Wiskunde is leuk

Toepassingen op stelling van Fermat

Geplaatst op 23 juli 2020 door admin

Nog even in herinnering brengen, de kleine stelling van Fermat luidt: Als p een priemgetal is Ena en p onderling ondeelbaar zijn dan is

$a^{p-1}\equiv 1 \mod p$

of

$a^p \equiv a \mod p$

Nu een paar toepassingen:

is altijd deelbaar door 2730. Bewijs.
Spoiler
- ]We weten dat 2730 = 2.3.5.7.13. Te bewijzen is dan dat $n^{13}-n\equiv 0 \mod 2730$ .
- Het volstaat dus te bewijzen dat de opgave deelbaar is door de priemfactoren 2,3,5,7,13.
- En inderdaad $n^{13}-n\equiv 0 \mod 2,3,5,7$ en 13 met behulp van de stelling van Fermat
is een p-voud als p priem is. Bewijs.
Spoiler
- Modulo p is $5^p\equiv 5$ en $3^p÷equiv 3$
- Dus is $5^p-2*3^p+1 \ 5-2*3+1\equiv 0:mod p$ .
$1492^n-1771^n-1863^n+2141^n$ is steeds deelbaar door 1946. Bewijs dit en volgende opgaven zelf!
$n ^2+2n+12$ is nooit deelbaar door 112. Tip : vul alle waarden van n in modulo 7.
Als n oneven is, dan eindigt de decimale schrijfwijze van $2^{2n}(2^{2n+1}-1)$ steeds op 28.
Voor welke n is $n^{n+1}+(n+1)^n$ een drievoud?