Tag archieven: problemsolving

OMB Maxi finale 2026 vraag 3

Geplaatst op door

De labels 1 tot en met 27 worden over drie kleuren verdeeld, elk met een vast gemiddelde. Een vergelijking voor de totale som beperkt de aantallen sterk, en het lage gemiddelde van de blauwe ballen maakt de lijst nog korter.

Infobox

  • Onderwerpen: Combinatoriek, getaltheorie
  • Probleemoplossingstechnieken: Dubbel tellen, diophantische vergelijking, extremale schatting, constructie
  • Moeilijkheid: Gemiddeld
  • Competitie: Olympiade Mathématique Belge, Maxifinale
  • Jaar: 2026
  • Opgavenummer: 3

Opgave

Zevenentwintig ballen zijn genummerd van 1 tot en met 27. Van deze ballen zijn er r rood, b blauw en j geel; geen enkele bal heeft een andere kleur. De rekenkundige gemiddelden van de getallen op respectievelijk de rode, blauwe en gele ballen zijn 15, 3 en 18. Bepaal alle drietallen (r,b,j) waarvoor zo’n kleuring mogelijk is.

Eerste idee

Bereken de totale som van de labels ook via de drie kleurgemiddelden. Dat levert samen met het totale aantal ballen een diophantische vergelijking voor r, b en j. Gebruik daarna dat b verschillende positieve labels samen minstens 1+2+\cdots+b zijn. Voor iedere resterende kandidaat is ten slotte een concrete kleuring nodig.

Uitwerking

De som van alle labels is

    \[1+2+\cdots+27=\frac{27\cdot 28}{2}=378.\]

Omdat de gemiddelde labels van de rode, blauwe en gele ballen respectievelijk 15, 3 en 18 zijn, zijn hun sommen respectievelijk 15r, 3b en 18j. Daarom geldt

    \[15r+3b+18j=378.\]

Na delen door 3 wordt dit

    \[5r+b+6j=126.\]

Ook geldt

    \[r+b+j=27.\]

Trekken we deze laatste vergelijking af van de vorige, dan vinden we

    \[4r+5j=99.\]

Modulo 5 geeft dit

    \[4r\equiv 4\pmod 5,\]

en dus

    \[r\equiv 1\pmod 5.\]

Omdat r, b en j positief zijn en samen 27 vormen, levert 4r+5j=99 precies de volgende kandidaten:

r j b=27-r-j
1 19 7
6 15 6
11 11 5
16 7 4
21 3 3

We begrenzen nu het aantal blauwe ballen. De som van b verschillende labels uit {1,2,\ldots,27} is minstens

    \[1+2+\cdots+b=\frac{b(b+1)}{2}.\]

De blauwe labels hebben gemiddelde 3 en dus som 3b. Bijgevolg

    \[\frac{b(b+1)}{2}\le 3b.\]

Omdat b>0, mogen we delen door b. We krijgen

    \[b+1\le 6,\]

zodat

    \[b\le 5.\]

De eerste twee kandidaten vallen dus af. Er blijven alleen

    \[(r,b,j)=(11,5,11),\quad(16,4,7),\quad(21,3,3)\]

over. We tonen voor elk drietal aan dat het werkelijk mogelijk is.

Het drietal (11,5,11)

Neem als blauwe labels

    \[1,2,3,4,5.\]

Hun som is 15, dus hun gemiddelde is 15/5=3. Neem als gele labels

    \[13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23.\]

Dit zijn 11 labels met som

    \[11\cdot\frac{13+23}{2}=198,\]

dus met gemiddelde 198/11=18. De overige 11 labels zijn rood. Hun som is

    \[378-15-198=165,\]

dus hun gemiddelde is 165/11=15.

Het drietal (16,4,7)

Neem als blauwe labels

    \[1,2,3,6.\]

Hun som is 12, dus hun gemiddelde is 12/4=3. Neem als gele labels

    \[15,16,17,18,19,20,21.\]

Dit zijn 7 labels met som

    \[7\cdot\frac{15+21}{2}=126,\]

dus met gemiddelde 126/7=18. De overige 16 labels zijn rood. Hun som is

    \[378-12-126=240,\]

dus hun gemiddelde is 240/16=15.

Het drietal (21,3,3)

Neem als blauwe labels

    \[1,2,6.\]

Hun som is 9, dus hun gemiddelde is 9/3=3. Neem als gele labels

    \[17,18,19.\]

Hun som is 54, dus hun gemiddelde is 54/3=18. De overige 21 labels zijn rood. Hun som is

    \[378-9-54=315,\]

dus hun gemiddelde is 315/21=15.

Alle drie de overblijvende kandidaten zijn dus realiseerbaar. De volledige lijst is

    \[\boxed{(r,b,j)\in{(11,5,11),(16,4,7),(21,3,3)}}.\]

Probleemoplossingstechnieken

  • Dubbel tellen: De totale som van de labels wordt rechtstreeks en als som van de drie kleursommen berekend.
  • Diophantische vergelijking: De aantallen moeten voldoen aan 4r+5j=99, waardoor slechts vijf kandidaten ontstaan.
  • Extremale schatting: De kleinste mogelijke som van b verschillende labels sluit de kandidaten met b>5 uit.
  • Constructie: Expliciete kleurklassen bewijzen dat elk overblijvend kandidaatdrietal mogelijk is.

Bron

Maxifinale Olympiade Mathématique Belge 2026, 22 april 2026. © Olympiade Mathématique Belge.

Nootje 49

Geplaatst op door

De functie f is gedefinieerd op de verzameling geordende paren positieve getallen en voldoet aan :f(x,x)=x , f(x,y)=f(y,x) en f(x,y).(x+y)=y.f(x,x+y). Bereken f(14,52)

Antwoord

  • f(14,52)=f(14,14+38). Pas nu regel 3 toe:
  • f(12,52)=\frac{52}{38}f(14,38). Nu is 38=14+24. Pas opnieuw regel 3 toe en we krijgen:
  • f(12,52)=\frac{52}{24}f(14,14+10). Nogmaals regel 3:
  • f(12,52)=\frac{52}{10}f(14,10)
  • We draaien de argumenten om volgens regel 2 en we vinden 
  • f(12,52)=\frac{52}{10}f(10,14)
  • f(12,52)=\frac{52}{10}f(10,10+4)=\frac{52}{10}.\frac{14}{4}.f(10,4)
  • Omdraaien : f(12,52)=\frac{91}{5}.f(4,4+6)=\frac{91}{3}.f(4,4+2)
  • Nog maar een keer regel 3 geeft :f(12,52)=91.f(4,2)=91.f(2,2+2).
  • Uiteindelijk bekomen door regel 3 en regel 1 het antwoord:

        \[f(14,52)=91.2.f(2,2)=91.2.2=364\]

 

Een patroon zoeken…

Geplaatst op door

Stel f_0(x)=\dfrac{1}{1-x} en f_n(x)=f_0(f_{n-1}(x)) voor n=1,2,3,...  Bereken dan

    \[f_{2022}(2022)\]

Het is onwaarschijnlijk dat je alle functies f_n(x), waarbij n varieert van 1 tot n, zal moeten berekenen. Waarschijnlijk zit er ergens een patroon in…

Antwoord

 

  • f_1(x)=\dfrac{1}{1-f_0(x)}=\dfrac{x-1}{x}.
  • f_2(x)=\dfrac{1}{1-f_1(x)}=x.
  • Maar dan is f_3(x)=f_0(x).
  • Algemeen is f_{3n}(x)=f_0(x), f_{3n+1}(x)=f_1(x) en f_{3n+2}(x)=f_2(x).
  • Omdat 2022 deelbaar is door 3, zal f_{2022}(x)=f_0(x).
  • En dus is f_{2022}(2022)=-\dfrac{1}{2021}.