Op hoeveel manieren N kan je 28 schrijven als som van verschillende natuurlijke getallen ( )?
- Noteer
als het aantal mogelijkheden om n te schrijven als som van k verschillende natuurlijke getallen, verschillend van 0.
- Het is niet zo moeilijk om
uit te rekenen: 1+27,2+26,…13+15. Dus
.
- Omdat
is
. Bovendien zal voor
.
- Berekenen we eerst
. Stel dus dat
en neem
. Als
, dan is
een drietal met som 25, dus een mogelijkheid uit
. Omgekeerd kan je ook met elke mogelijkheid van
, een mogelijkheid van
laten corresponderen met elementen groter dan 1.
- Stel echter dat x=1, dan is
een tweetal met som 25 en dus een mogelijkheid uit
.
- Uit vorige redeneringen volgt
of algemener:
- Herhaaldelijk toepassen van die formule geeft:
.
- Maar
als n even is en
als n oneven is. Hieruit volgt dat
.
- Om
te berekenen gebruiken we een analoge formule
. Idem voor
en
.
- Enkele berekingen staan in volgende tabel en zo vinden we