rekenkundig en harmonisch gemiddelde in een trapezium

Geplaatst op door

De vraag die we willen behandelen in deze tekst luidt:

Construeer het rekenkundig gemiddelde ( RG) en het harmonisch gemiddelde (HG) van de twee evenwijdige zijden van een trapezium.

  • Her RG is vrij eenvoudig: construeer het lijnstuk door de middens van de opstaande zijden. Volgens de stelling van Thales is |EF|=\frac{1}{2}(|AB|+|CD|)
  • Voor het harmonisch gemiddelde construeren we het lijnstuk, evenwijdig aan de evenwijdige zijden, door het snijpunt van de twee diagonalen van het trapezium.
    Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken FDE en ADB, CEG en CAB, DEC en EAB volgt dat |FE|=|EG|. Construeer nu , door C, een evenwijdige aan AD. Noteer |AB|=a,|CD|=b en |FG|=x
    Nu is |EH|=b-\frac{1}{2}x en |HG|=x-b. De 3 concurrente rechten AC,IC en BC worden gesneden door 2 evenwijdige rechten, dus geldt volgens Thales dat \frac{|EH|}{|AI|}=\frac{|GH|}{|BI|} of \frac{b-\frac{1}{2}x}{b}=\frac{x-b}{a-b}. Hieruit volgt dat x=\frac{2ab}{a+b} en dit betekent dat |EF| het harmonisch gemiddelde is van de twee evenwijdige zijden van het trapezium.