Niet-Euclidische meetkunde

 

De meetkunde, die we dagelijks gebruiken, wordt Euclidische meetkunde genoemd, ter ere van Euclides, die tussen 330 en 320 voor Christus een aantal boeken, genaamd „Elementen” geschreven heeft.

Hierin wordt  de meetkunde opgebouwd met stellingen vertrekkend van een vijftal postulaten of axioma’s: 
1. Door 2 verschillende punten gaat juist 1 rechte.
2. Een lijnstuk kan naar beide kanten onbeperkt worden
    verlengd.
3. Er kan met elk middelpunt en elke straal een cirkel
    getrokken worden.
4. Alle rechte hoeken zijn gelijk.
5. Door een punt P buiten een rechte , gaat precies één rechte
    die evenwijdig loopt met  de eerste rechte.

Dit laatste axioma staat bekend als het parallellenpostulaat.
Eeuwen heeft men gedacht dat men dit postulaat kon bewijzen aan de hand van de andere vier axioma’s. Trouwens de formulering van het parallellenpostulaat was oorspronkelijk anders.  De gegeven formulering komt van John Playfair. Deze formulering stamt uit 1795 en staat bekend als “Playfair’s axioma” . Een andere gelijkwaardige formulering van dit postulaat is dat de hoekensom van een driehoek gelijk is aan 180°.

Het duurde tot de 19 de eeuw voor het juist inzicht er kwam en wel bij 3 wiskundigen ongeveer gelijktijdig en waarschijnlijk onafhankelijk van elkaar: C.F.Gauss, J.Bolyai en I.Lobatschefsky.

Het was Joha,, Bolyai die tot het inzicht kwam dat het mogelijk was een meetkunde op te stellen, waarin door een punt buiten een rechte oneindig veel rechten gaan die de gegeven rechte niet snijden. Hij publiceerde zijn ideeën in 1832 en gaf zo gestalte aan de hyperbolische meetkunde. De som van de hoeken van een driehoek is hier minder dan 180°.  In de hyperbolische meetkunde wordt dus niet meer aan het parallellenpostulaat voldaan. 
Later werd ook de elliptische meetkunde ontdekt. Elliptische meetkunde is een niet-Euclidische meetkunde, waarbij door een punt buiten een rechte  geen andere rechten bestaat die de gegeven rechte niet snijdt.

De gewone meetkunde is dus niet de meetkunde, maar een  meetkunde. Met andere axioma’s krijgen we een ander soort meetkunde.

4.Egyptische wiskunde

Onze grootste kennis van de Egyptische wiskunde komt van twee papyri: Rhind ( rond 1450 v.C.) en Moscou (1750 v.C)

De Egyptenaren gebruikten een tientallig stelsel met volgende tekens:

 

 

 

 

 

 

De notatie is in wezen additief:

Enkele merkwaardigheden:

  • Om te vermenigvuldigen gebruikten ze een reeks van verdubbelingen. De vermenigvuldiging wordt dus herleid tot een aantal optellingen. Eén van de getallen werd dus in feite  binair herschreven. Zo wordt 25 x 13 = (16 + 8 + 1) x 13.
  • De Egyptenaren rekenden met stambreuken en eventueel hun complement: \frac{1}{n} of  \frac{n-1}{n}. Een stambreuk werd genoteerd als \overline{n}. Alle andere breuken trachtten ze te schrijven als som van stambreuken, waarbij elke stambreuk slechts één keer mag voorkomen. ze kenden hiervoor enkele formules zoals bvb. \frac{2}{3n}=\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n}.
  • De deling werd beschouwd als een vermenigvuldiging met een stambreuk. Zo is het quotiënt van 13 door 21 gelijk aan (1+4+8).\overline{21}=\overline{21}+2.\frac{2}{21}+4\frac{2}{21}=\overline{21}+2.(\frac{1}{42}+\frac{1}{14})+4(\frac{1}{42}+\frac{1}{14})=\overline{21}+\overline{2}+\overline{14}.
  • De rekenkunde van de Egyptenaren was minder gevorderd dan die van de Babyloniërs.
  • Met de meetkunde was het anders gesteld, deze wordt wel eens  ” een geschenk van de Nijl ” genoemd. Toch vertoonde de meetkunde nooit een deductieve structuur.
  • Als iemand bij de jaarlijkse overstromingen van de Nijl land verloor, moest hij dit aan de farao melden. Deze stuurde dan dienaren die het verlies gingen opmeten en een proportionele belastingsvermindering toestonden. Het opmeten, en eventueel herverkavelen, was het werk van de harpedonapten, die gebruik maakten van touwen waarin op regelmatige afstanden knopen lagen. Zo maakten ze bvb. gebruik van de eigenschap: een driehoek waarvan de zijden 3-4-5 lengte hebben , is rechthoekig.
  • Ze kenden een formule voor de inhoud van een afgeknotte vierkantige piramide.
  • De jaarlijkse overstromingen gaven ook aanleiding tot kalenderrekening en astronomie.
  • Voor \pi gebruikten ze een heel goede benadering : 3,1605.
  • De Egyptische wiskunde heeft zich meer dan 2000 jaar kunnen ontwikkelen, maar starre staatsstructuren en geheimhouding door priesters verhinderden een ongeremde ontwikkeling. In het eerste millenium voor Christus zou een beschaving opstaan die op wiskundig gebied de Egyptische en Babylonische ver zou overvleugelen: de Griekse.

3.Wiskunde in Mesopotamië

 

Mesopotamië wordt beschouwd als de bakermat van onze beschaving: het schrift, het wiel en de woonentiteit, die we nu ‘stad’ noemen, waren uitvindingen van de verschillende beschavingen die achtereenvolgens het gebied beheersten: Soemerë, Ur, Akkad en Babylonië. 

Het Mesopotamisch numeriek systeem is zestigdelig en positioneel:

POSITIONEEL : De cijfers van 1 tot 59 werden voorgesteld door een combinatie van 2 symbolen: het eenheidssymbool en het tien-symbool. 

ZESTIGDELIG : 1.60³+57.60²+46.60+40 = 424000

 

Het getal 0 kenden ze niet. Optellen en aftrekken ging erg vlot. Het vermenigvuldigen had wat meer voeten in de aarde. In ons tientallig stelsel, moeten de tafels tot en met 9 bekend zijn om te kunnen vermenigvuldigen.  Doordat ze echter gebruik maakten van een zestigtallig stelsel moesten alle tafels tot en met 59 bekend zijn om verder te rekenen. Zij hadden per tafel 23 producten nodig: van 1 tot en met 20, 30, 40 en 50. In totaal dus 59 × 23 = 1357 producten. Er zijn ook kleitabletten met hierop de kwadraten van 1 tot en met 59 gevonden.  Door gebruik te maken van de formule :

    \[a.b = \frac{1}{2}\Big((a+b)^2-a^2-b^2\Big)\]

 

    \[a.b=\frac{1}{4}\Big((a+b)^2-(a-b)^2\Big)\]

konden ze via de tabellen met kwadraten ook vermenigvuldigingen uitvoeren. Om een deling uit te voeren hadden ze een tabel waarin de omgekeerden stonden van hun basisgetallen.

Lange tijd werd gedacht dat de Babyloniërs niet aan meetkunde deden, maar alleen rekenden om bijvoorbeeld voedselvoorraden bij te houden. maar men heeft kleitabletten gevonden waar twee intervallen op staan wanneer Jupiter aan de horizon verschijnt. De positie van de planeet wordt berekend op zestig en honderdtwintig dagen. De tekst bevat geometrische berekeningen gebaseerd op het oppervlak van een trapezium met lange en korte zijden.

 

We geven een paar voorbeelden uit de praktijk van de Babylonische wiskunde:

  • Een methode om de verhouding van de diagonaal tot de zijde van een vierkant te berekenen: Een vierkant met zijde 30 heeft een diagonaal 42;25,35. Daaruit wordt de verhouding van de diagonaal tot de zijde berekend als 1;24,51,10 of omgerekend in ons tiendelig stelsel 1,4142130 wat ongeveer de vierkantswortel uit 2 is.


  • Pythagorese drietallen  in het tablet Plimton 322:

2.De beschavingen van de riviervalleien

Ongeveer 10000 jaar geleden veranderde de Neolithische revolutie voor altijd de interactie tussen de mens en de wereld om ons heen door de invoering van het basis ingrediënt dat beschaving mogelijk maakt: de landbouw.

Voorafgaand aan de Neolithische agrarische revolutie, leefden de mensen ​​als jager-verzamelaars, constant in beweging om zichzelf te voeden. Ze waren georganiseerd in kleine nomadische groepen, meestal van rond de twintig tot dertig mensen. Ze waren niet in staat om in grote populaties te leven vanwege hun beperkte voedselvoorziening en de noodzaak om te blijven bewegen.

De Neolithische agrarische revolutie vond zijn oorsprong in het Midden-Oosten, waarschijnlijk vanwege het gunstige klimaat. Maar na verloop van tijd werd de landbouw verspreid naar andere vruchtbare gebieden rond rivieren, zoals Egypte rond de Nijl en de Indus vallei.

De voornaamste reden was de beschikbaarheid van water. grote hoeveelheden water en vruchtbare grond, bevorderd door regelmatige overstromingen, zorgden voor overvloedige landbouwproductie en niet alle beschikbare arbeid moest voor de landbouw worden gebruikt. Zo was het voor sommige leden van de gemeenschap mogelijk andere activiteiten te beoefenen, zoals bouw, handel of administratie.

Het is duidelijk dat hierdoor een sterke behoefte ontstond aan het beoefenen van activiteiten zoals meten en vergelijken van hoeveelheden, die noodzakelijk werden om handel te drijven, opmeten van landerijen vereist om eigendommen te verdelen en de studie van de bewegingen van zon, maan en planeten die leidden  tot het berekenen van een kalender en het bepalen van seizoenen. Deze activiteiten werden uiteraard sterk bevorderd door wiskundig denken.

1. Vroegste sporen van wiskundig denken

Het is onmogelijk te bepalen wanneer de primitieve mens vertrouwd geraakte met basis begrippen zoals hoeveelheden en vormen. Het staat wel vast dat ruim 30000 jaar geleden de mens reeds  verder dacht dan de hoeveelheden één, twee en meer. Hij toonde ook interesse is regelmatig weerkerende verschijnselen zoals de opeenvolging van de dagen, de maanfasen of de wisseling van de seizoenen.

De primitieve mens vertrok uit Afrika om de rest van de wereld te bevolken. Een aantal ‘bewijzen’ van hun eerste wiskundig denken:

  • Het Lebombo beentje: Het is een gekerfd beentje, gedateerd op ca. 35.000 jaar v.Chr. Het werd gevonden in het Lebombo gebergte ergens tussen  Zuid-Afrika en Swasiland.  Het vertoont overeenkomsten met de kalenderstokjes . Het geeft niet aan dat de mensen in staat waren om te rekenen, maar wel om te tellen en een bepaalde cyclus te achterhalen.
  • Het Ishango beentje: Het werd gevonden nabij Ishango ( Belgisch Congo) en is ongeveer 22000 jaar oud. Men vermoedt dat het om telstokjes gaat, waarbij basis 6 en 10 worden gebruikt.
    De eerste kolom geeft alle priemgetallen tussen 10 en 20. Totale som 60. De som van de tweede kolom is 48 en van de derde is terug 60. In d ederde kolom komen de getallen voor die 1 verschillen van een tiental: 9,11,19 en 21.
  • Rotsschilderingen  tonen de mogelijkheid van de primitieve mens om ongeveer 35000 jaar geleden figuratieve en abstracte vormen weer te geven.