Kansen op het schaakbord.

Kies 2 vakjes op een schaakbord. Wat is de kans dat die twee vakjes 1 punt gemeen hebben?

  • Het aantal mogelijkheden om 2 vakjes te kiezen op een nxn bord is n^2 \choose 2 =\frac{n^2(n^2-1)}{2}.
  • Elk vakje in de hoek heeft 1 geschikte buur ( groen). Dus zo heb je al 4 mogelijkheden.
  • De vakjes op de rand, die niet in de hoeken liggen, hebben 2 geschikte buren(blauw). Er zijn 4(n – 2) dergelijke vakjes op de rand, dus heb je 2.4(n-2) gunstige mogelijkheden.
  • De inwendige vakjes hebben 4 geschikte buren ( geel). Er zijn (n-2)^2 dergelijke vakjes, dus 4(n-2)^2 gunstige mogelijkheden.
  • In het totaal zijn er 4+8(n-2)+4(n-2)^2=4n^2-8n+4 gunstige mogelijkheden. Maar die zijn dubbel geteld!
  • De kans dat er twee vakjes juist 1 punt gemeen hebben is

        \[\frac{4(n^2-2n+1)}{n^4-n^2}\]

  • Voor een  8×8 bord geeft dit ongeveer 4,8%.

Gebruik een goede notatie

Het ontbreken van een goede notatie kan de verdere ontwikkeling van een wiskundig begrip tegenhouden. Net zo goed kan een goede notatie  bij het oplossen van een probleem, dit probleem toegankelijker maken en ons naar een goede oplossingsmethode leiden. Het probleem wordt als het ware gecodeerd zodat het veel toegankelijker wordt.

Een voorbeeld:

 

Ik heb 4 kleinkinderen Mirthe (M), Tiebe (T), Joeke (J) en Nienke (N). Op hoeveel manieren kan ik 10 stukken van 2 \euro \ onder hen verdelen?

We kunnen beginnen met een paar voorbeelden:

    \[\begin{array}{c|c|c|c} M&T&J&N\\ \hline xx&xx&xxx&xxx\\ xxxxx&xxxxx&& \end{array}\]

  • Bij de eerste lijn ( xx|xx|xxx|xxx) krijgen Mirthe en Tiebe elk 2 Euro , terwijl Joeke en Nienke elk 3 Euro  krijgen. Op de tweede lijn (xxxxx|xxxxx||) krijgen Mirthe en Tiebe elk 5 Euro en Joeke en Nienke niets.
  • Dus met elke verdeling van de tien munten komt een rijtje van 10 x-en en 3 | en overeen. Dit lijkt een goede notatie voor een verdeling .
  • Omgekeerd komt met elke rij van 10 x-en en 3 | en een verdeling van de 10 stukken van 2 Euro  overeen. Met xxx|xxx|x|xxx geef ik Mirthe, Tiebe en Nienke elk 3 stukken van 2 Euro  en Joeke 1 stuk.
  • Er zijn dus evenveel verdelingen van die 10 muntstukken over mijn kleinkinderen als er dergelijke rijtjes kunnen gevormd worden.
  • Het aantal van dergelijke rijtjes is een herhalingspermutatie van 13 elementen waarvan er 10 van het soort x zijn en 3 van het soort |. Dus zijn er \dfrac{13!}{10!.3!}=260 mogelijke verdelingen.