Sangaku 9

Spoiler

We zoeken de verhouding tussen de rode en blauwe oppervlakte.

  • Noem de straal van de rode cirkels r en die van de blauwe cirkel r’.
  • De schuine zijde van de getekende rechthoekige driehoek kan je berekenen via de stelling van Pythagoras: \sqrt{(2r)^2+(2r)^2}=2\sqrt{2}r.
  • Maar dan is 2r+2r'=2\sqrt{2}r. Of r'=r(\sqrt{2}-1).
  • De gezochte verhouding is dan \frac{3\pi r^2}{\pi r^2(\sqrt{2}-1)^2}=9+6\sqrt{2}.

 

 

 

Sangaku 7

Antwoord

  • De opdracht is de oppervlakte van de groene driehoek te zoeken.
  • Verdeel het onderste zijde van het vierkant in 2 stukken, van links naar rechts: x en 8 – x
  • Door 2 maal gebruik te maken van de eigenschap dat de raaklijn stukken getrokken vanuit een punt buiten de cirkel aan die cirkel even lang zijn, weten we dat de schuine zijde van de groene driehoek gelijk is aan x + 8.
  • De groene driehoek is rechthoekig en dus kunnen we Pythagoras toepassen :

        \[(x+8)^2=8^2+(x-8)^2\]

  • Hieruit volgt dat x = 2.
  • De oppervlakte van de groene driehoek is dan 24 oppervlakte eenheden.

 

 

 

Sangaku 6

Antwoord

  • We zien een regelmatige zeshoek. Veronderstel dat de lengte van een zijde gelijk is aan 1. Zoek de afstand van A tot H.
  • We berekenen eerst |AF| door gebruik te maken van de cosinusregel in driehoek AGF ( gelijkbenige driehoek met opstaande zijden gelijk aan 1 en een tophoek van 120^\circ. We vinden : |AF|=\sqrt{3}.
  • We berekenen  nu |FH| in driehoek FEH. weer de cosinusregel : 1^2=x^2+x^2-2x^2\cos 120^÷circ.  Hieruit volgt: |AF|=\frac{1}{\sqrt{3}}.
  • Tenslotte berekenen we |AH| in driehoek AHF. Cosinusregel met zijden \sqrt{3} en \frac{1}{\sqrt{3}} en ingesloten hoek 60^\circ. Dit geeft: |AH|=\sqrt{\frac{7}{3}}.

Sangaku 5

Deze sangaku werd beschreven op een tablet van de Miyagi Prefecture uit 1912

 

Antwoord

  • We gaan op zoek naar de lengte van de schuine zijde van de groene rechthoekige driehoeken. Noteer de zijde van de regelmatige vijfhoek  door a.
  • We leggen volgende notatie vast:
  • De scherpe hoek van de groene driehoek, die grenst aan de  vijfhoek is 36^\circ (de helft van het supplement van de hoek van een vijfhoek, en die is 108^\circ).
  • Driehoek A_3A_4A_5 is gelijkbenig en dus zijn de basishoeken elk 36^\circ. Volgens de cosinusregel is l^2=2a^2(1-\cos 108^\circ)=4a^2\sin^2 72^\circ=4a^2\cos36^\circ
  • Hieruit volgt dat l=2a\cos 36^\circ.
  • In driehoek A_3MA_5 is h=l\sin 72^\circ. Samen met vorig resultaat geeft dit dat h=2a\cos 35^\circ \sin 72^\circ.
  • In driehoek A_3MP is c=\frac{h}{\cos 54^\circ}=\frac{2a\cos 35^\circ \sin 72^\circ}{\cos 54^\circ}.
  • Tenslotte, in driehoek A_3PH is t=\frac{c}{\cos 36^\circ}
  • Hierin kunnen we c invullen en krijgen we, omdat \cos 36^\circ=\frac{1+\sqrt{5}}{4}:

        \[t=a(1+\sqrt{5})\]