Tag archieven: uitputting

Verdeel in verschillende gevallen

Geplaatst op door

Soms kan het probleem  verdeeld worden in een aantal deelproblemen , die elk afzonderlijk kunnen behandeld worden. Dit gebeurt dikwijls als het probleem de al-kwantor bevat: voor alle x … Deze methode wordt ook wel het uitputtingsprincipe genoemd of de exhaustie methode.

Gegeven is een functie f:\mathbb{Q} \longrightarrow \mathbb{R}  met 

    \[\forall x,y \in \mathbb{Q}: f(x+y)=f(x)+f(y)\]

Bewijs dat \forall x\in \mathbb{Q}: f(x)=f(1).x.

  • We gaan het resultaat eerst bewijzen voor de positieve gehele getallen. De eigenschap klopt voor x = 1.
    Voor x = 2 hebben we f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2.f(1).
    Voor x = 3 is f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=2.f(1)+f(1)=3.f(1).
    Het is duidelijk dat we dit proces kunnen verderzetten en dat voor elk positief geheel getal n geldt dat f(n)=n.f(1)
  • Nu controleren we de formule voor niet positieve gehelen. Eerst is er f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0). Hieruit volgt dat f(0)=0=0.f(1). Neem nu het negatief getal m, dan is er een positief geheel getal n met m=-n. Bijgevolg is 0=f(0)=f(n+(-n))=f(n)+f(-n).
    Hieruit volgt dat f(m)= f(-n)=-f(n)=-n.f(1)=m.f(1), waarmee het gestelde bewezen is.
  • Nu komen de omgekeerden van de gehele getallen (verschillend van 0) aan de beurt. Stel m=\dfrac{1}{n}, dan geldt:
    f(1)=f(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}+\cdots+\dfrac{1}{n})=n.f(\dfrac{1}{n}).
    Hieruit volgt dat f(\dfrac{1}{n})=\dfrac{1}{n}.f(1) of f(m)=m.f(1).
  • Tenslotte nemen we de rationale getallen onder de loep: x=\dfrac{m}{n}.
    Nu is f(\dfrac{m}{n})=f(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}+\cdots+\dfrac{1}{n})=m.f(\dfrac{1}{n}).
    Dus is f(\dfrac{m}{n})=m.f(\dfrac{1}{n})=\dfrac{m}{n}.f(1).
    Bijgevolg geldt voor elk rationaal getal x=\dfrac{m}{n} dat f(x)=x.f(1).

Bewijstechnieken

Geplaatst op door

De geschiedenis van ’Bewijs dat …’ begint, net als een sprookje, vele,
vele jaren geleden met ’Er was eens…’. Er was inderdaad eens een tijd
waarin geen bewijzen bestonden nl, tijdens de Babylonische periode,
want in de Babylonische wiskunde – 4000 jaar geleden – was er geen
spoor te vinden van het begrip bewijs, noch van enige deductieve redenering.
Babylonische wiskunde, zoals ook deze tijdens de Egyptische farao’s,
bestond uit recepten om een concreet probleem met concrete gegevens
op te lossen. Het was een wiskunde zonder bewijzen, zonder verklaringen!
Toch bleek na verloop van tijd ergens de noodzaak voor meer
structuur omdat elk gelijkaardig probleem telkens moest worden hernomen
volgens het gegeven recept.

Lees hier over de verschillende bewijstechnieken.
bewijzen