Som 28

Op hoeveel manieren N kan je 28  schrijven als som van verschillende natuurlijke getallen ( \neq 0)?

  • Noteer S_k(n) als het aantal mogelijkheden om n te schrijven als som van k verschillende natuurlijke getallen, verschillend van 0.
  • Het is niet zo  moeilijk om S_2(28) uit te rekenen: 1+27,2+26,…13+15. Dus S_2(28)=13.
  • Omdat 1+2+3+4+5+6+7=28 is S_7(28)=1. Bovendien zal voor k>7: S_k(28)=0.
  • Berekenen we eerst S_3(28). Stel dus dat x+y+z=28 en neem x<y<z. Als x>1, dan is x-1,y-1,z-1 een drietal met som 25, dus een mogelijkheid  uit S_3(25). Omgekeerd kan je ook met elke mogelijkheid van S_3(25), een mogelijkheid van S_3(28) laten corresponderen met elementen groter dan 1. 
  • Stel echter dat x=1, dan is  y-1,z-1 een tweetal met som  25 en dus een mogelijkheid uit S_2(25).
  • Uit vorige redeneringen  volgt S_3(28)=S_3(25)+S_2(25) of algemener:

        \[S_3(n)=S_3(n-3)+S_2(n-3)\]

  • Herhaaldelijk toepassen van die formule geeft: S_3(28)=S_2(25)+S_2(22)+S_2(19)+S_2(16)+S_2(13)+S_2(10)+S_2(7)+S_2(4).
  • Maar S_2(n)=\frac{n}{2}-1 als n even is en S_2(n)=\frac{n-1}{2} als n oneven is. Hieruit volgt dat S_3(28)=12+10+9+7+6+4+3+1=52.
  • Om S_4(28) te berekenen gebruiken we een analoge formule S_4(n)=S_3(n-4)+S_2(n-4). Idem voor S_5(28) en S_6(28).
  • Enkele berekingen staan in volgende tabel en zo vinden we

        \[N=13+52+84+57+14+1=221\]

 

Kansen op het schaakbord.

Kies 2 vakjes op een schaakbord. Wat is de kans dat die twee vakjes 1 punt gemeen hebben?

  • Het aantal mogelijkheden om 2 vakjes te kiezen op een nxn bord is n^2 \choose 2 =\frac{n^2(n^2-1)}{2}.
  • Elk vakje in de hoek heeft 1 geschikte buur ( groen). Dus zo heb je al 4 mogelijkheden.
  • De vakjes op de rand, die niet in de hoeken liggen, hebben 2 geschikte buren(blauw). Er zijn 4(n – 2) dergelijke vakjes op de rand, dus heb je 2.4(n-2) gunstige mogelijkheden.
  • De inwendige vakjes hebben 4 geschikte buren ( geel). Er zijn (n-2)^2 dergelijke vakjes, dus 4(n-2)^2 gunstige mogelijkheden.
  • In het totaal zijn er 4+8(n-2)+4(n-2)^2=4n^2-8n+4 gunstige mogelijkheden. Maar die zijn dubbel geteld!
  • De kans dat er twee vakjes juist 1 punt gemeen hebben is

        \[\frac{4(n^2-2n+1)}{n^4-n^2}\]

  • Voor een  8×8 bord geeft dit ongeveer 4,8%.

Gebruik een goede notatie

Het ontbreken van een goede notatie kan de verdere ontwikkeling van een wiskundig begrip tegenhouden. Net zo goed kan een goede notatie  bij het oplossen van een probleem, dit probleem toegankelijker maken en ons naar een goede oplossingsmethode leiden. Het probleem wordt als het ware gecodeerd zodat het veel toegankelijker wordt.

Een voorbeeld:

 

Ik heb 4 kleinkinderen Mirthe (M), Tiebe (T), Joeke (J) en Nienke (N). Op hoeveel manieren kan ik 10 stukken van 2 \euro \ onder hen verdelen?

We kunnen beginnen met een paar voorbeelden:

    \[\begin{array}{c|c|c|c} M&T&J&N\\ \hline xx&xx&xxx&xxx\\ xxxxx&xxxxx&& \end{array}\]

  • Bij de eerste lijn ( xx|xx|xxx|xxx) krijgen Mirthe en Tiebe elk 2 Euro , terwijl Joeke en Nienke elk 3 Euro  krijgen. Op de tweede lijn (xxxxx|xxxxx||) krijgen Mirthe en Tiebe elk 5 Euro en Joeke en Nienke niets.
  • Dus met elke verdeling van de tien munten komt een rijtje van 10 x-en en 3 | en overeen. Dit lijkt een goede notatie voor een verdeling .
  • Omgekeerd komt met elke rij van 10 x-en en 3 | en een verdeling van de 10 stukken van 2 Euro  overeen. Met xxx|xxx|x|xxx geef ik Mirthe, Tiebe en Nienke elk 3 stukken van 2 Euro  en Joeke 1 stuk.
  • Er zijn dus evenveel verdelingen van die 10 muntstukken over mijn kleinkinderen als er dergelijke rijtjes kunnen gevormd worden.
  • Het aantal van dergelijke rijtjes is een herhalingspermutatie van 13 elementen waarvan er 10 van het soort x zijn en 3 van het soort |. Dus zijn er \dfrac{13!}{10!.3!}=260 mogelijke verdelingen.