Majorisatie ongelijkheid

Neem 2 geordende n-tallen x_1,\cots,x_n en y_1,\cdots,y_n. Als x_1 \geq x_2\geq \cdots \geq x_n,
y_1\geq y_2\geq \cdots \geq y_n,
x_1\geq y_1,
x_1+x_2\geq y_1+y_2, …,
x_1+x_2+\cdots+x_{n-1}\geq y_1+y_2+\cdots+y_{n-1} en x_1+\cdots+x_n=y_1+\cdots+y_n, dan zeggen we dat het n-tal (x_1,\cdots,x_n) het n-tal (y_1,\cdots,y_n) majorizeert en we noteren (x_1,\cdots,x_n)>(y_1,\cdots,y_n).

Dit gaan we gebruiken in volgende stelling over ongelijkheden:

Als f een convexe functie is op een interval I en (x_1,\cdots,x_n)>(y_1,\cdots,y_n) met x_i,y_i \in I, dan zal

    \[f(x_1)+\cdots+f(x_n)\geq f(y_1)+\cdots+f(y_n)\]

  • Als f strikt convex is krijg je een gelijkheid als en slechts als \forall i: x_i=y_i.
  • Er is een gelijkaardig resultaat voor concave functies, als je de ongelijkheidstekens omdraait.
  • Deze stelling is een veralgemening van de ongelijkheid van Jensen, waarbij (x_1,\cdots,x_n)> (x,\cdots,x). Hierbij is x het rekenkundig gemiddelde van de getallen x_i.

Een voorbeeld:

Vind de maximum waarde van a^{12}+b^{12}+c^{12} als -1\leq a,b,c \leq 1 en a+b+c=-\frac{1}{2}.

  • De functie f(x)=x^{12} is convex op \left[-1,1\right], want f''(x)=132x^{10}\geq 0 op \left[-1,1\right].
  • Veronderstel 1\geq a \geq b\geq c\geq -1.
  • Dan is (1,-\frac{1}{2},-1)>(a,b,c), want eerst en vooral is 1\geq a. Verder is -c\leq 1, dus is 1-\frac{1}{2} \geq -c-\frac{1}{2}=a+b.
  • Volgens de majorisatie ongelijkheid is dan a^{12}+b^{12}+c^{12} \leq f(1)+f(-\frac{1}{2})+f(-1)=2+\frac{1}{2^{12}}.
  • De maximumwaarde van 2+\frac{1}{2^{12}} wordt bereikt voor a=1, b=-\frac{1}{2} en c=-1.