Als je een biljart tafel hebt van 99 op 101 en je schiet , vanuit de linkerbenedenhoek, een bal weg onder een hoek van 45°, waar komt die dan terecht. In één van de hoeken? En zo ja, na hoeveel botsingen? Lees meer hierover in volgend artikel.
Maandelijks archief: oktober 2016
Modulorekenen
De eindige rekenkunde, ook wel modulaire rekenkunde genoemd, wordt beschreven in het boek Disquisitiones Arithmeticae van Gauss, een buitengewoon invloedrijk werk uit 1801, toen de auteur nog maar vierentwintig jaar oud was.
Stel . Indien
en
bij deling door
dezelfde rest geven, d.w.z. indien
voor zekere
, heten
en
congruent modulo
. We noteren
mod m.Zo is bijvoorbeeld
mod 5,
mod 8 en
mod 13.
Enkele eigenschappen :
- Als
mod m en
mod m, dan is
mod m.
- Als
mod m en
mod m, dan is
mod m.
- Als
mod m en
, dan is
mod m.
- Als
mod m dan is voor elke
:
mod m.
- Als
mod m en
mod m, dan is
mod m.
Rekenen met congruenties lijkt erg op het rekenen met vergelijkingen. Er is echter een belangrijk verschil: uit mod m met
mod m hoeft niet te volgen dat
mod m. Zo is
mod 10 maar 12 is niet congruent met 7 modulo 10. In andere gevallen gaat het wel op. De voorwaarde waarop de vereenvoudiging met
wel kan, is dat
onderling ondeelbaar is met
.
Dus als mod m en ggd(c,m) = 1, dan is
mod m.
Als ggd(c,m) = d, dan volgt uit mod m dat
mod(
).
Rekent men modulo , dan zijn er
verschillende soorten getallen, al naar gelang ze verschillende resten geven bij deling door
. De verzameling van alle gehele getallen die eenzelfde rest geven heet een restklasse modulo
. Er zijn dus precies
verschillende restklassen modulo
. De restklasse die een getal
bevat, noteert men als
. Deze notatie is natuurlijk niet eenduidig bepaald, want als
mod m, stellen
en
dezelfde restklasse modulo
voor en omgekeerd.
Werken we modulo 4 dan is ,
,
,
.
Men kan in de verzameling restklassen modulo , genoteerd door
, een optelling en een vermenigvuldiging defini\”eren via
en
. Deze rekenregels lijken erg op de regels van optelling en vermenigvuldiging van gehele getallen.
Eigenschappen :
.
.
.
- Er is een unieke restklasse
met
, namelijk
.
Veronderstel dat we de rest willen bepalen van bij deling door 7. Omdat
mod 7 en
mod 7, moet
mod 7
mod 7
mod 7. Dus de rest bij deling van
door 7 is 2. We moeten daarvoor het product niet uitrekenen.
Vijfde internationale wiskunde olympiade
Munten wegen
We hebben 13 muntstukken, waarvan er eentje vals is. De enige manier waarop de valse muntzich van de echte munten onderscheidt is door zijn gewicht. We beschikken over een weegschaal zonder gewichtsaanduiding. Wat is het minimum aantal wegingen dat we moeten doen om te bepalen welke munt vals is? Gegeven een aantal munten waarvan er eentje vals is en gegeven zijn k wegingen. Je weet dat het valse muntstuk zwaarder is dan een echt muntstuk. Wat is maximum aantal muntstukken waaruit je zeker het valse kan identificeren? Wil je hierop het antwoord kennen, lees dan volgende tekst.