Spring naar de primaire inhoud

Wiskunde is leuk

Wiskunde is leuk

Hoofdmenu

  • Artikels
  • Weetjes
  • Problem Solving
    • Bewijstechnieken
    • Heuristieken
    • Opgaven
  • Contact
  • Theorie
    • Getaltheorie
    • Ongelijkheden
    • Meetkunde
    • Kansrekenen
    • Discrete wiskunde
    • Raadsels/spelen
    • Geschiedenis
    • Rijen en reeksen
    • Veeltermen
  • Voorbereidings wedstrijden
    • IMO
    • Nationale Olympiades
    • Regionale wedstrijden
  • Kleine nootjes
  • Python
  • Mijn onderzoek
    • Eenheden in groepsringen
    • Groepen
  • Wereldgeschiedenis
    • Tijd van jagers en boeren (tot 3000 v.C.)
    • Tijd van Grieken en Romeinen (3000 v.C-500 n.C.)
    • Tijd van monniken en ridders (500-1000)
    • Tijd van steden en staten (1000-1500)
    • Tijd van ontdekkers en hervormers (1500-1600)
    • Tijd van regenten en vorsten (1600-1700)
    • Tijd van pruiken en revoluties (1700-1800)
    • Tijd van burgers en stoommachines (1800-1900)
    • Tijd van wereldoorlogen (1900-1950)
    • Tijd van televisie en computer (1950-nu)
  • WisKunst
    • Sangaku’s

Bericht navigatie

← Vorige Volgende →

Nootje 46

Geplaatst op 4 april 2024 door admin

Bereken

    \[(\frac{1+i\sqrt{7}}{2})^8+(\frac{1-i\sqrt{7}}{2})^8\]

 

Antwoord

  • Een mogelijkheid is om het binomium van Newton te gebruiken. Gaan we niet doen…
  • Stel \frac{1+i\sqrt{7}}{2}=a en \frac{1+i\sqrt{7}}{2}=b. 
  • Dan is A=a^8+b^8. 
  • Nu is het duidelijk dat a+b=1 en ab=2.
  • We weten dat a^8+b^8=(a^4+b^4)^2-2a^4b^4. Analoog is a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2 en evenzo is a^2+b^2=(a+b)^2-2ab.
  • De laatste betrekking leert ons dat a^2+b^2=1^2-2*2=-3.
  • Dan is a^4+b^4=(-3)^2-2*2^2=1.
  • Tenslotte is A=1^2-2*2^4=-31.

Dit bericht werd geplaatst in Kleine nootjes en getagd kleine nootjes, merkwaardige producten, problem solving door admin . Bookmark de permalink .
Ondersteund door WordPress