Soms kan het probleem verdeeld worden in een aantal deelproblemen , die elk afzonderlijk kunnen behandeld worden. Dit gebeurt dikwijls als het probleem de al-kwantor bevat: voor alle x … Deze methode wordt ook wel het uitputtingsprincipe genoemd of de exhaustie methode.
Gegeven is een functie
met
Bewijs dat .
- We gaan het resultaat eerst bewijzen voor de positieve gehele getallen. De eigenschap klopt voor x = 1.
Voor x = 2 hebben we.
Voor x = 3 is.
Het is duidelijk dat we dit proces kunnen verderzetten en dat voor elk positief geheel getal n geldt dat - Nu controleren we de formule voor niet positieve gehelen. Eerst is er
. Hieruit volgt dat
. Neem nu het negatief getal m, dan is er een positief geheel getal n met
. Bijgevolg is
.
Hieruit volgt dat, waarmee het gestelde bewezen is.
- Nu komen de omgekeerden van de gehele getallen (verschillend van 0) aan de beurt. Stel
, dan geldt:
.
Hieruit volgt datof
.
- Tenslotte nemen we de rationale getallen onder de loep:
.
Nu is.
Dus is.
Bijgevolg geldt voor elk rationaal getaldat
.