Nootje 70

Geplaatst op 4 maart 2026 door admin

Bepaal de som A van alle natuurlijke getallen tussen $\sqrt[3]{2026}$ en $\sqrt{2026}$ .

Antwoord

Omdat $12^3=1728$ en $13^3=2197$ weten we dat $12<\sqrt[3]{2026}<13}$ .
Omdat $45^2=2025$ en $46^2=2116$ weten we dat $45<\sqrt{2026}<46$ .
Dan is $A=13+14+\cdots+45$ .
We kunnen deze som berekenen door de formule te gebruiken van de som van de termen van een rekenkundige rij. Deze som is het product van het gemiddelde van de eerste en laatste term met het aantal termen.
Bijgevolg is
$A=\frac{13+45}{2}\times 33=957$

Nootje 67

Geplaatst op 6 februari 2026 door admin

Antwoord

Er moet dus een natuurlijk getal p en q bestaan waarvoor geldt dat $p^2=4n+808$ en $q^2=9n+1621$ .
Bereken nu $9p^2-4q^2$ . Dit geeft de waarde $788=2^2. 197$ .
Door ontbinding in factoren vinden we dat $(3p-2q)(3p+2q)=2^2.197$ .
Daaruit volgt dat $(3p-q,3p+q)=(1,788)$ of $(2,394)$ of $(4,197)$ .
Enkel de tweede mogelijk kan en dan vinden we $p=66$ en $q=98$ .
Dan vinden we dat $n=887$ .

Geplaatst op 13 november 2025 door admin

Antwoord

$9n+7=9(n+6)-47$ .
$n+6$ is een priemgetal groter dan 2 en is dus oneven; bijgevolg is $9(n+6)-47$ een even getal als verschil van twee oneven getallen.
Omdat $9n+7$ een volkomen kwadraat moet zijn, moet $9n+7=(2m)^2$ .
Hieruit volgt dat $n=\frac{4m^2-7}{9}$ .
Onderzoeken we nu voor welke waarden van m de uitdrukking $4m^2-7$ deelbaar is door 9 en waarvoor dan een goede n kan worden gevonden.
Als $m=2$ dan is $n=1$ wat onmogelijk is, omdat n minstens 10 moet zijn.
Als $m=7$ dan is $n=21$ , maar dan is $n+6=27$ en dat is geen priemgetal.
Als $m=11$ dan is $n=53$ en $n+6=59$ en dat is wel priem.
$n=53$ is het kleinst mogelijke getal dat voldoet aan de gevraagde voorwaarden.

Geplaatst op 27 juni 2025 door admin

Antwoord

Noem R de straal van de ingeschreven cirkel, dan moet $3-R+4-R=5$ , omdat raaklijnen getrokken aan een cirkel uit een bepaald punt, even lang zijn. Dus is $R=1$ .
Noem r de straal van de kleine cirkel.
De aangegeven afstand vind je ofwel via de stelling van Pythagoras ofwel via de gelijkvormigheid van driehoeken.
Dan is $1+r+\sqrt{10}r=\sqrt{10}$ , waaruit volgt dat
$r=\frac{\sqrt{10}-1}{\sqrt{10}+1}$

Geplaatst op 13 juni 2025 door admin

Antwoord

Noem x het gezochte getal; zij a het eerste cijfer van x en b het getal gevormd door de laatste 4 cijfers van x.
Dan is $x=a.10^4+b$ .
Nu moet dus $a.10^4+b=41m$ en $10b+a=k^3$ .
Omdat $k^3$ een getal is van 5 cijfers, zal $22 \leq k\leq 46$ .
Uit de tweede voorwaarde vinden we dat $a=k^3-10b$ . Ingevuld in de eerste voorwaarde geeft dit $(k^3-10b).10^4+b=41m$ , of uitgewerkt:
$10^4k^3-99999b=41m$
41 is een deler van het rechter lid en 41 is ook een deler van 99999 omdat 99999 = 41*2439. Dus moet $k^3$ een veelvoud zijn van 41 en rekening houdend met $22 \leq k\leq 46$ volgt hieruit dat $k=41$ en $k^3=68921$ .
Het gevraagde getal is dus 16892