Opgave 5

Voor welke waarde van m \in \mathbb{N}_0 is x^{3m}+x^{2m}+x^m+1 deelbaar door x^3+x^2+x+1?

Antwoord

  1. Een veelterm A is deelbaar door een veelterm B als alle nulwaarden van B ook nulwaarden zijn van A.
  2. Nu is B=x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1), dus de nulwaarden van B zijn :-1,i,-i.
  3. Omdat A=x^{3m}+x^{2m}+x^m+1 enkel gehele coëfficiënten heeft kunnen we de stelling van d’Alembert gebruiken die zegt dat als a+bi een nulwaarde is, dan is a-bi dat ook.
  4. We moeten dus enkel  eisen dat -1 en i nulwaarden zijn van A.
  5. Dan moet (-1)^{3m}+(-1)^{2m}+(-1)^m+1=0 of (-1)^m+1+(-1) ^m+1=2+2(-1) ^m=0. Hieruit volgt dat m oneven moet zijn.
  6. Verder moet ook i^{3m}+i^{2m}+i^m+1=0. Dus moet (-i)^m+(-1) ^m+i^m+1=0. Als m=4k dan is A(i) \neq 0. In alle andere gevallen is A(i) wel gelijk aan 0.
  7. De twee voorwaarden samen geven dat m gewoon oneven moet zijn.
  8. Dus is x^{3m}+x^{2m}+x^m+1 deelbaar door x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1 als m oneven is.