Tag archieven: wiskunde

Sangaku 12

Geplaatst op door

 

Antwoord

  • We veronderstellen dat hier een regelmatige zevenhoek getekend staat. Dus er gaat een cirkel door de zeven punten 
  • We zoeken naar een verband tussen a, b en c
  • Beschouw de koordenvierhoek ACDE
  • Daarin zijn |AD|=|AE|=c, |AC|=|CE|=b en |CD|=|CE|=a.
  • Gebruiken we de stelling van Ptolemaeus in deze vierhoek: het product van de diagonalen is de som van de producten van de overstaande zijden:

        \[bc=ab+ac\]

  • Delen door abc geeft uiteindelijk :

        \[\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\]

Opgave 35

Geplaatst op door

N is een natuurlijk getal. Een goede verdeling van N is een partitie van \{1,2,\cdots,N\} in twee gescheiden, niet lege deelverzamelingen S_1 en S_2, zo dat de som van de elementen van S_1 gelijk is aan het product van de elementen van S_2. Bewijs dat voor N\geq 5 er altijd een goede verdeling bestaat.

Spoiler

  • Laten we eerst even op verkenning gaan en kijken of we een goede verdeling vinden voor 5,6 en 7.
  • Voor 5 vinden we S_1=\{3,5\} en S_2=\{1,2,4\}.
  • Voor 6 vinden we S_1=\{3,4,5\} en S_2=\{1,2,6\}.
  • Voor 7 vinden we S_1=\{2,4,5,7\} en S_2=\{1,3,6\}.
  • In deze voorbeelden vinden we S_21 van de vorm \{1,x,y\}. Proberen we eens of dit altijd kan! 
  • S_1 is het complement van S_2 dus we krijgen een goede verdeling als

        \[\frac{N(N+1)}{2}-1-x-y=xy\]

  • Uitgewerkt geeft dit (x+1)(y+1)=\frac{N(N+1)}{2}.
  • Als nu N\geq 5 en N even is , dan kunnen we voor x en y volgende oplossingen vinden:

        \[x=\frac{N}{2}-1 \text{ en } y=N\]

  • Als N echter oneven is, vinden we:

        \[x=\frac{N+1}{2}-1 \text{ en } y=N-1\]

  • We hebben dus een constructie bewijs gegeven van het gevraagde.

Nootje 27

Geplaatst op door

 

 

 

Spoiler

  • We zoeken de grootste waarde van een natuurlijk getal x waarvoor \sqrt{x^2-2021} een natuurlijk getal is. Noem dit getal n.
  • Dan geldt: x^2-2021=n^2 of x^2-n^2=2021
  • 2021 heeft 4 delers: 1,43,47 en 2021.
  • Dus is (x-n)(x+n)=1.2021 of (x-n)(x+n)=43.47
  • Uit de eerste gelijkheid volgt dat x-n=1 en x+n=2021. Bijgevolg is x=1011 en n=1010.
  • Uit de tweede gelijkheid volgt dat x-n=43 en x+n=47. Bijgevolg is x=45 en n=2.
  • De grootst mogelijk waarde van x is dus 1011.

De volhardingswaarde

Geplaatst op door

Neem een willekeurig getal, zeg 56 en vermenigvuldig de cijfers. dan bekom je 5*6=30. Bij dit getal neem je opnieuw het product van de cijfers: 3*0=0. Als je nu verder zou gaan met het product van de cijfers te nemen, dan verandert er niets meer. Na 2 stappen bekom je dus een getal van 1 cijfer. We noemen 2 de volhardingswaarde van het gegeven getal 56.

Algemeen: Neem dus een willekeurig getal, vermenigvuldig alle cijfers met elkaar, zodat je een nieuw getal krijgt. Als dat getal meerdere cijfers bevat, herhaal je het proces van cijfers vermenigvuldigen, totdat je maar 1 cijfer over houdt. Het aantal stappen dat je daarvoor nodig hebt noem je de volhardingswaarde van het gegeven getal.

Een programma in Python:

Is er een maximaal aantal stappen voor een willekeurig getal? Dit ‘eenvoudig’ probleem werd bedacht door Neil Sloane, een Amerikaanse wiskundige.

We kennen hem het best van zijn website (oeis.org) met zijn verzameling getallenreeksen. In 1973 schreef hij in Journal of Recreational Mathematics een artikel over het probleem van de volhardingswaarde. Hij beweerde dat we maximaal 11 stappen kunnen maken eer we een enkel cijfer over houden, hoe groot het begin getal ook is. Dit vermoeden werd tot op heden nog niet bewezen.

Het kleinste getal met volhardingswaarde 1 is uiteraard 10. Verder is 25 het kleinste getal met volhardingswaarde 2, 39 het kleinste getal met volhardingswaarde 3, 77 het kleinste getal met volhardings-waarde 4 en 679 het kleinste getal met volhardingswaarde 5.

De kleinste getallen met volhardingswaarden 6,7,8,9,10 en 11 zijn respectievelijk 6788,68889,2677889,26888999,3778888999 en 277777788888899.

 

Een mannen urinoir…

Geplaatst op door

Een vraag van een collega wiskundeleraar van het HDC…

In een mannentoilet staan 13 urinoirs op een rijtje. Persoon 1 komt binnen en kan kiezen waar hij zich zet. Nadien komt persoon 2 binnen en kiest een zo ver mogelijke plaats van persoon 1. Daarna komt persoon 3 binnen en maximaliseert de afstand tot de persoon waar hij het dichtste tegen staat. Indien er meerdere plaatsen zijn die de afstand maximaliseren, dan kiest hij willekeurig. Er blijven personen binnen komen die aan hetzelfde principe de urinoirs vullen. Personen gaan zich nooit vlak naast elkaar zetten (er blijft altijd minstens 1 plek tussen) Waar moet de eerste persoon zich nu zetten zodat de urinoirs optimaal gevuld zullen zijn? En hoe ziet zo’n optimale vulling er uit? Voor welke hoeveelheid urinoirs zal het altijd optimaal gevuld kunnen zijn? 

Een mogelijke oplossing vind je hier.