Sangaku 2

Geplaatst op 19 oktober 2020 door admin

Dit probleem komt uit de verzameling Siri Shinpen van Saito Gigi (1816-1889). Het werd door Nakasone Munekuni voorgesteld in 1856 en opgehangen in de Haruna schrijn in Haruna.

Antwoord	Klik hier
Te bewijzen is dat de groene oppervlakte en de oranje oppervlakte gelijk zijn. De groene oppervlakte bestaat uit 2 cirkels ( $2\pi r^2$ ) en n cirkelsectoren. De oppervlakte van een cirkelsector is $\frac{1}{2}r^2\alpha$ . Als we al de oppervlaktes van die sectoren optellen vinden we $\frac{1}{2}r^2S$ met S de som van al de hoeken van de getekende veelhoek. Dus is $S=(n-2)\pi$ . De groene oppervlakte is dus $\frac{n+2}{2}\pi r^2$ . De oranje oppervlakte bekomen we door n cirkels te verminderen met een deel van de groene oppervlakte: $\pi nr^2-\frac{n-2}{2}\pi r^2$ en na vereenvoudiging is dat ook $\frac{n+2}{2}\pi r^2$ .

Antwoord

Klik hier

Sangaku 1

Geplaatst op 11 augustus 2020 door admin

Een sangaku is van nature uit een Japanse puzzel uit de Euclidische meetkunde. Vanuit een afbeelding wordt er gevraagd een eigenschap of stelling te herkennen of een berekening uit te voeren. Laten we starten met een eenvoudig voorbeeld:

Antwoord	Klik hier
Er wordt hier gevraagd naar de oppervlakte van het gele vierkant. De oppervlakte van het grote vierkant is $(\varphi+1)^2=\varphi^2+2\varphi+1$ . Nu is $\varphi$ de gulden snede, dus is $\varphi^2=\varphi+1$ , zodat de oppervlakte van het grote vierkant gelijk is aan $3\varphi+2$ . Nu moet je vier driehoeken met schuine zijde $\varphi+1$ aftrekken. De kleinste rechthoekszijde vindt men door gelijkvormige driehoeken te beschouwen en heeft dan als lengte $\frac{\varphi+1}{\sqrt{(\varphi+1)^2+1}}=\frac{\varphi+1}{\sqrt{3}\varphi}$ . Zo wordt de oppervlakte van het gele vierkant uiteindelijk $\frac{1}{3}\varphi^4$ . Hierbij gebruiken we de eigenschap dat $3\varphi+2=\varphi^4$ .

Antwoord

Klik hier

Wiskunde is leuk

Categoriearchief: Sangaku’s

Sangaku 2

Sangaku 1