Griekse wiskunde deel 6

Over de mens Euclides is weinig bekend, We weten dat hij rond 300 v.C. wiskunde doceerde in het museion van Alexandrië. Gevormd in de scholen van Plato en Aristoteles, is hij dus één van de Griekse intellectuelen die naar Alexandrië toestroomden om er beroepsgeleerde te worden. 

Uit de analyse van zijn werken is vrij duidelijk te zien dat Euclides geen groot wiskundige was, maar wel een buitengewone didacticus. Zo ligt het geniale van zijn Elementen niet zozeer in de inhoud, want die is afkomstig van zijn grote voorgangers Archytas, Theatetus en Eudoxos. Maar het bijzondere is de gepaste keuze van de volgorde, waar de verschillende onderdelen worden behandeld. Een vrij omvangrijk eerste deel is ook toegankelijk voor middelmatige leerlingen, de moeilijke delen komen pas later aan de beurt.

De elementen staat zeker op de lijst van de boeken die het grootst aantal uitgaven en vertalingen hebben gekend. Deze bestseller omvat 13 boeken, waaraan door latere wiskundigen nog 2 boeken zijn toegevoegd. ( o.a. een boek over regelmatige veelvlakken). De boeken 1 tot 4 handelen over de meetkunde van de rechte, de driehoek en de cirkel. Boeken 5 en 6 zijn gewijd aan de leer van de evenredigheden en de gelijkvormige figuren. In boeken 7,8 en 9 gaat het over de natuurlijke getallen. Boek 10 bestudeert de irrationale getallen. Tenslotte gaat het in de boeken 11,12 en 13 over de meetkunde van de ruimte en de 5 regelmatige veelvlakken.

Vierkantswortels

Vierkantswortels zijn al eeuwenlang bekend. De Rhindpapyrus verwijst al in 1650 v.Chr. naar vierkantswortels, maar dat is niet zo vreemd, want wortels houden verband met oppervlaktes en diagonalen van vierkanten en rechthoeken.

\sqrt{2} was nogal wat voor de Pythagoreeëers. De ontdekking dat de wortel van 2 irrationaal was, zat hen echt dwars. De idee dat een getal niet kon worden uitgedrukt als een breuk was ondenkbaar. Het was Hippasus van Metaponte die dit bewijs leverde en het verhaal gaat dat hij zijn ontdekking op zee deed, waarna hij overboord werd gegooid!Archimedes maakte een zeer nauwkeurige schatting van de wortel uit 3 :

    \[\frac{265}{153}<\sqrt{3}<\frac{1351}{780}\]

of uitgedrukt in decimalen: 1,7320261<\sqrt{3}<1,7320512.  Let op dat dit tweede getal slechts 0,0000004 afwijkt , wat erg nauwkeurig is gezien Archimedes geen rekentoestel had en niet werkte in het tientallig stelsel. Sommige bronnen beweren dat hij de Babylonische methode volgde.

Deze methode, ook Herons methode genoemd, is een fraaie iteratieve formule. Bij \sqrt{S} , nemen we eerst een ruwe schatting en noemen die x_0. Verder geldt:

    \[x_{n+1}=\frac{1}{2}\Big(x_n+\frac{S}{x_n}\Big)\]

Op het rekentoestel vinden we voor de wortel uit 3 de waarde 1,732050808. Als eerste schatting nemen we x_0=2. dan is x_1=\frac{1}{2}(2+\frac{3}{2})=1,75. We hebben al twee cijfers juist. Een betere benadering is x_2=\frac{1}{2}(1,75+\frac{3}{1,75})=1,7321. Nu hebben we de eerste 4 cijfers van \sqrt{3} en als we willen, kunnen we hiermee doorgaan om steeds een nauwkeurigere schatting te krijgen van de wortel uit 3.

Ada Lovelace

 

In 1815 werd Augusta, kortweg Ada, geboren als dochter van de bekende Engelse dichter Lord Byron en barones Milbanke. Ada’s moeder zou haar opvoeden tot wiskundige en onderzoeker. De reden hiervoor was dat ze bang was dat Ada anders net als haar vader zou eindigen als dichter.

Via de Schotse Mary Sommerville, een schrijfster van wetenschappelijke boeken, kwam Ada op haar 17de in contact met Charles Babbage( 1791-1871). Omdat deze laatste zich ergerde aan de fouten in vele astronomietabellen, bedacht hij zijn Difference Engine, een door stoom aangedreven mechanische machine die deze berekeningen automatisch kon uitvoeren. De machine steunde op de methode van eindige verschillen ontwikkeld door de wiskundige Gaspard de Prony (1755-1839), waardoor ze niet moest kunnen vermenigvuldigen of delen, wat mechanisch moeilijk uit te voeren was.

Ada, inmiddels getrouwd met Lord William King, graaf van Lovelace, begreep onmiddellijk het potentieel van de programmeerbare machine, eigenlijk de voorloper van onze huidige computers.

Lovelace  kon niet zo maar onder haar eigen naam een artikel publiceren. Daarom vertaalde ze een samenvatting van het artikel Notions sur la Machine Analytique ( van Luigi Menabrea) uit het Frans naar het Engels. Babbage stelde voor dat zij dit met haar eigen aantekeningen zou uitbreiden tot een artikel – wat de oorspronkelijke tekst drie keer zo lang maakte. Dit artikel werd gepubliceerd in 1843; In een appendix stond uitgeschreven hoe de machine een recursieve wiskundige berekening kon uitvoeren om de rij van Bernouilli-getallen te berekenen. Babbage had die nodig om zijn astronomische functies beter te benaderen. Dit uitgeschreven plan wordt nu beschouwd als het eerste computerprogramma.

Ada Lovelace overleed op 36-jarige leeftijd aan bloedingen ten gevolge van een behandeling tegen baarmoederkanker. 

De programmeertaal Ada, in 1979 ontwikkeld in opdracht van het Amerikaanse Ministerie van Defensie, is naar haar vernoemd.

 

Griekse wiskunde: deel 5

De Hellenistische periode ( 4de -1ste eeuw v.C.) was  het tijdperk waarin het oude Griekenland op zijn hoogtepunt was vanaf de veroveringen door Alexander de Grote tot de Romeinse verovering van Griekenland en het oude Nabije Oosten (334–30 v.Chr.).

De Griekse cultuur verspreidt zich over alle oosterse landen, verrijkt zich aan de Egyptische en Babylonische beschavingen, bereikt nieuwe toppen en deint dan langzaam uit. De nieuwe centra van deze Hellenistische cultuur worden Alexandrië, Seleucia en Syracuse.

De oude schrijfwijze van de getallen ( die van de zelfde aard was als de latere Romeinse) wordt in de derde eeuw v.C. vervangen door een systeem van lettergetallen, dat van Fenicische oorsprong is. De gebruikte tekens zijn de 24 letters van het klassiek-Griekse alfabet, aangevuld met drie oude letters: digamma, koppa en sampi.

De letters worden gevolgd door een accent opdat men ze niet zou verwarren met de letters die woorden vormen. Om duizendtallen aan te duiden plaatst men een accent onderaan links van de letter, die het aantal duizendtallen aangeeft.

Om ook getallen groter dan 10000 te kunnen schrijven, stelt Appolonius  voor de letter M te plaatsen na de tekens die het aantal tienduizendtallen aanduiden. Zo kunnen uiteindelijk alle getallen tot 99999999 worden voorgesteld. Nochtans steekt de complexiteit van deze vernieuwde Griekse schrijfwijze schril af tegen de eenvoud van het bijna positionele stelsel van de Babyloniërs.

De voorstelling van de breuken is zo mogelijk nog ingewikkelder: enerzijds worden de stambreuken zoals 1/3, 1/4,..; aangeduid met de lettertekens voor 3,4,.. gevolgd door een dubbel accent; anderzijds noteert men een gewone breuk zoals 5/7  met behulp van een streep boven het noemer gedeelte. Deze streep is misschien wel de voorloper van onze breukstreep, zoals ze later door de Arabieren wordt ingevoerd.

De romeinse veroveraars nemen uiteindelijk deze Griekse schrijfwijze niet over.

 

Quipu

Het eerste schrift in de geschiedenis was geen volledig schrift. Een volledig schrift is een systeem van tekens dat gesproken taal min of meer kan weergeven. Een gedeeltelijk schrift daarentegen is een systeem van tekens dat alleen bepaalde soorten informatie kan weergeven. De Inka’s hadden zo een gedeeltelijk schrift. Het werd niet geschreven op kleitabletten ( zoals het Soemerische schrift) of stukjes papier, maar geknoopt op kleurrijke koordjes die quipu’s heetten.

In elke koord werden op verschillende plaatsen knopen gelegd. Eén quipu kon honderden koordjes bevatten. Door combinaties van verschillende knopen in verschillende koorden in verschillende kleuren konden grote hoeveelheden rekenkundige gegevens vastgelegd worden over bijvoorbeeld belastinginning en eigendomsrechten.