Delers en priemgetallen

De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder , van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk onder de verzameling van de natuurlijke getallen te verstaan de verzameling \mathbb{N}=\left\{1,2,\cdots \right\}, 0 wordt dan dus niet tot \mathbb{N} gerekend.

Een getal a is een deler van b als er een geheel getal n bestaat waarvoor geldt dat b=a.n. We noteren a|b . We noemen b dan een veelvoud van a.

Bij elk tweetal natuurlijke getallen a en b bestaan er gehele getallen q ( voor quotiënt ) en r ( voor rest ) zo , dat

    \[b=q.a+r \qquad \hbox {met} \qquad 0\leq r < a\]

Een natuurlijk getal, groter dan 1, dat geen delers heeft buiten 1 en zichzelf noemt men een priemgetal. Een getal, groter dan 1, dat geen priemgetal is heet een samengesteld getal. Het getal 1 is dus per definitie noch priem noch samengesteld.

Een paar eigenschappen :

  • Elke deler van a en b deelt ook elke lineaire combinatie ( ra+sb ) van a en b.
  • Er zijn oneindig veel priemgetallen.
  •  Als p een priemgetal is dat a.b deelt, dan deelt p ofwel a ofwel b.

priem


					

Cyclische en dihedrale groepen

Het is belangrijk te beschikken over bronnen van praktische voorbeelden van groepen. De meest eenvoudige groepen zijn enerzijds de cyclische groepen, dit zijn groepen voortgebracht door 1 element . Lees hierover in dit hoofdstuk.
cyclic

Een andere belangrijke categorie van voorbeelden vormen de dihedrale groepen. Dit zijn  groepen van symmetrieën van een regelmatige veelhoeken. Lees hier meer erover.
dihedral