Een regendruppel… | Wiskunde is leuk

Een regendruppel met massa m valt onder invloed van de zwaartekracht en ondervindt een wrijving die recht evenredig mag genomen worden met de snelheid v. Bereken de snelheid in functie van t.

Volgens de wetten van Newton is de kracht waaraan de regendruppel onderhevig is: $F=m.a$ , waarbij a de versnelling is van de druppel.
Deze kracht F is de resultante van de zwaartekracht $F_1=m.g$ en de wrijving $F_2=-k.v$ , waarbij k een evenredigheidsfactor is.
Dus
$m.a=m.g-kv$
Nu weten we dat $a=v'$ . Bijgevolg is $m.v'=m.g-k.v$ .
We kunnen dit herschrijven als $\frac{dv}{m.g-kv}=\frac{dt}{m}$ .
Als we beide kanten integreren krijgen we : $-\frac{1}{k}\ln (m.g-k.v)=\frac{t}{m}+c$ , waarbij c de integratieconstante voorstelt.
Uitwerken geeft: $m.g-k.v=A.e^{-\frac{kt}{m}$ .
Als $t=0$ , veronderstellen we dat $v=0$ . Hieruit vinden we dat $A=m.g$ .
Vullen we dit in en lossen we op naar v, dan vinden we uiteindelijk
$v=\frac{m.g}{k}\Big( 1-e^{-\frac{kt}{m}\Big)$
We zien dat na zekere tijd de regendruppel mat praktisch constante snelheid zal vallen.