Graaf van een groep

Er bestaat een manier om de structuur van een groep visueel voor te stellen. Het was de Engelse wiskundige Arthur Cayley die in 1878 als eerste gebruik maakte van de theorie van de grafen om dit te doen. We spreken dan ook van een Cayley – graaf van een groep.

Gegeven zijn een groep G en een verzameling van generatoren van de groep. De Cayley – graaf van G is dan een gekleurde en gerichte graaf die opgebouwd is volgens de volgende regels:

  • Met elk element van de groep correspondeert 1 knoop van de graaf.
  • Voor elke generator gebruiken we een aparte kleur.
  • Als a een generator is, dan gaat er, in de kleur die bij a hoort, een gerichte zijde van elk element g van de groep naar het element g.a.

Voor de cyclische groep van orde 6 ( \mathbb{Z}_5,+ ) is de graaf zeer eenvoudig: De generator is 1.

Voor de dihaedergroep D_4 is het al wat moeilijker: de generatoren zijn a en b. De rode pijl geeft de  rechtervermenigvuldiging met a en de blauwe de rechtervermenigvuldiging met b. Bij de blauwe pijl ontbreekt de pijlrichting omdat de pijl heen en terug gaat.

Enkelvoudige groepen

De classificatie stelling van eindige enkelvoudige groepen classificeert alle eindige enkelvoudige groepen. Deze groepen zijn de bouwstenen van alle eindige groepen, zoals de priemgetallen de bouwstenen zijn van de natuurlijke getallen. De stelling beslaat meer dan 10000 pagina’s verspreid over meer dan 500 artikels in de periode van 1955 tot 1983. Michael Aschbacher en Steve Smith hebben de laatste puntjes op de spreekwoordelijke i geplaatst.

De enkelvoudige groepen zijn:

  • de cyclische groepen C_p van priem orde.
  • de alternerende groepen A_n met n \geq 5.
  • de Chevalley groepen en de gedraaide Chevalley groepen.
  • De Tits groep.
  • 26 sporadische groepen waaronder de 5 Mathieu groepen.

Een bespreking van al die groepen vind je in de “atlas van de eindige groepen ” van Conway,Curtis,Norton,Parker en Wilson.

Groep acties en de stellingen van Sylow

In dit hoofdstuk bestuderen we de werking van een groep op een verzameling.

groupaction

Verder bespreken we ook de stellingen van Sylow, die ons iets leren over bepaalde deelgroepen van een gegeven groep. De stellingen kunnen worden gebruikt om informatie over de structuur van een eindige groep te verkrijgen.

sylow

Lees hier voor verdere informatie