Oplossing door lineaire combinaties

Bekijk even het volgende probleem:  gegeven zijn n verschillende reële getallen m_1,\dots,m_n en a_1,\cdots,a_n. Bepaal een veelterm P(x) zodat P(m_i)=a_i voor i:1...n.

Dit is eigenlijk een interpolatieprobleem, waarbij we een veeltermfunctie zoeken waarvan de grafiek door de n punten (m_i,a_i) gaat. Natuurlijk kunnen we het stelsel van n vergelijkingen met n onbekenden gaan oplossen dat ontstaat door de n punten in te vullen in de algemene vorm van een veeltermfunctie van graad n-1.

Een andere techniek bestaat erin eerst speciale gevallen op te lossen, waarbij één van de a_i’s gelijk is aan 1 en de andere aan 0. Dit is niet zo lastig : definieer P_i(x) als het product van alle factoren x-m_j waarbij j verschilt van i. Neem vervolgens v_i(x)=\frac{P_i(x)}{P_i(m_i)}. Dan geldt inderdaad dat v_i(m_i)=1 en v_i(m_j)=0 voor elke j verschillend van i.

De uiteindelijke oplossing van het beginprobleem ontstaat nu door de gepaste lineaire combinatie te nemen van de gevonden veeltermen v_i(x), namelijk:

    \[P(x)=a_1v_1(x)+\cdots+a_nv_n(x)\]

Dit noemt men ook wel eens de Lagrange interpolatie formule.(naar de Franse wiskundige Joseph-louis Lagrange( 1736-1813))

Een voorbeeld: f(x) is een veelterm van graad maximaal n waarvoor geldt dat f(k)=\frac{n+1-k}{k+1} voor k=0,1,...,n . Zoek f(n+1).

Antwoord Klik hier

Tekenregel van Descartes

De tekenregel werd voor het eerst genoemd in het werk ‘La géometrie’ van René Descartes (1596-1650). Het gaat over veeltermen met reële coëfficiënten en we zijn geïnteresseerd in het aantal positieve nulwaarden. Veronderstellen we voor de rest van deze tekst dat de coëfficiënt van x^n gelijk is aan 1, dat de constante term niet nul is  en dat de veelterm geordend is naar afnemende machten van x.

Het fundamenteel theorema van de algebra zegt dat een veelterm van graad n steeds n nulwaarden heeft in \mathbb{C}. Meestal zijn we niet in staat deze nulwaarden te vinden. Toch kunnen we informatie vinden over het aantal positieve reële nulwaarden ( p) en het aantal negatieve nulwaarden (n). Bestudeer hiervoor het aantal teken veranderingen in de rij van tekens van de niet nul zijnde coëfficiënten van de gegeven veelterm P(x):

  • De waarde p heeft dezelfde pariteit als het aantal  tekenveranderingen.
  • De waarde p is kleiner of gelijk aan het aantal tekenveranderingen.
  • Om n te bepalen bepalen we p voor de veelterm P(-x).

Een voorbeeld: P(x)=x^6-6x^5+10x^4-2x^3-3x^2+4x-12.

  • Er zijn 5 tekenveranderingen.
  • p\leq 5 en p is oneven, dus p = 1, 3 of 5
  • P(-x)=x^6+6x^5+10x^4+2x^3-3x^2-4x-12. Er is 1 tekenverandering dus n=1.
  • Narekenen geeft als nulwaarden: -1 en 2 met multipliciteit 2 en 3.

Uitdaging 3 en 4

Voor welke waarden van k is x^3+y^3+z^3+kxyz deelbaar door x+y+z?

Antwoord Klik hier

Een veelterm f(x)  met gehele coëfficiënten heeft oneven getalwaarden voor 0 en 1. Bewijs dat  f(x) geen gehele nulwaarden kan hebben.

Antwoord Klik hier

Uitdaging 1 en 2

Wat is de som der coëfficiënten van (3x^2-3x+1)^{200}.(x^2+x-3)^{2020}.

Antwoord Klik hier

Toon aan dat \sqrt[n]{7} irrationaal is voor elk natuurlijk getal n groter dan 1

Antwoord Klik hier

Deelbaarheid bij veeltermen

We geven enkelen eigenschappen in verband met deelbaarheid bij veeltermen. Deze eigenschappen lijken op de deelbaarheidseigenschappen bij gehele getallen:

  • Voor twee veeltermen f(x) en g(x) bestaat er een uniek quotiënt q(x) en een unieke rest r(x) zodat f(x) = q(x) . g(x) + r(x) met gr(r(x)) < gr (g(x)).
  • De rest van de deling van f(x) door x – a is f(a). Deze eigenschap noemen we de reststelling. Dit levert meteen een criterium voor deelbaarheid door veeltermen van de vorm x – a: de veelterm f(x) is deelbaar door x – a als f(a) = 0.
  • Als a en b verschillend zijn dan is f(x) deelbaar door (x – a)(x – b) als f(a) = f(b) = 0.
  • De veelterm f(x) is deelbaar door (x-a)^k als a een nulpunt is van f(x) en de eerste k – 1 afgeleiden van f(x). We spreken dan van een k- voudig nulpunt.
  • Er bestaan veeltermen die elkaar wederzijds delen, we noemen deze  toegevoegde elementen. Zo zijn alle reële getallen verschillend van 0 toegevoegd aan 1. De elementen toegevoegd aan 1 noemen we eenheden. Het is duidelijk dat toegevoegde elementen slechts verschillen van een factor gelijk aan een eenheid.
  • Zijn f(x) en g(x) van nul verschillende veeltermen dan bestaat er onder de toegevoegde elementen  van hun ggd (kgv) precies 1 waarvan de hoogste graadsterm coëfficiënt 1 heeft. Deze unieke veelterm wordt weleens dé ggd(kgv) van f(x) en g(x) genoemd.
  • Voor elk tweetal veeltermen f(x) en g(x) bestaan er veeltermen p(x) en q(x) zodat ggd( f(x) , g(x) ) = p(x) . f(x) + q(x) . g(x). Dit is de eigenschap van Bezout.
  • Een veelterm, verschillend van nul en van een eenheid, waarvan de enige delers eenheden of toegevoegde elementen zijn, noemen we een irreduciebele veelterm. Deze veeltermen zijn dus niet ontbindbaar is allemaal factoren van een lagere graad. De enige irreduciebele veeltermen in \mathbb{R}\left[x \right] zijn de eerste graads veeltermen en de tweedegraads veeltermen met een negatieve discriminant.
  • Een veelterm f(x) , verschillend van nul en van een eenheid, is een priem veelterm als voor alle veeltermen g(x) en h(x) geldt dat uit  f(x) | g(x).h(x) volgt dat f(x) | g(x) of f(x) | h(x). Voor reële veeltermen is priem veelterm een synoniem voor irreduciebele veelterm.
  • Elke van nul verschillende veelterm bezit een unieke ontbinding ( op toegevoegde elementen na).
  • Als \frac{p}{q} een rationaal nulpunt is van een veelterm met gehele coëfficiënten dan deelt p de coëfficiënt a_0 en q deelt a_n in \mathbb{Z}.