Opgave 24

Geplaatst op door

Bewijs dat er tussen elke 9 getallen er twee zijn, een a en een b, waarvoor

    \[0<\frac{a-b}{1+ab}<\sqrt{2}+1\]

Antwoord

  • De middelste uitdrukking doet me onmiddellijk denken aan de formule voor \tan(a-b).
  • Bovendien volgt uit 1=\tan(\frac{\pi}{4})=\frac{2\tan(\frac{\pi}{8})}{1-\tan^2(\frac{\pi}{8})} dat \tan(\frac{\pi}{8})=\sqrt{2}+1.
  • Verdeel nu het interval ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ in 8 gelijke stukken.
  • Noteer de 9 gegeven getallen door a_i met i=1,2,\cdots,9. Stel vervolgens x_i=\text{ bgtan }(a_i).
  • Er zijn 9 getallen x_i voor 8 intervallen, dus volgt uit het duivenhok principe dat er minstens twee getallen x_i en x_j met x_j>x_i in hetzelfde interval liggen.
  • Dan geldt 0< x_j-x_i<\frac{\pi}{8}.
  • Omdat de tangensfunctie stijgend is op ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[, volgt hieruit dat 0< \tan(x_j-x_i)=\frac{a_j-a_i}{1+a_j.a_i}<\sqrt{2}+1.