nootje 65

Geplaatst op 13 november 2025 door admin

Zoek het kleinste natuurlijk getal groter of gelijk aan 10 waarvoor $n+6$ priem is en $9n+7$ een volkomen kwadraat is.

Antwoord

$9n+7=9(n+6)-47$ .
$n+6$ is een priemgetal groter dan 2 en is dus oneven; bijgevolg is $9(n+6)-47$ een even getal als verschil van twee oneven getallen.
Omdat $9n+7$ een volkomen kwadraat moet zijn, moet $9n+7=(2m)^2$ .
Hieruit volgt dat $n=\frac{4m^2-7}{9}$ .
Onderzoeken we nu voor welke waarden van m de uitdrukking $4m^2-7$ deelbaar is door 9 en waarvoor dan een goede n kan worden gevonden.
Als $m=2$ dan is $n=1$ wat onmogelijk is, omdat n minstens 10 moet zijn.
Als $m=7$ dan is $n=21$ , maar dan is $n+6=27$ en dat is geen priemgetal.
Als $m=11$ dan is $n=53$ en $n+6=59$ en dat is wel priem.
$n=53$ is het kleinst mogelijke getal dat voldoet aan de gevraagde voorwaarden.

Geplaatst op 27 juni 2025 door admin

Antwoord

Noem R de straal van de ingeschreven cirkel, dan moet $3-R+4-R=5$ , omdat raaklijnen getrokken aan een cirkel uit een bepaald punt, even lang zijn. Dus is $R=1$ .
Noem r de straal van de kleine cirkel.
De aangegeven afstand vind je ofwel via de stelling van Pythagoras ofwel via de gelijkvormigheid van driehoeken.
Dan is $1+r+\sqrt{10}r=\sqrt{10}$ , waaruit volgt dat
$r=\frac{\sqrt{10}-1}{\sqrt{10}+1}$

Geplaatst op 13 juni 2025 door admin

Antwoord

Noem x het gezochte getal; zij a het eerste cijfer van x en b het getal gevormd door de laatste 4 cijfers van x.
Dan is $x=a.10^4+b$ .
Nu moet dus $a.10^4+b=41m$ en $10b+a=k^3$ .
Omdat $k^3$ een getal is van 5 cijfers, zal $22 \leq k\leq 46$ .
Uit de tweede voorwaarde vinden we dat $a=k^3-10b$ . Ingevuld in de eerste voorwaarde geeft dit $(k^3-10b).10^4+b=41m$ , of uitgewerkt:
$10^4k^3-99999b=41m$
41 is een deler van het rechter lid en 41 is ook een deler van 99999 omdat 99999 = 41*2439. Dus moet $k^3$ een veelvoud zijn van 41 en rekening houdend met $22 \leq k\leq 46$ volgt hieruit dat $k=41$ en $k^3=68921$ .
Het gevraagde getal is dus 16892

Geplaatst op 27 mei 2025 door admin

Antwoord

De som van deze termen is de som van termen van een rekenkundige rij en wordt gegeven door het gemiddelde van de eerste term (n) en de laatste term (n+k) te vermenigvuldigen met het aantal termen (k+1):
Dus S= $\frac{1}{2}(k+1)(2n+k)=1000=2^3.5^3$ . Bijgevolg moet
$(k+1)(2n+k)=2^4.5^3$
We kunnen nu twee gevallen onderzoeken: eerst onderzoeken we de situatie als k even is, dan is k+1 oneven en 2n+k even en dit levert volgende mogelijkheden
k+1=1 en 2n+k=2000 dus k=0 en n=1000 (triviale oplossing)
k+1=5 en 2n+k= 400 dus k=4 en n= 198
k+1=25 en 2n+k=80 dus k=24 en n=28
k+1=125 en 2n+k= 16 dus k=124 en n=-56 ( geen goede oplossing)
Stel dat k oneven is, dan is k+1 even en 2n+k oneven en dan is de enige mogelijkheid k+1=16 en 2n+k=125, dus k=15 en n=55
Er zijn dus 4 oplossingen:
1000
198,199,200,201,202
28,29,…,51,52
55,56,…,69,70

Geplaatst op 27 maart 2025 door admin

Bepaal de oppervlakte van het blauwe deel, beschreven door twee halve cirkels in een vierkant met zijde 8 cm.

Antwoord

Bij dit soort opgaven is het handig om tekening te “herschikken”:

En dan is het duidelijk dat het blauwe gebied eigenlijk een half vierkant vormt. De oppervlakte is dan $\frac{1}{2}8^2=32$ vierkante centimeter.