Veronderstel nu even dat Peter wel de constante c kent waarmee hij kan ontsnappen, maar dat hij de startpositie   niet kent. Dit leidt ons naar de definitie van de Juliaverzamelingen, genoemd naar de wiskundige Gaston Julia ( 1893-1978): voor een gegeven complex getal c, zullen sommige beginpunten een divergerende rij genereren, terwijl andere startpunten niet-divergerende rijen voortbrengen. De Julia verzameling is de grens die de divergerende startpunten scheidt van de niet-divergerende startpunten.

Neem bijvoorbeeld . Punten die binnen de eenheidscirkel liggen worden aangetrokken door de oorsprong. Punten erbuiten zullen verder en verder van de oorsprong bewegen. de Julia verzameling voor is dus de eenheidscirkel.

Enkele mooie Juliaverzamelingen zijn:

We kunnen ons de vraag stellen wanneer deze Juliaverzamelingen een samenhangende figuur vormen. Het waren de wiskundigen John Hubbard en Adrien Douady ( zie foto ) die vonden dat dit gebeurde voor de c-waarden die tot de Mandelbrotverzameling behoorden.