Sangaku 6

Antwoord

  • We zien een regelmatige zeshoek. Veronderstel dat de lengte van een zijde gelijk is aan 1. Zoek de afstand van A tot H.
  • We berekenen eerst |AF| door gebruik te maken van de cosinusregel in driehoek AGF ( gelijkbenige driehoek met opstaande zijden gelijk aan 1 en een tophoek van 120^\circ. We vinden : |AF|=\sqrt{3}.
  • We berekenen  nu |FH| in driehoek FEH. weer de cosinusregel : 1^2=x^2+x^2-2x^2\cos 120^÷circ.  Hieruit volgt: |AF|=\frac{1}{\sqrt{3}}.
  • Tenslotte berekenen we |AH| in driehoek AHF. Cosinusregel met zijden \sqrt{3} en \frac{1}{\sqrt{3}} en ingesloten hoek 60^\circ. Dit geeft: |AH|=\sqrt{\frac{7}{3}}.

Majorisatie ongelijkheid

Neem 2 geordende n-tallen x_1,\cots,x_n en y_1,\cdots,y_n. Als x_1 \geq x_2\geq \cdots \geq x_n,
y_1\geq y_2\geq \cdots \geq y_n,
x_1\geq y_1,
x_1+x_2\geq y_1+y_2, …,
x_1+x_2+\cdots+x_{n-1}\geq y_1+y_2+\cdots+y_{n-1} en x_1+\cdots+x_n=y_1+\cdots+y_n, dan zeggen we dat het n-tal (x_1,\cdots,x_n) het n-tal (y_1,\cdots,y_n) majorizeert en we noteren (x_1,\cdots,x_n)>(y_1,\cdots,y_n).

Dit gaan we gebruiken in volgende stelling over ongelijkheden:

Als f een convexe functie is op een interval I en (x_1,\cdots,x_n)>(y_1,\cdots,y_n) met x_i,y_i \in I, dan zal

    \[f(x_1)+\cdots+f(x_n)\geq f(y_1)+\cdots+f(y_n)\]

  • Als f strikt convex is krijg je een gelijkheid als en slechts als \forall i: x_i=y_i.
  • Er is een gelijkaardig resultaat voor concave functies, als je de ongelijkheidstekens omdraait.
  • Deze stelling is een veralgemening van de ongelijkheid van Jensen, waarbij (x_1,\cdots,x_n)> (x,\cdots,x). Hierbij is x het rekenkundig gemiddelde van de getallen x_i.

Een voorbeeld:

Vind de maximum waarde van a^{12}+b^{12}+c^{12} als -1\leq a,b,c \leq 1 en a+b+c=-\frac{1}{2}.

  • De functie f(x)=x^{12} is convex op \left[-1,1\right], want f''(x)=132x^{10}\geq 0 op \left[-1,1\right].
  • Veronderstel 1\geq a \geq b\geq c\geq -1.
  • Dan is (1,-\frac{1}{2},-1)>(a,b,c), want eerst en vooral is 1\geq a. Verder is -c\leq 1, dus is 1-\frac{1}{2} \geq -c-\frac{1}{2}=a+b.
  • Volgens de majorisatie ongelijkheid is dan a^{12}+b^{12}+c^{12} \leq f(1)+f(-\frac{1}{2})+f(-1)=2+\frac{1}{2^{12}}.
  • De maximumwaarde van 2+\frac{1}{2^{12}} wordt bereikt voor a=1, b=-\frac{1}{2} en c=-1.

Som 28

Op hoeveel manieren N kan je 28  schrijven als som van verschillende natuurlijke getallen ( \neq 0)?

  • Noteer S_k(n) als het aantal mogelijkheden om n te schrijven als som van k verschillende natuurlijke getallen, verschillend van 0.
  • Het is niet zo  moeilijk om S_2(28) uit te rekenen: 1+27,2+26,…13+15. Dus S_2(28)=13.
  • Omdat 1+2+3+4+5+6+7=28 is S_7(28)=1. Bovendien zal voor k>7: S_k(28)=0.
  • Berekenen we eerst S_3(28). Stel dus dat x+y+z=28 en neem x<y<z. Als x>1, dan is x-1,y-1,z-1 een drietal met som 25, dus een mogelijkheid  uit S_3(25). Omgekeerd kan je ook met elke mogelijkheid van S_3(25), een mogelijkheid van S_3(28) laten corresponderen met elementen groter dan 1. 
  • Stel echter dat x=1, dan is  y-1,z-1 een tweetal met som  25 en dus een mogelijkheid uit S_2(25).
  • Uit vorige redeneringen  volgt S_3(28)=S_3(25)+S_2(25) of algemener:

        \[S_3(n)=S_3(n-3)+S_2(n-3)\]

  • Herhaaldelijk toepassen van die formule geeft: S_3(28)=S_2(25)+S_2(22)+S_2(19)+S_2(16)+S_2(13)+S_2(10)+S_2(7)+S_2(4).
  • Maar S_2(n)=\frac{n}{2}-1 als n even is en S_2(n)=\frac{n-1}{2} als n oneven is. Hieruit volgt dat S_3(28)=12+10+9+7+6+4+3+1=52.
  • Om S_4(28) te berekenen gebruiken we een analoge formule S_4(n)=S_3(n-4)+S_2(n-4). Idem voor S_5(28) en S_6(28).
  • Enkele berekingen staan in volgende tabel en zo vinden we

        \[N=13+52+84+57+14+1=221\]

 

Harmonograaf

Deze tekening is gemaakt met een harmonograaf: een mechanisch toestel dat 2 onafhankelijke trillingen op de x-as en y-as uitzet in een grafiek.

 

De bekomen kromme kan gegeven worden door parametervergelijkingen van de vorm: 

    \[x(t)=A_1\sin b_1te^{-c_1t}+A_2\cos b_2te^{-c_2t}\]

    \[y(t)=A_3\sin b_3te^{-c_3t}+A_4\cos b_4te^{-c_4t}\]

Elke term is een gedempte trilling van de vorm

Door de parametersA_i,b_i,c_i te variëren krijgen we verschillende ‘mooie’ beeldjes.