Zoek het algemeen voorschrift van de rij $a_{n+1}-2a_n=F_n$ met $a_0=0$ , waarbij $F_n$ de rij van Fibonacci is met $F_0=0,F_1=1,F_2=1,...$

Antwoord

Het rechterlid van de formule is niet nul, zodat we geen lineaire recurrente rij krijgen. Maar dat kunnen we verhelpen door ook te schrijven dat $a_{n+2}-2a_{n+1}=F_{n+1}$ en $a_{n+3}-2a_{n+2}=F_{n+2}$ .
De laatste vergelijking verminderd met de vorige en de opgave geeft, gebruikmakend van de eigenschappen van de rij van Fibonacci, dat $a_{n+3}-3a_{n+2}+a_{n+1}+2a_n=0$ .
De karakteristieke vergelijking van deze lineaire recurrentie is $x^3-3x^2+x+2=(x-2)(x^2-x-1)$ . Volgens de theorie van de lineaire recurrente rijen is dan $a_n=A.2^n+B.\alpha^n+C.\beta^n$ . Hierbij is $\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ en $\beta=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ . We weten, ook door gebruik te maken van de theorie van de lineaire recurrentie, dat $F_n=\dfrac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$ .
In $a_n=A.2^n+B.\alpha^n+C.\beta^n$ , bepalen we $A,B$ en $C$ door gebruik te maken van $a_0=0,a_1=0$ en $a_2=1$ . We vinden $A=1$ , $B=-\dfrac{\alpha^2}{\alpha-\beta}$ en $C=\dfrac{\beta^2}{\alpha-\beta}$ .
Bijgevolg is $a_n=2^n-F_{n+2}$ .