Uitdaging 1 en 2

Wat is de som der coëfficiënten van (3x^2-3x+1)^{200}.(x^2+x-3)^{2020}.

Antwoord

  • Zeker niet uitrekenen!
  • Probeer een eenvoudig voorbeeld: (x+2)^2. Uitgewerkt is dit x^2+4x+4. Als we x vervangen door 1 krijgen we de gevraagde som 1 + 4 + 4 = 9.
  • Vervang dus x door 1 voor het uitrekenen en we vinden dat voor onze opgave de gewenste som gelijk is aan (3-3+1) ^{200}.(1+1-3)^{2020}=1.

Toon aan dat \sqrt[n]{7} irrationaal is voor elk natuurlijk getal n groter dan 1

Antwoord

  • \sqrt[n]{7} is een oplossing van de vergelijking x^n-7=0.
  • Als \frac{p}{q} een rationale oplossing zou zijn van deze vergelijking moet p een deler zijn van 7 en q een deler van de coëfficiënt van x^n, dus 1.
  • De enige mogelijkheden zijn \pm1,\pm 7 en geen van deze 4 is een goede oplossing.
  • Er zijn dus geen rationale oplossingen bijgevolg is \sqrt[n]{7} steeds irrationaal.