Maandelijks archief: maart 2023

Nootje 32

Geplaatst op door


Antwoord

  • Neem de veelterm V(x) met a,b en c als wortels. 
  • Dan is V(x)=(x-a)(x-b)(x-c).
  • Uitgewerkt geeft dit: V(x)=x^3-S_1x^2+S_2x-S_3. Hierbij is S_1=a+b+c=1, S_2=ab+bc+ac=2 en S_3=abc=3.
  • Bijgevolg is V(x)=x^3-x^2+2x-3 met V(a)=V(b)=V(c)=0.
  • Hieruit volgt dat a^3=a^2-2a+3. En dus is a^4=a^3-2a^2+3a=-a^2+a+3. Er zijn gelijkaardige formules voor b en c.
  • Nu is a^4+b^4+c^4=-(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)+9=-((a+b+c)^2-2(ab+ac+bc))+10=13.

 

 

Som gelijk aan product

Geplaatst op door

Noteer alle niet-triviale n-de machtswortels uit 1 door e_i:i=2....n. Stel e_1=1. Vorm nu de uitdrukkingen a_i=1-e_i en bewijs dat

    \[\sum_{i=2}^na_i=\prod_{i=2}^na_i\]

  • z^n-1=(z-1)(z-e_2)(z-e_3)...(z-z_n)=(z-1)(z^{n-1}+...+z+1)
  • Dus is (z-e_2)(z-e_3)...(z-z_n)=z^{n-1}+...+z+1
  • Stel hierin z=1 en je vindt dat het rechterlid uit de te bewijzen formule gelijk is aan n.
  • Verder is het linkerlid gegeven door \sum_{i=2}^na_i=\sum_{i=1}^na_i= \sum_{i=1}^n1-\sum_{i=1}^ne_i=n-0=n.
  • Bij de laatste stap maken we gebruik van de eigenschap dat de som van de wortels van z^n-1 gelijk is aan de coëfficiënt van de op één na hoogste graadsterm.
  • Hiermee is het gestelde bewezen.

 

 

Het twee kannen probleem

Geplaatst op door

In dit  artikel bespreken we problemen waarin men beschikt over 2 lege kannen, zonder maatstreepjes. Verder is er een kraan waarmee men de kannen kan vullen en een gootsteen waarin men de kannen kan leeggieten. We aanvaarden volgende handelingen : Een kan volledig leeggieten, een kan helemaal vullen met de kraan, water van de ene kan overhevelen in de andere kan totdat de ene helemaal leeg is of de andere helemaal vol. Je vindt ook een Python programma om het probleem op te lossen