Basisfeiten over groepen

Voor de classificatie van eindige groepen kunnen we beroep doen op de stellingen van Sylow ofwel kunnen we gebruik maken van een aantal elementaire eigenschappen:

  • Groepen van priem orde  zijn cyclisch en uniek op een isomorfisme na.
  • Toegevoegde elementen hebben dezelfde orde.
  • Als de quotiënt groep van G met zijn centrum Z(G) cyclisch is, dan is G abels.
  • Als in een groep G, alle elementen, behalve het eenheid element, orde 2 hebben, dan is G abels.
  • Als p priem is, dan is het aantal elementen van orde p altijd een veelvoud van p – 1.
  • Als een groep G gegenereerd wordt door 2 normale deelgroepen H en K ( dus elk element van G is te schrijven onder de vorm h_1k_1h_2k_2...h_rk_r, en als H\capK=\{e\} dan is G het direct product van H met K. Dus  G\cong H \times K.
  • Abelse groepen zijn ofwel cyclisch ofwel het direct product van cyclische groepen.

Koning Narmer

Een koning die volgens de hiërogliefen Narmer heet, maar die ook bekend staat als Menes, verenigt rond 3000 B.C. de beide Egyptische koninkrijken Boven- en Beneden-Egypte tot één staat. Met deze koning begint de eerste dynastie van het Verenigde Egyptische koninkrijk.

Om het prestige van zijn overwinning kracht bij te zetten heeft Narmer volgend palet laten maken waarop zijn overwinning op het noorden wordt uitgebeeld.

Hij  draagt hierop nog de witte kroon van Boven (upper) Egypte.

De koning is de belichaming van goddelijke macht op aarde. Narmer haalt dan ook als de hemelgod Horus zijn overwinning op Beneden Egypte en in diens tempel wordt het palet opgesteld.

 

Sangaku 11

Antwoord

  • De bedoeling is de oppervlakte van het vierkant te bepalen.
  • De horizontale rechthoekzijde van de rode driehoek is gelijk aan \sqrt{27}-\sqrt{12}=\sqrt{3}. De andere rechthoekszijde meet \sqrt{12}=2\sqrt{3} en is dus dubbel zo groot als de horizontale rechthoekzijde.
  • De zwarte driehoek is gelijkvormig met de rode en omdat de verticale rechthoekzijde gelijk is aan \sqrt{3}+\sqrt{12}+\sqrt{27}=6\sqrt{3}, moet de horizontale rechthoekzijde gelijk zijn aan de helft ervan , dus 3\sqrt{3}.
  • Volgens de stelling van Pythagoras is het kwadraat van de zijde van het vierkant dan gelijk aan (6\sqrt{3})^2+(3\sqrt{3})^2=135
  • De gevraagde oppervlakte is dus 135.

 

Cycladische beschaving

Tussen 3000 en 2000 v.C ontstond op de Cycladen een pre-Griekse beschaving. Deze eilandengroep in de Egeïsche zee, met als grootste eilanden Paros,Delos,Minos en Santorini dankt zijn naam aan de rangschikking in een cirkel.

De eilandengroep ligt op een strategische plaats tussen Europa en Azië. Al zeer vroeg kozen de eilandbewoners het ruime sop en konden zo vreemde cultuurinvloeden overnemen.

De Cycladische maatschappij was welvarend. De bewoners waren zeelui die handel dreven in het oostelijke Middellandse Zeegebied. Maar het waren niet alleen vissers en handelslui, maar ook boeren, veehouders en jagers. Ze werkten op het platteland, ze hadden eigen wijn, olijfolie, groenten, ze cultiveerden hun grond en brachten hun leven vredelievend door. De inwoners van de Cycladen waren artistiek, het bewijs hiervan zijn de vele vazen, juwelen en andere voorwerpen die uit die periode teruggevonden zijn

De belangrijkste werken waren echter kleine in wit marmer, modern ogende beeldjes  (idolen), zonder gelaat en alleen een neus. De beeldjes zijn herleid tot de geometrische grondvormen. Opvallend was dat de beeldjes meestal vrouwen,nimfen of Godinnen voorstelden. De mannelijke beelden waren vooral beelden van jagers, van mannen die dansten of van mannen die een muziekinstrument bespeelden. Veel van de voorwerpen die ze maakten, verkochten ze op Kreta, daar woonden de Minoërs. Doordat ze in aanraking kwamen met de Minoïsche beschaving, brachten ze de kunst uit Kreta ook naar de Cycladen. 

Er kwam een einde aan hun beschaving toen de Minoërs (Kreta) binnen vielen en toen rond 1600 v.C. een vulkaanuitbarsting een groot deel van Santorini vernielde

OLYMPUS DIGITAL CAMERA