Goniometrische substituties | Wiskunde is leuk

We kennen het gebruik van een goniometrische substitutie bij het berekenen van onbepaalde integralen. Maar ze kunnen ook hun nut hebben bij de studie van ongelijkheden. Een voorbeeld:

Als a,b,c,en d positieve reële getallen zijn en

$\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{1}{1+c^4}+\frac{1}{1+d^4}=1$

bewijs dan dat $abcd \geq 3$ .

Stel $a^2=\tan x, b^2=\tan y,c^2=\tan z$ en $d^2=\tan t$
Omdat $1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}$ wordt de gegeven ongelijkheid: $\cos^2x+\cos^2y+\cos^2z+\cos^2t=1$
We gebruiken nu de ongelijkheid van het rekenkundig en meetkundig gemiddelde: $\sin^2x=1-\cos^2x=\cos^2y\cos^2z\cos^2t \geq 3(\cos y.\cos z.\cos t)^{\frac{2}{3}}$
Analoog $\sin^2y\geq 3(\cos x.\cos z.\cos t)^{\frac{2}{3}}$ .
Of $\sin^2z\geq 3(\cos x.\cos y.\cos t)^{\frac{2}{3}}$ .
En $\sin^2t\geq 3(\cos x.\cos y.\cos z)^{\frac{2}{3}}$ .
Als we nu deze 4 ongelijkheden met elkaar vermenigvuldigen vinden we dat $\sin^2x.\sin^2y.\sin^2z.\sin^2t \geq 81 \cos^2x.\cos^2y.\cos^2z.\cos^2t$ .
Hieruit volgt dat $\tan^2x.\tan^2y.\tan^2z.\tan^2t \geq 81$ of $a^4b^4c^4d^4 \geq 81$ .
Omdat a,b,c en d positief zijn volgt hieruit dat $abcd \geq 3$ .