Opgave 4

Geplaatst op door

Onderzoek de convergentie van volgende rij

    \[u_n=\frac{1}{e}\int_0^1 x^n.e^x \ dx\]

Antwoord

  1. De integraal doet ons ongetwijfeld denken aan partiële integratie en het opstellen van een recursieformule.
  2. \int x^n.e^x\ dx = x^n.e^x-n.\int x^{n-1}.e^x\ dx, zodat u_n=1-n.u_{n-1}.
  3. Hoe kunnen we hiervan de limiet bepalen? Misschien toch iets anders proberen…
  4. Op [0,1] geldt dat 1\leq e^x \leq e omdat f(x)=e^x een stijgende functie is.
  5. Maar dan is \int_0^1 x^n \ dx \leq \int_0^1 x^n.e^x \ dx \leq e.\int_0^1 x^n \ dx.
  6. Hieruit volgt dat \frac{1}{n+1} \leq \int_0^1 x^n.e^x \ dx \leq \frac{e}{n+1}.
  7. Dit geeft voor de rij u_n dat \frac{1}{e(n+1)} \leq u_n \leq \frac{1}{n+1}.
  8. Uit de insluiting stelling volgt dan dat de rij u_n convergeert naar 0.