Opgave 19

Controleer voor elk natuurlijk getal vanaf 7 of {n} \choose {7} deelbaar is door 12 en bereken de fractie van dergelijke getallen. Zoek de limiet van die fractie als je steeds meer getallen controleert.

Antwoord
  • We weten dat {n} \choose {7} = \dfrac{n!}{7!(n-7)!}=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-6)}{2^4.3^2.5.7}
  • Om deelbaar te zijn door 12 moet de teller deelbaar zijn door {2^6.3^3.5.7}. Omdat de teller betsaat uit zeven opeenvolgende getallen is die zeker al deelbaar door 7 en 5.
  • Bekijken we nu de factoren 3. De teller is zeker deelbaar door 9, want zeven opeenvolgende getallen bevatten zeker twee veelvouden van 3.
  • Als n \equiv 0,1,2,3,4,5 \text{ of } 6 \text{ mod } 9, dan is zeker één van de zeven getallen uit de teller deelbaar door 9 en een ander door 3, zodat de teller deelbaar is door 3^3.
  • Nu de factoren 2: Als n even is dan zijn n,n-2,n-4 en n-6 allemaal deelbaar door 2 en juist twee getallen zijn een viervoud, zodat de teller dan deelbaar is door 2^6.
  • Als n oneven is dan zijn n-1,n-3 en n-5 deelbaar door 2. Als n-3 het enige getal is dat deelbaar is door 4, dan moet het zelfs deelbaar zijn door 16 anders kan de teller niet deelbaar zijn door 2^6. Dus moet n \equiv 3 \text{ mod } 16. Als n-1 en n-5 beiden deelbaar zijn door 4, dan moet opdat de teller  deelbaar zou  zijn door 2^6, een van die getallen deelbaar zijn door 8. Dus moet n \equiv 1,5 \text{ mod } 8 of n \equiv 1,5,9,13 \text{ mod } 16.
  • Brengen we nu alle informatie samen: {n} \choose {7} is deelbaar door 12 als en slechts als

        \[\begin{cases} n \equiv 0,1,2,3,4,5,6 \text{ mod } 9 \\ n \equiv 0,1,2,3,4,5,6 ,8,9,10,12,13,14 \text{ mod } 16\]

  • Er zijn 7 mogelijkheden modulo 9 en 13 mogelijkheden modulo 16, dus zijn er volgens de Chinese reststelling 9.13=91  oplossingen modulo 9.16=144.
  • De waarschijnlijkheid dat {n} \choose {7}  deelbaar is door 12 nadert dus de waarde \frac{91}{144}.