Som 28 | Wiskunde is leuk

Op hoeveel manieren N kan je 28 schrijven als som van verschillende natuurlijke getallen ( $\neq 0$ )?

Noteer $S_k(n)$ als het aantal mogelijkheden om n te schrijven als som van k verschillende natuurlijke getallen, verschillend van 0.
Het is niet zo moeilijk om $S_2(28)$ uit te rekenen: 1+27,2+26,…13+15. Dus $S_2(28)=13$ .
Omdat $1+2+3+4+5+6+7=28$ is $S_7(28)=1$ . Bovendien zal voor $k>7: S_k(28)=0$ .
Berekenen we eerst $S_3(28)$ . Stel dus dat $x+y+z=28$ en neem $x<y<z$ . Als $x>1$ , dan is $x-1,y-1,z-1$ een drietal met som 25, dus een mogelijkheid uit $S_3(25)$ . Omgekeerd kan je ook met elke mogelijkheid van $S_3(25)$ , een mogelijkheid van $S_3(28)$ laten corresponderen met elementen groter dan 1.
Stel echter dat x=1, dan is $y-1,z-1$ een tweetal met som 25 en dus een mogelijkheid uit $S_2(25)$ .
Uit vorige redeneringen volgt $S_3(28)=S_3(25)+S_2(25)$ of algemener:
$S_3(n)=S_3(n-3)+S_2(n-3)$
Herhaaldelijk toepassen van die formule geeft: $S_3(28)=S_2(25)+S_2(22)+S_2(19)+S_2(16)+S_2(13)+S_2(10)+S_2(7)+S_2(4)$ .
Maar $S_2(n)=\frac{n}{2}-1$ als n even is en $S_2(n)=\frac{n-1}{2}$ als n oneven is. Hieruit volgt dat $S_3(28)=12+10+9+7+6+4+3+1=52$ .
Om $S_4(28)$ te berekenen gebruiken we een analoge formule $S_4(n)=S_3(n-4)+S_2(n-4)$ . Idem voor $S_5(28)$ en $S_6(28)$ .
Enkele berekingen staan in volgende tabel en zo vinden we
$N=13+52+84+57+14+1=221$