Tag archieven: problem solving

nootje 65

Geplaatst op door

Zoek het kleinste natuurlijk getal groter of gelijk aan 10 waarvoor n+6 priem is en 9n+7 een volkomen kwadraat is.

Antwoord

  • 9n+7=9(n+6)-47 .
  • n+6 is een priemgetal groter dan 2 en is dus oneven; bijgevolg is 9(n+6)-47 een even getal als verschil van twee oneven getallen.
  • Omdat 9n+7 een volkomen kwadraat moet zijn, moet 9n+7=(2m)^2.
  • Hieruit volgt dat n=\frac{4m^2-7}{9}.
  • Onderzoeken we nu voor welke waarden van m de uitdrukking 4m^2-7 deelbaar is door 9 en waarvoor dan een goede n kan worden gevonden.
  • Als m=2 dan is n=1 wat onmogelijk is, omdat n minstens 10 moet zijn. 
  • Als m=7 dan is n=21, maar dan is n+6=27 en dat is geen priemgetal.
  • Als  m=11 dan is n=53 en n+6=59 en dat is wel priem.
  • n=53 is  het kleinst mogelijke getal dat voldoet aan de gevraagde voorwaarden.

 

Nootje 61

Geplaatst op door

Bereken de oppervlakte van onderstaand vierkant

Antwoord

 

  • Met \left[CDF\right] bedoelen we de oppervlakte van de driehoek CDF.
  • \left[CDF\right]=27+\left[FGH\right] en dit is de helft van de oppervlakte van het vierkant ABCD. 
  • Verder is ook \left[BCF\right]+\left[ADF\right]=5+15+7+\left[DEH\right]=27+\left[DEH\right] en ook dit is de helft van de oppervlakte van het vierkant ABCD.
  • Uit vorige twee punten vinden we dat \left[FGH\right]=\left[DEH\right]. Noteer deze oppervlakten door X zoals te zien is op bovenstaande tekening.
  • Verbind B met D.
  • \left[ABD\right] is de helft van de oppervlakte van ABCD en dus is \left[ABD\right]=27+X. Verder is \left[ABE\right]=12+X, \left[BDE\right]=27+X-12-X=15 en \left[BDH\right]=15-X. Gelijkaardig is \left[BDF\right]=20.
  • Gebruik nu de ladderstelling in driehoek ABD:

        \[\frac{1}{\left[ABD\right]}+\frac{1}{\left[BDH\right]}=\frac{1}{\left[BDE\right]}+\frac{1}{\left[BDF\right]}\]

  • Dit geeft:

        \[\frac{1}{27+X}+\frac{1}{15-X}=\frac{1}{15}+\frac{1}{20}\]

  • Als je dit uitrekent vind je X^2+12X-45=(X-3)(X+15)=0. Dus is X=3.
  • De oppervlakte van het vierkant is dan 2.(27+X)=60.

 

Nootje 60

Geplaatst op door



Op een veld graast een kudde schapen. Sommige schapen zijn gemerkt, en de verhouding tussen gemerkte en ongemerkte schapen is 3 op 5. Slechts 17 van de ongemerkte schapen zijn geschoren, en alle gemerkte schapen zijn geschoren. Het aantal geschoren en ongeschoren schapen is echter gelijk. Bereken het aantal schapen dat op het veld graast.

 

 

Antwoord

Stel dat het aantal gemerkte schapen 3x is, dan is volgens de voorwaarde het aantal ongemerkte schapen 5x, dus het totale aantal schapen is 8x.

Van de ongemerkte schapen zijn er 17 geschoren, dus 5x − 17 daarvan zijn niet geschoren.

De 3x gemerkte schapen zijn allemaal geschoren, dus het totale aantal geschoren schapen is 3x + 17.

Het aantal geschoren en ongeschoren schapen is gelijk, dus 3x + 17 = 5x − 17, en hieruit volgt dat x= 17. Bijgevolg is het totaal aantal schapen gelijk aan 8 * 17 =136


Nootje 58

Geplaatst op door

In een rechthoekige driehoek met zijden 3,4 en 5 teken je de ingeschreven cirkel en een cirkel die daaraan raakt en ook raakt aan twee zijden van de driehoek, zoals in onderstaande tekening. Bepaal de straal van de kleinste cirkel.

Antwoord

  • Noem R de straal van de ingeschreven cirkel,  dan moet 3-R+4-R=5, omdat raaklijnen getrokken aan een cirkel uit een bepaald punt, even lang zijn. Dus is R=1.
  • Noem r de straal van de kleine cirkel.
  • De aangegeven afstand vind je ofwel via de stelling van Pythagoras ofwel via de gelijkvormigheid van driehoeken.
  • Dan is 1+r+\sqrt{10}r=\sqrt{10}, waaruit volgt dat

        \[r=\frac{\sqrt{10}-1}{\sqrt{10}+1}\]

 

Nootje 57

Geplaatst op door

Een getal van 5 cijfers is een veelvoud van 41. Als het meest links geschreven cijfer helemaal achteraan wordt geplaatst en dus het laatste cijfer wordt, dan is het nieuwe getal een volkomen derde macht; Welk is het oorspronkelijk getal

Antwoord

  • Noem x het gezochte getal; zij a het eerste cijfer van x en b het getal gevormd door de laatste 4 cijfers van x.
  • Dan is x=a.10^4+b. 
  • Nu moet dus a.10^4+b=41m en 10b+a=k^3.
  • Omdat k^3 een getal is van 5 cijfers, zal 22 \leq k\leq 46.
  • Uit de tweede voorwaarde vinden we dat a=k^3-10b. Ingevuld in de eerste voorwaarde geeft dit (k^3-10b).10^4+b=41m, of uitgewerkt:

        \[10^4k^3-99999b=41m\]

  • 41 is een deler van het rechter lid en 41 is ook een deler van 99999 omdat 99999 = 41*2439. Dus moet k^3 een veelvoud zijn van 41 en rekening houdend met 22 \leq k\leq 46 volgt hieruit dat k=41 en k^3=68921.
  • Het gevraagde getal is dus 16892