Nootje 77

Geplaatst op 2 juli 2026 door admin

Elk natuurlijk getal van twee cijfers kan je achterstevoren schrijven. Zo kan je 23 omdraaien tot 32. Bepaal alle getallen met de eigenschap dat de som van het getal en zijn omgedraaide een kwadraat oplevert.

Antwoord

Noteer het getal als ab, met a het cijfer van de tientallen en b het cijfer van de eenheden.
Het omgedraaide getal is dan ba en hun som is
$ab+ba=10a+b+10b+a=11(a+b)$
Als deze som een kwadraat moet zijn, dan moet a+b het product zijn van 11 en een kwadraat. Of $a+b=11k^2$ .
Maar a en b zijn cijfers, dus $a+b\leq 18$ en daarom kan enkel $k=1$ .
Bijgevolg is $a+b=11 en zijn de mogelijke oplossingen : 29,92,38,83,47,74,56,65

Geplaatst op 28 maart 2026 door admin

Antwoord

Noem de drie nulwaarden a,b en c.
Dan moet $a+b+c=87$ . Omdat 87 oneven is moeten van $a,b$ en $c$ er twee even en één oneven zijn ofwel moeten ze alle drie oneven zijn.
Verder moet $ab+ac+bc=181$ . Als er twee van de drie nulwaarden even zijn is het linkerlid zeker even en vermits het rechterlid oneven is, is dit onmogelijk.
Bijgevolg zijn de drie nulwaarden alle drie oneven. Stel $a=1+2d,b=1+2e$ en $c=1+2f$ .
Dan moet $(1+2d)(1+2e)+(1+2e)(1+2f)+(1+2f)(1+2d)=181$ . Uitgewerkt geeft dit:
$3+4(d+e+f+de+df+ef)=181$
Dus: $4(d+e+f+de+df+ef)=178$ . Dit is onmogelijk, want het linkerlid is een viervoud en het rechterlid niet.
Er is dus geen gehele waarde van k te vinden waarvoor de gegeven veelterm drie gehele nulwaarden heeft.

Geplaatst op 10 maart 2026 door admin

Antwoord

We herleiden alles tot het leggen in 1 week en stellen met x,y en z het aantal eieren voor, door respectievelijk de zwarte, grijze en witte kippen gelegd in 1 week.
Met k noteren we het gezochte aantal eieren in 1 week.
$\begin{cases} 13x+14y+12z=29\\33x+30y+27z=65\\5x+22y+15z=k\end{cases}$
De determinant van dit stelsel is nul. De derde vergelijking is dus een lineaire combinatie van de eerste twee: $V_3=aV_1+bV_2$ .
Of ook $k=29a+65b$ .
Uit de coëfficiënten van x en y leiden we een stelsel af met onbekenden a en b:
$\begin{cases} 13a+33b=5\\14a+30b=22 \end{cases}$
Hieruit volgt dat $a=8$ en $b=-3$ en dan is $k=37$
Er worden door 5 zwarte, 22 grijze en 15 witte kippen dus 37 eieren gelegd in 1 week.

Geplaatst op 4 maart 2026 door admin

Bepaal de som A van alle natuurlijke getallen tussen $\sqrt[3]{2026}$ en $\sqrt{2026}$ .

Antwoord

Omdat $12^3=1728$ en $13^3=2197$ weten we dat $12<\sqrt[3]{2026}<13}$ .
Omdat $45^2=2025$ en $46^2=2116$ weten we dat $45<\sqrt{2026}<46$ .
Dan is $A=13+14+\cdots+45$ .
We kunnen deze som berekenen door de formule te gebruiken van de som van de termen van een rekenkundige rij. Deze som is het product van het gemiddelde van de eerste en laatste term met het aantal termen.
Bijgevolg is
$A=\frac{13+45}{2}\times 33=957$

Geplaatst op 6 februari 2026 door admin

Antwoord

Er moet dus een natuurlijk getal p en q bestaan waarvoor geldt dat $p^2=4n+808$ en $q^2=9n+1621$ .
Bereken nu $9p^2-4q^2$ . Dit geeft de waarde $788=2^2. 197$ .
Door ontbinding in factoren vinden we dat $(3p-2q)(3p+2q)=2^2.197$ .
Daaruit volgt dat $(3p-q,3p+q)=(1,788)$ of $(2,394)$ of $(4,197)$ .
Enkel de tweede mogelijk kan en dan vinden we $p=66$ en $q=98$ .
Dan vinden we dat $n=887$ .