36 officieren

Het 36 officieren probleem, ook wel bekend als het probleem van Euler’s 36 officieren, is een beroemde puzzel in de combinatoriek, bedacht door de wiskundige Leonhard Euler in 1782. Het probleem kan als volgt worden omschreven:

Stel je hebt een leger van 36 officieren, bestaande uit 6 verschillende regimenten en 6 verschillende rangen. Je moet deze 36 officieren opstellen in een 6×6 rooster, zodanig dat in elke rij en elke kolom precies één officier van elk regiment en één officier van elke rang voorkomt.

Euler conjectureerde dat dit probleem geen oplossing heeft voor een 6×6 rooster, en dit werd later bewezen door Gaston Tarry (1843-1913) in 1901. Het betekent dat het onmogelijk is om een 6×6 rooster te vullen met deze eigenschappen. De onmogelijkheid van het oplossen van het 36-officieren probleem komt voort uit het feit dat het een speciaal geval is van het algemene probleem van het vinden van “orthogonale Latijnse vierkanten”. Latijnse vierkanten zijn roosters waarbij in elke rij en kolom elke symbool precies één keer voorkomt. Twee Latijnse vierkanten zijn orthogonaal als je ze over elkaar legt en elke combinatie van symbolen precies één keer voorkomt. Voor n=6 bestaat er geen paar van orthogonale Latijnse vierkanten, wat het 36-officieren probleem onoplosbaar maakt.

Euler vermoedde dat als n=4k+2, waarbij k een natuurlijk getal is, er geen paar orthogonale Latijnse vierkanten van n\times n bestaat. Dit vermoeden werd pas in 1959 ontkracht, toen de wiskundigen Bose,Shikhande en Parker een paar orthogonale Latijnse vierkanten van 22 \times 22 maakten. 

Er bestaan wel oplossingen als bijvoorbeeld  n=5 en n=7

 

 

Wiskunde onderzoek

 

Bij wiskundig onderzoek start men met een open probleem en men probeert een oplossing hiervoor  te vinden. Het zoeken op zich naar een oplossing doet de wiskunde groeien en schept frisse ideeën waarin strategieën worden ontwikkeld om die open problemen aan te pakken. Vaak is het dan zo gelopen in de geschiedenis dat de ontstane theorie toepassingen biedt die veel uitgebreider zijn dan men aanvankelijk kon vermoeden, of zoals d’Alembert ooit zei:

Soms heeft de onderzoeker in de aanvangsfase zelf geen besef van de draagwijdte van zijn vondst. Het is een beetje te vergelijken met een uitspraak van professor Adhemar uit de strips van Nero: 

Ik voel dat ik weer iets prachtigs heb uitgevonden, maar ik weet nog niet waarvoor het dient.

Als de theorie die ontwikkeld werd door de onderzoeker geen noemenswaardige toepassingen blijkt te hebben, zal deze theorie een natuurlijke dood van vergetelheid sterven. Maar als het om een goed stuk wiskunde gaat, zal het de uitvinder overleven en geïntegreerd worden in de totale wiskundekennis van dat moment. Het zal zich zelfstandig ontwikkelen, los van de problemen waaruit het is ontstaan en waarschijnlijk nieuwe interessante problemen oproepen, die  weer onderzocht kunnen worden en zo is de cirkel rond.

Een typisch voorbeeld is de grafentheorie, die voortkwam uit het probleem om een route te vinden om over alle bruggen te wandelen in Königsburg, waarbij elke brug precies 1 maal gebruikt zou worden en waarbij men terugkeert naar het startpunt.