Sangaku 6

Geplaatst op 27 februari 2021 door admin

Antwoord

We zien een regelmatige zeshoek. Veronderstel dat de lengte van een zijde gelijk is aan 1. Zoek de afstand van A tot H.
We berekenen eerst $|AF|$ door gebruik te maken van de cosinusregel in driehoek AGF ( gelijkbenige driehoek met opstaande zijden gelijk aan 1 en een tophoek van $120^\circ$ . We vinden : $|AF|=\sqrt{3}$ .
We berekenen nu $|FH|$ in driehoek FEH. weer de cosinusregel : $1^2=x^2+x^2-2x^2\cos 120^÷circ$ . Hieruit volgt: $|AF|=\frac{1}{\sqrt{3}}$ .
Tenslotte berekenen we $|AH|$ in driehoek AHF. Cosinusregel met zijden $\sqrt{3}$ en $\frac{1}{\sqrt{3}}$ en ingesloten hoek $60^\circ$ . Dit geeft: $|AH|=\sqrt{\frac{7}{3}}$ .

Majorisatie ongelijkheid

Geplaatst op 21 februari 2021 door admin

Neem 2 geordende n-tallen $x_1,\cots,x_n$ en $y_1,\cdots,y_n$ . Als $x_1 \geq x_2\geq \cdots \geq x_n$ ,
$y_1\geq y_2\geq \cdots \geq y_n$ ,
$x_1\geq y_1$ ,
$x_1+x_2\geq y_1+y_2$ , …,
$x_1+x_2+\cdots+x_{n-1}\geq y_1+y_2+\cdots+y_{n-1}$ en $x_1+\cdots+x_n=y_1+\cdots+y_n$ , dan zeggen we dat het n-tal $(x_1,\cdots,x_n)$ het n-tal $(y_1,\cdots,y_n)$ majorizeert en we noteren $(x_1,\cdots,x_n)>(y_1,\cdots,y_n)$ .

Dit gaan we gebruiken in volgende stelling over ongelijkheden:

Als f een convexe functie is op een interval I en $(x_1,\cdots,x_n)>(y_1,\cdots,y_n)$ met $x_i,y_i \in I$ , dan zal

$f(x_1)+\cdots+f(x_n)\geq f(y_1)+\cdots+f(y_n)$

Als f strikt convex is krijg je een gelijkheid als en slechts als $\forall i: x_i=y_i$ .
Er is een gelijkaardig resultaat voor concave functies, als je de ongelijkheidstekens omdraait.
Deze stelling is een veralgemening van de ongelijkheid van Jensen, waarbij $(x_1,\cdots,x_n)> (x,\cdots,x)$ . Hierbij is x het rekenkundig gemiddelde van de getallen $x_i$ .

Een voorbeeld:

Vind de maximum waarde van $a^{12}+b^{12}+c^{12}$ als $-1\leq a,b,c \leq 1$ en $a+b+c=-\frac{1}{2}$ .

De functie $f(x)=x^{12}$ is convex op $\left[-1,1\right]$ , want $f''(x)=132x^{10}\geq 0$ op $\left[-1,1\right]$ .
Veronderstel $1\geq a \geq b\geq c\geq -1$ .
Dan is $(1,-\frac{1}{2},-1)>(a,b,c)$ , want eerst en vooral is $1\geq a$ . Verder is $-c\leq 1$ , dus is $1-\frac{1}{2} \geq -c-\frac{1}{2}=a+b$ .
Volgens de majorisatie ongelijkheid is dan $a^{12}+b^{12}+c^{12} \leq f(1)+f(-\frac{1}{2})+f(-1)=2+\frac{1}{2^{12}}$ .
De maximumwaarde van $2+\frac{1}{2^{12}}$ wordt bereikt voor $a=1$ , $b=-\frac{1}{2}$ en $c=-1$ .

Som 28

Geplaatst op 17 februari 2021 door admin

Op hoeveel manieren N kan je 28 schrijven als som van verschillende natuurlijke getallen ( $\neq 0$ )?

Noteer $S_k(n)$ als het aantal mogelijkheden om n te schrijven als som van k verschillende natuurlijke getallen, verschillend van 0.
Het is niet zo moeilijk om $S_2(28)$ uit te rekenen: 1+27,2+26,…13+15. Dus $S_2(28)=13$ .
Omdat $1+2+3+4+5+6+7=28$ is $S_7(28)=1$ . Bovendien zal voor $k>7: S_k(28)=0$ .
Berekenen we eerst $S_3(28)$ . Stel dus dat $x+y+z=28$ en neem $x<y<z$ . Als $x>1$ , dan is $x-1,y-1,z-1$ een drietal met som 25, dus een mogelijkheid uit $S_3(25)$ . Omgekeerd kan je ook met elke mogelijkheid van $S_3(25)$ , een mogelijkheid van $S_3(28)$ laten corresponderen met elementen groter dan 1.
Stel echter dat x=1, dan is $y-1,z-1$ een tweetal met som 25 en dus een mogelijkheid uit $S_2(25)$ .
Uit vorige redeneringen volgt $S_3(28)=S_3(25)+S_2(25)$ of algemener:
$S_3(n)=S_3(n-3)+S_2(n-3)$
Herhaaldelijk toepassen van die formule geeft: $S_3(28)=S_2(25)+S_2(22)+S_2(19)+S_2(16)+S_2(13)+S_2(10)+S_2(7)+S_2(4)$ .
Maar $S_2(n)=\frac{n}{2}-1$ als n even is en $S_2(n)=\frac{n-1}{2}$ als n oneven is. Hieruit volgt dat $S_3(28)=12+10+9+7+6+4+3+1=52$ .
Om $S_4(28)$ te berekenen gebruiken we een analoge formule $S_4(n)=S_3(n-4)+S_2(n-4)$ . Idem voor $S_5(28)$ en $S_6(28)$ .
Enkele berekingen staan in volgende tabel en zo vinden we
$N=13+52+84+57+14+1=221$

Harmonograaf

Geplaatst op 13 februari 2021 door admin

Deze tekening is gemaakt met een harmonograaf: een mechanisch toestel dat 2 onafhankelijke trillingen op de x-as en y-as uitzet in een grafiek.

De bekomen kromme kan gegeven worden door parametervergelijkingen van de vorm:

$x(t)=A_1\sin b_1te^{-c_1t}+A_2\cos b_2te^{-c_2t}$

$y(t)=A_3\sin b_3te^{-c_3t}+A_4\cos b_4te^{-c_4t}$

Elke term is een gedempte trilling van de vorm

Door de parameters $A_i,b_i,c_i$ te variëren krijgen we verschillende ‘mooie’ beeldjes.

Nootje 19

Geplaatst op 10 februari 2021 door admin

f(1) = -4; f(4) = -7; f'(1) = 1; f'(4) = -2 en f” is continu. Bereken:
$\int_1^4xf''(x) \text{ dx}$