Koning Narmer

Een koning die volgens de hiërogliefen Narmer heet, maar die ook bekend staat als Menes, verenigt rond 3000 B.C. de beide Egyptische koninkrijken Boven- en Beneden-Egypte tot één staat. Met deze koning begint de eerste dynastie van het Verenigde Egyptische koninkrijk.

Om het prestige van zijn overwinning kracht bij te zetten heeft Narmer volgend palet laten maken waarop zijn overwinning op het noorden wordt uitgebeeld.

Hij  draagt hierop nog de witte kroon van Boven (upper) Egypte.

De koning is de belichaming van goddelijke macht op aarde. Narmer haalt dan ook als de hemelgod Horus zijn overwinning op Beneden Egypte en in diens tempel wordt het palet opgesteld.

 

Nootje 32


Antwoord

  • Neem de veelterm V(x) met a,b en c als wortels. 
  • Dan is V(x)=(x-a)(x-b)(x-c).
  • Uitgewerkt geeft dit: V(x)=x^3-S_1x^2+S_2x-S_3. Hierbij is S_1=a+b+c=1, S_2=ab+bc+ac=2 en S_3=abc=3.
  • Bijgevolg is V(x)=x^3-x^2+2x-3 met V(a)=V(b)=V(c)=0.
  • Hieruit volgt dat a^3=a^2-2a+3. En dus is a^4=a^3-2a^2+3a=-a^2+a+3. Er zijn gelijkaardige formules voor b en c.
  • Nu is a^4+b^4+c^4=-(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)+9=-((a+b+c)^2-2(ab+ac+bc))+10=13.

 

 

Som gelijk aan product

Noteer alle niet-triviale n-de machtswortels uit 1 door e_i:i=2....n. Stel e_1=1. Vorm nu de uitdrukkingen a_i=1-e_i en bewijs dat

    \[\sum_{i=2}^na_i=\prod_{i=2}^na_i\]

  • z^n-1=(z-1)(z-e_2)(z-e_3)...(z-z_n)=(z-1)(z^{n-1}+...+z+1)
  • Dus is (z-e_2)(z-e_3)...(z-z_n)=z^{n-1}+...+z+1
  • Stel hierin z=1 en je vindt dat het rechterlid uit de te bewijzen formule gelijk is aan n.
  • Verder is het linkerlid gegeven door \sum_{i=2}^na_i=\sum_{i=1}^na_i= \sum_{i=1}^n1-\sum_{i=1}^ne_i=n-0=n.
  • Bij de laatste stap maken we gebruik van de eigenschap dat de som van de wortels van z^n-1 gelijk is aan de coëfficiënt van de op één na hoogste graadsterm.
  • Hiermee is het gestelde bewezen.