Griekse wiskunde: deel 1

De intellectuele geschiedenis van Griekenland ontstaan is de Archaïsche periode ( 8 ste – 6 de eeuw voor Christus) in de stadstaten aan de boorden van de Egeïsche zee.

Deze steden zijn handelscentra die in contact komen met de Oosterse beschavingen. Zo wordt op het einde van de 7de eeuw v. C. , en ongetwijfeld uit Babylonische en Egyptische bronnen, de wiskunde, in het bijzonder de meetkunde, door Thales van Milete
( 624 v.C.-545 v.C.) geïntroduceerd.

Eerste van 7 wijzen, vader van de Griekse meetkunde, ziehier twee epitheta van Thales. De filosofen uit die tijd stelden zich tot doel orde te scheppen in de schijnbare wanorde van de ons omringende werkelijkheid. Ze probeerden een antwoord te vinden op de vraag naar het waarom der dingen. Geconfronteerd met de onbetrouwbare gegevens van de Babylonische en Egyptische wiskunde, probeerde Thales dan ook niet alleen de waarheid, maar ook het waarom van die resultaten te achterhalen en ze te ordenen. De Griekse meetkunde vertoont aldus van bij de geboorte haar karakter van deductieve wetenschap. 

Volgende stellingen worden aan Thales toegeschreven:

  • elke middellijn verdeelt de cirkel in twee congruente delen.
  • de basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk.
  • overstaande hoeken zijn gelijk.
  • het congruentiekenmerk HZH.

Onder druk van de Perzische veroveringen in Klein-Azië verplaatst het centrum van de culturele activiteiten zich halfweg de 6de eeuw v.C. naar Zuid-Italië en Sicilië: hier komt men in de school van Pythagoras tot intensieve beoefening van de wiskunde.

 

 

 

 

Pythagoras

Vraag iemand wat hij nog kent uit de wiskunde, dan heb je veel kans dat de naam Pythagoras voor de dag komt.

Vooreerst: de stelling  werd reeds  lang toegepast voor er zelfs sprak was van Pythagoras. De Babyloniërs, Egyptenaren en Chinezen kenden deze eigenschap reeds lang. Op verschillende Babylonische kleitabletten komen vraagstukken voor, waarin een zijde van een rechthoekige driehoek berekent wordt uit de twee andere zijden.  Zij beschikten zelfs over tabellen van Pythagoras getallen ( gehele getallen die voldoen aan de stelling hierboven). Typisch bij die preredenerende wiskunde is dat geen enkel bewijs werd aangetroffen. De formules werden ook niet in een algemene vorm opgeschreven, maar onmiddellijk toegepast.

Voor bewijzen in de wiskunde moeten we wachten tot de Grieken op de voorgrond treden. Voor de eerste keer in de geschiedenis heeft de mens behoefte de wereld en haar verschijnselen te verklaren met behulp van het zuivere intellect.  Zo zou bijvoorbeeld de wiskundige Thales omstreeks 600 voor Christus voor het eerst het aspect bewijzen naar voor brengen in zijn werk.

Het is echter Pythagoras die we de eerste exacte wetenschappelijke onderzoeker kunnen noemen. Hij was niet de ontdekker van de naar hem genoemde stelling, maar hij was wel de eerste die een algemeen meetkundige bewijs gaf. Hij  was  de  eerste  wiskundige die  de  wiskunde  bestudeerde  als   theorie  en  niet  als praktische toepassing.   De intellectuele  sprong van 5 mensen,  5 boten, enz. naar  het  abstracte  getal 5 was  een  grote  gebeurtenis,  ook   al  is  dat  voor   ons  volkomen  normaal.

Pythagoras werd geboren rond 570 v. Chr. op het Griekse eiland Samos. Hij groeide op op Samos en reisde veel met zijn vader en bezocht zo de Griekse filosoof en wiskundige Thales en woonde lezingen bij van Anaximander, een leerling van Thales. Hij bezocht ook Egypte en tijdens de oorlog tussen Egypte en Perzië werd hij gevangengenomen en naar Babylon gebracht. Rond 520 v. Chr. keerde hij terug naar Samos. Vlak daarna ging hij naar Zuid-Italië en stichtte zij Pythagoreïsche school in Croton.

Pythagoras’ groep, de Pythagoreeërs, was een soort sekte waar religie en wiskunde hand in hand gingen. De Pythagoreeërs bestonden uit twee groepen: de eerste groep de mathematikoi , woonde bij en werd onderwezen door Pythagoras. De groep moest ethisch leven, het pacifisme aanhangen en de ‘ware aard van de werkelijkheid’ bestuderen: getallen of wiskunde. De tweede groep waren  de akousmatikoi, die in hun eigen huis woonden en alleen overdag naar de school kwamen.

Maar niet alles was wiskunde. De  Pythagoreeërs geloofden ook in zielsverhuizing en reïncarnatie.    

In 508 v. Chr. werd de Pythagoreïsche gemeenschap aangevallen door Cylon, een edelman uit Croton. Pythagoras vluchtte naar Metaponte en overleed ongeveer 8 jaar later. Na zijn dood splitste de groep zich op in een wiskundige en een religieuze tak.

Over goniometrie

Het woord goniometrie of trigonometrie komt van twee Griekse woorden: trigonon(driehoek) en metro(maat).

Zo’n 3000 jaar geleden kenden de oude Babyloniërs een vorm van goniometrie en van hen kwam het idee van 360^\circ. Ze gaven ons zestig minuten in een graad en zestig seconden in een minuut.

Ook de grieken gebruikten al ver gevorderde goniometrie. Euclides en Archimedes ontwikkelden stellingen, weliswaar meetkundig met goniometrische equivalenten. De eerste goniometrische tabel (Tōn en kuklōi eutheiōn (Of Lines Inside a Circle) is waarschijnlijk gemaakt door Hipparchus van Nicaea door sommigen de ‘vader van de goniometrie genoemd.

De tabel was een hulpmiddel bij het oplossen van driehoeken maakte gebruik van koorden en de formule

    \[\text{koorde}(\alpha)=2r \sin \frac{\alpha}{2}\]

De Indiase wiskundige Aryabhata ( 476-550 BC) ontwikkelde de verhoudingen van sinus  ( overstaande rechthoekzijde tot schuine zijde) en cosinus ( aanliggende rechthoekzijde tot schuine zijde). In zijn werk Saan ook de oudste bewaard gebleven sinustabellen.

In de zevende eeuw maakte de Indiase wiskunde Bhaskara een vrij nauwkeurige formule om de sinus van x ( in radialen) uit te rekenen zonder tabel:

    \[\sin x=\frac{16x(\pi-x)}{5\pi^2-4x(\pi-x)}\]

Deze ideeën kwamen via Perzië naar  het westen. Al-Khwarizmi maakte in de negende eeuw goniometrische tabellen voor sinus, cosinus en tangens. Een eeuw later gebruikten islamitische wiskundigen de volledige ‘bubbel van 6’ ( sinus, cosinus, tangens, secans, cosecans en cotangens) en zij hadden tabellen voor toenames met een kwart graad, die tot 8 decimalen nauwkeurig waren.

Nu kent de goniometrie vooral toepassingen in de landmeetkunde en de navigatie 

 

Symbolen

Wiskundige symbolen om een gelijkheid of een ongelijkheid aan te duiden werden pas na 1500 ingevoerd. Het = teken werd het eerst gebruikt in 1557 bij Robert Recorde (1510-1558), een Welshe wiskundige.

De symbolen < en > werden voor het eerst gebruikt in een boek van Thomas Harriot (1560-1621), een Engelse wiskundige, in 1631, ongeveer 10 jaar na zijn dood? Sommigen beweren dat de symbolen aan zijn uitgever werden toegeschreven.

Ruim 100 jaar later, in 1734, werden de symbolen \geq en \leq ingevoerd door de Franse wiskundige Pierre Bouguer (1698-1758).

 

Een korte geschiedenis van pi

Pi is de verhouding tussen de omtrek en de middellijn van een cirkel:

    \[\pi=\dfrac{\text{omtrek}}{\text{middellijn}}\]

Dit leidt tot de misvatting dat pi een rationaal getal is, want het kan geschreven worden als een breuk! We vergeten hierbij dat, in een breuk, felle en noemer gehele getallen moeten zijn. Maar bij pi is hetzij de omtrek , hetzij de diameter irrationaal. 

Het idee van pi als constante bestaat al lang. De Egyptenaren schatten het op \frac{25}{8}=3,125 en de Mesopotamiërs gaven het de waarde van \sqrt{10}\approx 3,162.

Archimedes was de eerste die pi grondig onderzocht. Door veelhoeken in een cirkel te  tekenen en hun omtrek te berekenen, kon hij pi schatten tussen \frac{223}{71} en \frac{22}{7}. sinds Archimedes is de nauwkeurigheid van pi groter geworden. Dank zij de computer kennen we nu pi tot op miljarden cijfers nauwkeurig.

Een paar schattingen door de eeuwen heen:

  • papyrus Rhind ( 1650 BC) :  3,16045
  • Archimedes (250 BC) : 3,1418
  • Ptolemaeus (150 AD) 3,14166
  • Brahmagupta (640 AD): 3,1622   
  • Al-Khwarizmi (800 AD) : 3,1416
  • Fibonacci (1220 AD) : 3,141818

Het symbool \pi, voor pi werd in 1706 geïntroduceerd door William Jones in zijn boek Synopsis Palmariorum Mathesis. 

Pi kan ook voorgesteld worden door een reeks . De veertiende eeuws Indiase wiskundige Madhava gebruikte de volgende reeks :

    \[\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}\cdots\]

Dit convergeert eerder traag naar pi. Euler gebruikte de reeks :

    \[\frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}\cdots\]

De Engelse wiskunde Wallis maakte gebruik van:

    \[\frac{\pi}{2}=\frac{2}{1}*\frac{2}{3}*\frac{4}{3}*\frac{4}{5}*\frac{6}{5}\cdots\]