Sangaku 11

Antwoord

  • De bedoeling is de oppervlakte van het vierkant te bepalen.
  • De horizontale rechthoekzijde van de rode driehoek is gelijk aan \sqrt{27}-\sqrt{12}=\sqrt{3}. De andere rechthoekszijde meet \sqrt{12}=2\sqrt{3} en is dus dubbel zo groot als de horizontale rechthoekzijde.
  • De zwarte driehoek is gelijkvormig met de rode en omdat de verticale rechthoekzijde gelijk is aan \sqrt{3}+\sqrt{12}+\sqrt{27}=6\sqrt{3}, moet de horizontale rechthoekzijde gelijk zijn aan de helft ervan , dus 3\sqrt{3}.
  • Volgens de stelling van Pythagoras is het kwadraat van de zijde van het vierkant dan gelijk aan (6\sqrt{3})^2+(3\sqrt{3})^2=135
  • De gevraagde oppervlakte is dus 135.

 

Haberdasher puzzel

In 1907 werd een bundeling van meer dan 100 puzzelproblemen gepubliceerd in het boek Canterbury puzzels van Henry Dudeney (1857 – 1930 . Dudeney was een Engels auteur en wiskundige met een voorliefde voor logische puzzels en wiskundige spelletjes.  Eén van de meest bekende puzzels is de volgende: gegeven is een gelijkzijdige driehoek. Maak met slechts 3 insnijdingen van de driehoek 4 puzzelstukjes die kunnen omgevormd worden tot een vierkant met dezelfde oppervlakte als de gegeven driehoek.

Een mogelijke oplossing wordt gegeven als volgt:

 

  1. Het midden van  AB is D en van  BC is het E.
  2. Verleng AE to F zodat EF=EB.
  3. G is het midden van AF.
  4. Met G als middelpunt beschrijven we de boog AHF, waarbij H gelegen is op het verlengde van EB
  5. Met E als middelpunt tekenen we de boog HI.
  6. Construeer J op AC zodat IJ=BE
  7. Teken  IE
  8. Teken uit  D en J de loodlijnen op  IE met voetpunten K and L.

 

Sangaku 10

antwoord

  • Gevraagd wordt de totale oppervlakte vanher trapezium te berekenen.
  • De driehoeken met gegeven oppervlakten 32 en 50 zijn gelijkvormig. Hun oppervlakten verhouden zich als het kwadraat van de gelijkvormigheidsfactor. Bijgevolg is de gelijkvorrmgheidsfactor

        \[r=\frac{4}{5}\]

  • Noteer dan |AE|=4s en |EC|=5s. Analoog |DE|=4t en |EB|=5t
  • De 4 hoeken in E hebben allemaal eenzelfde sinus als overstaande hoeken of supplementaire hoeken. Noteer deze sinus door x. 
  • Om de oppervlakte van een driehoek te berekenen, gebruiken we de formule: de helft van het product van twee zijden , vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek.
  • Oppervlakte ADE= \frac{1}{2}(4s*4t*x)=32.  Dus is stx=4.
  • De oppervlakte van AEB=\frac{1}{2}(4s*5t*x)=10*stx=40 Analoog is ook de oppervlakte van driehoek DEC gelijk aan 40.
  • De totale oppervlakte is dan 32 + 50 + 40 + 40 = 162.