Griekse wiskunde: deel 4

De  4de eeuw voor  Christus: bloeiperiode van de wiskunde. De tijd van Plato en Aristoteles.

We beperken ons tot een overzichtelijke samenvatting van de wiskundige werken, waaruit de krachtlijnen van de onderzoeken zouden moeten blijken. De meeste bijdragen halen een hoog wetenschappelijk niveau en de bewijzen zijn niet alleen wiskundig streng maar getuigen ook van een grote denkkracht en een rijke creativiteit. In het filosofisch stelsel van Plato wordt de wiskunde verheven tot de kunst van het exact redeneren over louter abstracte begrippen, die dus los dienen te staan van elke zintuigelijke waarneming.

  • de  irrationale getallen: Theaetetus (414-370 v.C.), vriend van Plato en Socrates,  stelt in een samenspel tussen meetkunde en getallenleer een classificatie op van 13 irrationaliteiten en bewees ook dat de verzameling irrationale getallen oneindig is.
  • de bekende wiskundige van deze tijd was Eudoxos van Cnidus (405-315 v.C.) .  Hij werkte vooral rond de gulden snede, de doorsnede van krommen en de verdubbeling van een kubus .Hij heeft eveneens ontdekt dat de verhouding van het volume van een piramide ten opzichte van een prisma op hetzelfde grondvlak een op drie is. 
  • De exhaustie methode : het geniale antwoord van Eudoxos op de paradoxen van Zeno. Heeft me, 2 ongelijke grootheden van een zelfde soort, dan kan steeds een natuurlijk getal gevonden worden dat met hun verschil vermenigvuldigd, elke gegeven grootheid van die soort overtreft. Hiermee bewees hij bvb. dat de oppervlakten van twee cirkels zich verhouden als de kwadraten van hun stralen.
  • De 5 regelmatige veelvlakken ( platonische lichamen) , veelvlakken die begrensd zijn door een aantal congruente regelmatige veelhoeken: tetraëder, kubus, dodecaëder, octaëder en de isocaëder. De drie eersten waren reeds bekend aan de Pythagoreeërs. Het was Theaetetus die de laatste twee ontdekte en een nauwkeurige beschrijving gaf van de constructie en de berekening van de ribben in functie van de straal van de omgeschreven bol.
  • Het bestuderen van de 3 grote problemen ( driedeling hoek, verdubbeling kubus en kwadratuur van de cirkel) leidde tot de studie van speciale krommen: de kwadratix ( Hippias van Elis , rond 420 v.C.), de kegelsneden ( Menaechmus rond 350 v.C.)
  • Er ontstond meer en meer de noodzaak om de volledige wiskundige kennis te ordenen tot een samenhangend geheel. Hippochrates van Chios zou de samensteller zijn van de eerste zogenaamde Elementen.  Van hem zijn ook  de maantjes van Hippocrates

Griekse wiskunde: deel 3

De 5de eeuw voor Christus: de eeuw van Pericles, de gouden tijd voor de ontwikkeling van de letteren en de schone kunsten.

Eerste crisisperiode in de wiskunde: de sterke kritische reactie tegen de Pythagorese opvattingen is het werk van onder andere Heraclitus van Ephese (540 v.C. – 480 v. C.) en de wijsgeren uit de school van Elea.Hoewel niet gericht tegen de wiskunde als exacte wetenschap veroorzaakt deze scherpe rationalistische kritiek toch een eerste crisis van het wiskundig denken en leidt ze tot een streng-mathematische aanpak bij de volgende generatie wiskundigen.  Als belangrijkste factoren van deze crisis stippen we aan :

  • de ontdekking van irrationale getallen
  • de paradoxen van Zeno ( som van een oneindig aantal termen is niet steeds oneindig)
  • de trisectie van de hoek, de kwadratuur van de cirkel en de verdubbeling van de kubus (ze vonden geen oplossing met passer en liniaal)

Tijdens de tweede helft van de 5de eeuw vermelden we nog :

  • Meetkunde van de cirkel ( verwaarloosd door Pythagoras)
  • Theodorus van Cyrene toont aan dat de zijden van de vierkanten met oppervlakte 3,5,6,…,17 onmeetbaar zijn en bewijst dus dat \sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6},...,\sqrt{17} irrationale getallen zijn: de spiraal van Theodorus: 


  • Begin van de ruimtemeetkunde ( stereometrie) en perspectiefleer.

Griekse wiskunde deel 2

De bloeitijd van de school van Pythagoras (550-450 v. C.)

Pythagoras( 580-497 v.C.) was de stichter van het filosofisch-religieus-wetenschappelijk genootschap dat in Croton( Zuid-Italie) rond het midden van de 6 de eeuw voor Christus tot ontwikkeling komt en waarvan de leden ( Pythagoreeers genoemd) zich later over de Griekse steden in Zuid-Italie verspreiden. Volgens hun leer moet de onsterfelijke ziel gereinigd worden door het  onderhouden van strenge leefregels ( Acusmata) en door de studie van muziek, getallenleer, meetkunde en sterrenkunde ( de 4 Mathemata). Elke abstracte of concrete werkelijkheid kan door een natuurlijk getal voorgesteld worden.  Alle ontdekkingen worden aan de meester (Pythagoras) opgedragen zodat er geen namen van wiskundigen uit die tijd bekend zijn.  Na zijn dood valt de school uiteen in verschillende sektes: de Mathematicoi die een haast zuiver wetenschappelijke richting uitgaan en de Acuslaticoi die trouw blijven aan de strenge leefregels.  Tot deze laatste groep hoort een Pythagoraeeer die het bestaan van een irrationaal getal ontdekt en daardoor het ganse Pythagorische wereldbeeld laat  instorten. De  meeste sekten worden rond 430 v.C. door de Atheense aristocratie uit Zuid-Italie verbannen.

De grootste verdienste van de Pythagoreeers bestaat hierin dat zij de wiskunde, en vooral de meetkunde, definitief bevrijd hebben van utilitaire motieven. 

Behandelde onderwerpen uit de meetkunde : 

  • stelling van Pythagoras
  • som van de hoeken van een driehoek
  • hoeken die ontstaan door twee evenwijdigen te snijden met een derde rechte
  • oppervlakte van een willekeurige veelhoek
  • eigenschappen van hoeken en bogen in een cirkel

De Pythagorische meetkunde vertoont veel sporen van Babylonische herkomst; zo zijn er een hele reeks stellingen die duidelijk het meetkundig verlengstuk zijn van algebraische vraagstukken . We vinden bijvoorbeeld de formule a^2-b^2=(a+b)(a-b) als betrekkingen tussen oppervlakten van rechthoeken en vierkanten.

Of: is een lengte a en een oppervlakte S gegeven, construeer dan een lengte x zodat de rechthoek met zijden a + x en x als oppervlakte S heeft: deze opgave laat zich herleiden tot het oplossen van de vergelijking ax+x^2=S.

Het abstract getal begrip is ongetwijfeld een creatie van de Pythagoreeers; Ze ontwikkelden een vrij hoogstaande theorie van de natuurlijke getallen, waarbij ze ook gebruik maakten van meetkundige figuren.    Behandelde onderwerpen uit getallenleer :

  • eigenschappen van even en oneven getallen
  • theorie van deelbaarheid (priemgetallen)
  • theorie van evenredigheden
  • kwadraatgetallen, driehoeksgetallen rechthoekige getallen, ruimtelijke getallen

Voor de Pythagoreeers van de oude school waren de natuurlijke getallen de bouwstenen waarmee de hele kosmos kon beschreven worden. Het bestaan van andere dan natuurlijke getallen is voor hen gewoon ondenkbaar. Zij beschouwen breuken dan ook niet als getallen, maar als verhoudingen van twee natuurlijke getallen ( leer van de evenredigheden ). De ontdekking van een getal dat noch een natuurlijk getal is noch een breuk, m.a.w. dat niet rationaal  (ratio=rede,verhouding) is, dus irrationaal, betekent dan ook de totale instorting van de kosmologische opbouw van de Pythagoreeers.

Ze bewijzen dat de schuine zijde en een rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek ( met als rechthoekszijden 1 eenheid) onderling onmeetbaar zijn, waarmee bedoeld wordt dat er geen lijnstuk bestaat dat een geheel aantal keren zowel in de schuine als de rechthoekszijde gaat ( = de verhouding van de schuine zijde tot de rechthoekzijde is een irrationaal getal, dat wij voorstellen als \sqrt{2}. Alzo doorbreken de Pythagoreeers zelf de begrenzingen van hun getalbegrip.

      

Griekse wiskunde: deel 1

De intellectuele geschiedenis van Griekenland ontstaan is de Archaïsche periode ( 8 ste – 6 de eeuw voor Christus) in de stadstaten aan de boorden van de Egeïsche zee.

Deze steden zijn handelscentra die in contact komen met de Oosterse beschavingen. Zo wordt op het einde van de 7de eeuw v. C. , en ongetwijfeld uit Babylonische en Egyptische bronnen, de wiskunde, in het bijzonder de meetkunde, door Thales van Milete
( 624 v.C.-545 v.C.) geïntroduceerd.

Eerste van 7 wijzen, vader van de Griekse meetkunde, ziehier twee epitheta van Thales. De filosofen uit die tijd stelden zich tot doel orde te scheppen in de schijnbare wanorde van de ons omringende werkelijkheid. Ze probeerden een antwoord te vinden op de vraag naar het waarom der dingen. Geconfronteerd met de onbetrouwbare gegevens van de Babylonische en Egyptische wiskunde, probeerde Thales dan ook niet alleen de waarheid, maar ook het waarom van die resultaten te achterhalen en ze te ordenen. De Griekse meetkunde vertoont aldus van bij de geboorte haar karakter van deductieve wetenschap. 

Volgende stellingen worden aan Thales toegeschreven:

  • elke middellijn verdeelt de cirkel in twee congruente delen.
  • de basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk.
  • overstaande hoeken zijn gelijk.
  • het congruentiekenmerk HZH.

Onder druk van de Perzische veroveringen in Klein-Azië verplaatst het centrum van de culturele activiteiten zich halfweg de 6de eeuw v.C. naar Zuid-Italië en Sicilië: hier komt men in de school van Pythagoras tot intensieve beoefening van de wiskunde.

 

 

 

 

Pythagoras

Vraag iemand wat hij nog kent uit de wiskunde, dan heb je veel kans dat de naam Pythagoras voor de dag komt.

Vooreerst: de stelling  werd reeds  lang toegepast voor er zelfs sprak was van Pythagoras. De Babyloniërs, Egyptenaren en Chinezen kenden deze eigenschap reeds lang. Op verschillende Babylonische kleitabletten komen vraagstukken voor, waarin een zijde van een rechthoekige driehoek berekent wordt uit de twee andere zijden.  Zij beschikten zelfs over tabellen van Pythagoras getallen ( gehele getallen die voldoen aan de stelling hierboven). Typisch bij die preredenerende wiskunde is dat geen enkel bewijs werd aangetroffen. De formules werden ook niet in een algemene vorm opgeschreven, maar onmiddellijk toegepast.

Voor bewijzen in de wiskunde moeten we wachten tot de Grieken op de voorgrond treden. Voor de eerste keer in de geschiedenis heeft de mens behoefte de wereld en haar verschijnselen te verklaren met behulp van het zuivere intellect.  Zo zou bijvoorbeeld de wiskundige Thales omstreeks 600 voor Christus voor het eerst het aspect bewijzen naar voor brengen in zijn werk.

Het is echter Pythagoras die we de eerste exacte wetenschappelijke onderzoeker kunnen noemen. Hij was niet de ontdekker van de naar hem genoemde stelling, maar hij was wel de eerste die een algemeen meetkundige bewijs gaf. Hij  was  de  eerste  wiskundige die  de  wiskunde  bestudeerde  als   theorie  en  niet  als praktische toepassing.   De intellectuele  sprong van 5 mensen,  5 boten, enz. naar  het  abstracte  getal 5 was  een  grote  gebeurtenis,  ook   al  is  dat  voor   ons  volkomen  normaal.

Pythagoras werd geboren rond 570 v. Chr. op het Griekse eiland Samos. Hij groeide op op Samos en reisde veel met zijn vader en bezocht zo de Griekse filosoof en wiskundige Thales en woonde lezingen bij van Anaximander, een leerling van Thales. Hij bezocht ook Egypte en tijdens de oorlog tussen Egypte en Perzië werd hij gevangengenomen en naar Babylon gebracht. Rond 520 v. Chr. keerde hij terug naar Samos. Vlak daarna ging hij naar Zuid-Italië en stichtte zij Pythagoreïsche school in Croton.

Pythagoras’ groep, de Pythagoreeërs, was een soort sekte waar religie en wiskunde hand in hand gingen. De Pythagoreeërs bestonden uit twee groepen: de eerste groep de mathematikoi , woonde bij en werd onderwezen door Pythagoras. De groep moest ethisch leven, het pacifisme aanhangen en de ‘ware aard van de werkelijkheid’ bestuderen: getallen of wiskunde. De tweede groep waren  de akousmatikoi, die in hun eigen huis woonden en alleen overdag naar de school kwamen.

Maar niet alles was wiskunde. De  Pythagoreeërs geloofden ook in zielsverhuizing en reïncarnatie.    

In 508 v. Chr. werd de Pythagoreïsche gemeenschap aangevallen door Cylon, een edelman uit Croton. Pythagoras vluchtte naar Metaponte en overleed ongeveer 8 jaar later. Na zijn dood splitste de groep zich op in een wiskundige en een religieuze tak.