Bekijk even het volgende probleem: gegeven zijn n verschillende reële getallen en
. Bepaal een veelterm P(x) zodat
voor
.
Dit is eigenlijk een interpolatieprobleem, waarbij we een veeltermfunctie zoeken waarvan de grafiek door de n punten gaat. Natuurlijk kunnen we het stelsel van n vergelijkingen met n onbekenden gaan oplossen dat ontstaat door de n punten in te vullen in de algemene vorm van een veeltermfunctie van graad n-1.
Een andere techniek bestaat erin eerst speciale gevallen op te lossen, waarbij één van de ’s gelijk is aan 1 en de andere aan 0. Dit is niet zo lastig : definieer
als het product van alle factoren
waarbij j verschilt van i. Neem vervolgens
. Dan geldt inderdaad dat
en
voor elke j verschillend van i.
De uiteindelijke oplossing van het beginprobleem ontstaat nu door de gepaste lineaire combinatie te nemen van de gevonden veeltermen , namelijk:
Dit noemt men ook wel eens de Lagrange interpolatie formule.(naar de Franse wiskundige Joseph-louis Lagrange( 1736-1813))
Een voorbeeld: f(x) is een veelterm van graad maximaal n waarvoor geldt dat voor
. Zoek f(n+1).
waarbij de factor x-k weggelaten is.
. Verder is ook
.
vinden we tenslotte