Nootje 50

Geplaatst op 24 september 2024 door admin

Antwoord

Twee maal de stelling van Pythagoras toepassen geeft: $x^2=4a^2+b^2$ en $y^2=4b^2+a^2$ .
We tellen deze vergelijkingen op : $x^2+y^2=5(a^2+b^2)$ .
Omdat nu $x^2+y^2=5$ ,volgt hieruit dat $a^2b^2=1$ .
Pas nogmaals Pythagoras toe in de driehoek ABC en dan vinden we dat $|AB|^2=9a^2+9b^2=9$ .
Bijgevolg is
$|AB|=3$

Nootje 49

Geplaatst op 3 augustus 2024 door admin

De functie f is gedefinieerd op de verzameling geordende paren positieve getallen en voldoet aan : $f(x,x)=x$ , $f(x,y)=f(y,x)$ en $f(x,y).(x+y)=y.f(x,x+y)$ . Bereken $f(14,52)$

Antwoord

$f(14,52)=f(14,14+38)$ . Pas nu regel 3 toe:
$f(12,52)=\frac{52}{38}f(14,38)$ . Nu is $38=14+24$ . Pas opnieuw regel 3 toe en we krijgen:
$f(12,52)=\frac{52}{24}f(14,14+10)$ . Nogmaals regel 3:
$f(12,52)=\frac{52}{10}f(14,10)$
We draaien de argumenten om volgens regel 2 en we vinden
$f(12,52)=\frac{52}{10}f(10,14)$
$f(12,52)=\frac{52}{10}f(10,10+4)=\frac{52}{10}.\frac{14}{4}.f(10,4)$
Omdraaien : $f(12,52)=\frac{91}{5}.f(4,4+6)=\frac{91}{3}.f(4,4+2)$
Nog maar een keer regel 3 geeft : $f(12,52)=91.f(4,2)=91.f(2,2+2)$ .
Uiteindelijk bekomen door regel 3 en regel 1 het antwoord:
$f(14,52)=91.2.f(2,2)=91.2.2=364$

Nootje 42

Geplaatst op 3 november 2023 door admin

Antwoord

Noem deze uitdrukking x.
Dan is $x^2=7\sqrt{7\sqrt{7...}}$ of $x^2=7x$ ;
Bijgevolg is $x=0$ of $x=7$ . Uiteraard kan 0 geen oplossing zijn, dus $x=7$ .

Een patroon zoeken…

Geplaatst op 6 mei 2022 door admin

Stel $f_0(x)=\dfrac{1}{1-x}$ en $f_n(x)=f_0(f_{n-1}(x))$ voor $n=1,2,3,...$ Bereken dan

$f_{2022}(2022)$

Het is onwaarschijnlijk dat je alle functies $f_n(x)$ , waarbij n varieert van 1 tot n, zal moeten berekenen. Waarschijnlijk zit er ergens een patroon in…

Antwoord

$f_1(x)=\dfrac{1}{1-f_0(x)}=\dfrac{x-1}{x}$ .
$f_2(x)=\dfrac{1}{1-f_1(x)}=x$ .
Maar dan is $f_3(x)=f_0(x)$ .
Algemeen is $f_{3n}(x)=f_0(x)$ , $f_{3n+1}(x)=f_1(x)$ en $f_{3n+2}(x)=f_2(x)$ .
Omdat 2022 deelbaar is door 3, zal $f_{2022}(x)=f_0(x)$ .
En dus is $f_{2022}(2022)=-\dfrac{1}{2021}$ .

Nootje 18

Geplaatst op 5 januari 2021 door admin

Bereken de oppervlakte van een rechthoekige driehoek in functie van de bissectrice en zwaartelijn betrokken uit de rechte hoek.

Antwoord

Noem de oppervlakte A en de rechthoekszijden van de rechthoekige driehoek a en b. Noteer met x de lengte van de bissectrice uit A en met y de lengte van de zwaartelijn uit A.
Dan is A de som van de oppervlaktes van ABE en AEC, dus $A=\frac{1}{2}ax \sin 45^\circ+\frac{1}{2}bx \sin 45^\circ$ .
Hieruit volgt dat $A=\frac{\sqrt{2}}{4}(a+b)x$ .
Kwadrateren geeft : $A^2=\frac{2}{16}(a^2+b^2+2ab)$ .
Volgens Pythagoras is $a^2+b^2= c^2$ , met c de schuine zijde. Maar de zwaartelijn getrokken naar de schuine zijde is gelijk aan de helft van die schuine zijde. Dus $c=2y$ .
Verder is $ab$ gelijk aan het dubbele van de oppervlakte van de driehoek, dus $ab=2A$ .
Ingevuld : $A^2=\frac{1}{8}(4y^2+4A)$ .
Vereenvoudigd: $A^2=\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{2}x^2A$ .
Hieruit kan je A oplossen:
$A=\frac{x^2+x\sqrt{x^2+8y^2}}{4}$

Wiskunde is leuk

Tag archieven: problemsolving

Nootje 50

Nootje 49

De functie f is gedefinieerd op de verzameling geordende paren positieve getallen en voldoet aan : $f(x,x)=x$ , $f(x,y)=f(y,x)$ en $f(x,y).(x+y)=y.f(x,x+y)$ . Bereken $f(14,52)$

Nootje 42

Een patroon zoeken…

Nootje 18

Bereken de oppervlakte van een rechthoekige driehoek in functie van de bissectrice en zwaartelijn betrokken uit de rechte hoek.

De functie f is gedefinieerd op de verzameling geordende paren positieve getallen en voldoet aan : , en . Bereken

Bereken de oppervlakte van een rechthoekige driehoek in functie van de bissectrice en zwaartelijn betrokken uit de rechte hoek.

De functie f is gedefinieerd op de verzameling geordende paren positieve getallen en voldoet aan : $f(x,x)=x$ , $f(x,y)=f(y,x)$ en $f(x,y).(x+y)=y.f(x,x+y)$ . Bereken $f(14,52)$