechte die door precies twee van deze punten gaat.

Zo’n rechte noemt men vaak een gewone of ordinair rechte. Op het eerste gezicht lijkt dit evident, maar bij nader inzien blijkt het een niet-triviale uitspraak te zijn die aan de basis ligt van een hele tak van de combinatorische meetkunde.

De oorsprong van dit probleem ligt bij J.J.Sylvester (1814-1897), een Britse wiskundige die deze uitspraak publiceerde in 1893, maar geen bewijs gaf. 40 jaar lang werd geen oplossing gevonden. Rond 1930 rakelt Erdös het probleem terug op. De eerste oplossing komt van de Hongaar Grünewald (1933 die onder de naam galli een bewijs in het gecomplementeerd affien vlak geeft. later komen er elegantere oplossingen binnen.

Stap 1 – Kies een minimale afstand

Beschouw alle paren van verschillende punten uit $S, de gegeven verzameling van n punten$ . Omdat $S$ eindig is, bestaat er een paar waarvoor de afstand d(A,B) minimaal is onder alle afstanden tussen twee verschillende punten van $S$ . Laat de rechte zijn door en $B$ .

Stap 2 – Veronderstel dat er een derde punt op ligt

Stel, om een tegenspraak te bekomen, dat er een derde punt op de rechte $r$ ligt. Dan liggen op één lijn. Zonder verlies van algemeenheid ligt $B$ tussen $A$ en $C en dichter bij A.$ Dan geldt: Maar dan is de afstand niet de enige minimale afstand op die rechte: het punt $B$ ligt “tussenin”, wat toelaat een kortere afstand te construeren tussen twee van de drie punten — in tegenspraak met de minimaliteit vand(A,B).

Stap 3 – Conclusie

De veronderstelling dat er een derde punt op ligt is onmogelijk. Dus: Daarmee is de stelling bewezen. ∎

Steinberg suggereert in 1944 dat we misschien de uitspraak van Sylvester nog scherper kunnen stellen. Kunnen we voor bepaalde waarden van n steeds meer dan 1 ordinaire rechte vinden? Sterker nog: kunnen we het aantal ordinaire rechten(m) uitdrukken in functie van het aantal punten(n)? Er zijn al veel publicaties over dit onderwerp verschenen. Kelly en Mose publiceerden als eerste een ondergrens :

$m\geq \frac{3}{7}n$

Hansen onderzocht de waarde van m voor enkele kleine waarden van n en vond (geschreven als koppels (n,m)) : (3,3), (4,3), (5,4) ,(6,3), (7,3), (8,4), (9,6), (10,5)

Hoogtelijnen in een driehoek

Geplaatst op 29 december 2025 door admin

Beschouw een willekeurige driehoek $ABC$ met zijden

$a = |BC|,\qquad b = |CA|,\qquad c = |AB|$ .
Noem $h_a,h_b,h_c$ de lengtes van de hoogtelijnen op respectievelijk $BC,CA,AB$ .
Verder zij $r \quad \text{de straal van de ingeschreven cirkel,}$ en $s = \frac{a+b+c}{2}$
de halve omtrek van de driehoek.

De oppervlakte $\Delta$ van de driehoek kan op twee fundamentele manieren worden uitgedrukt.

Enerzijds geldt, via de hoogtelijnen:

$\Delta = \frac{1}{2} a h_a= \frac{1}{2} b h_b= \frac{1}{2} c h_c.$

Anderzijds is er de klassieke formule met de ingeschreven cirkel:
$\Delta = r s.$

Door beide uitdrukkingen voor de oppervlakte te vergelijken, krijgen we:

$\frac{1}{2} a h_a = r s,$ waaruit volgt: $h_a = \frac{2rs}{a}.$
Analoog vinden we:

$h_b = \frac{2rs}{b}, \qquad h_c = \frac{2rs}{c}.$

Neem nu van deze uitdrukkingen de omgekeerden:
$\frac{1}{h_a} = \frac{a}{2rs}, \qquad\frac{1}{h_b} = \frac{b}{2rs}, \qquad\frac{1}{h_c} = \frac{c}{2rs}.$

Door deze drie gelijkheden op te tellen, bekomen we:

$\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}= \frac{a+b+c}{2rs}.$
Omdat $a+b+c = 2s$ , vereenvoudigt dit tot:

$\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}= \frac{2s}{2rs}= \frac{1}{r}.$

We besluiten dat voor elke driehoek het volgende elegante verband geldt:

$\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}}$

De schoenvetermethode

Geplaatst op 3 september 2025 door admin

De schoenveterformule is een rekenmethode om de oppervlakte van een veelhoek te bepalen wanneer de coördinaten van de hoekpunten bekend zijn. De methode wordt zo genoemd omdat de berekening lijkt op het kruislings strikken van veters: de coördinaten van de punten worden in een tabel onder elkaar gezet, en er worden kruisvermenigvuldigingen gemaakt die visueel doen denken aan een veterpatroon.

Stel dat we een veelhoek hebben met hoekpunten $(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)$ die in volgorde (met de klok mee of tegen de klok in) gegeven zijn.

De oppervlakte $A$ wordt berekend met:

$A=\frac{1}{2}\Big|\sum_{i=1}^n(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)\Big|$

waarbij $(x_{n+1},y_{n+1})=(x_1,y_1)$ , (met andere woorden: het eerste punt wordt na het laatste punt herhaald om de lus te sluiten).

Stappen van de methode

Schrijf de coördinaten van de punten onder elkaar, en herhaal de eerste rij onderaan.
Vermenigvuldig kruiselings:
- van linksboven naar rechtsonder, en tel deze producten op;
- van rechtsboven naar linksonder, en tel deze producten op.
Trek de tweede som af van de eerste som.
Neem de absolute waarde en deel door 2.

Stel, we hebben een driehoek met punten: De tabel wordt:

De oppervlakte van de driehoek is dus A= $\frac{1}{2}|(3.11+5.8+12.4)-(4.5+11.12+8.3)|=27,5$ .

De formule is gebaseerd op de wiskundige theorie van determinanten (ontwikkeld door Leibniz en Cramer in de 17e-18e eeuw).

Wiskunde is leuk

Categorie archieven: Meetkunde