Tag archieven: geheugenverlies

De geometrische verdeling

Geplaatst op door

Veronderstel dat we n onafhankelijke uitvoeringen doen van eenzelfde Bernoulli experiment met succeskans p. Bij de binomiaalverdeling stellen we ons de vraag hoeveel keer succes hebben we. Nu stellen we volgende vraag: na hoeveel uitvoeringen boeken we voor het eerst succes?  

Bijvoorbeeld: hoeveel keer moet de gokker roulette spelen om voor het eerst te winnen?

X is het tijdstip van het eerste succes. X is een stochast met waarden 1,2,…

    \[\text{P(X=k)}=q^{k-1}p\]

We zeggen dat X een geometrische verdeling heeft met parameter p. Het is inderdaad een kansverdeling want de som van alle kansen is 1.

Een voorbeeld van een geometrische verdeling met p=0,10:

Het gemiddelde van zo een geometrische verdeling is \frac{1}{p}. Een belangrijke eigenschap van de geometrische verdeling is het geheugenverlies: ze vergeet het verleden. Als we weten dat uitvoeringen 1 tot en met i mislukkingen waren, dan heeft de wachttijd vanaf die i-de mislukking tot het eerste succes, juist dezelfde verdeling als de wachttijd vanaf het begin. Met andere woorden de verdeling van die wachttijd tot het eerste succes hangt helemaal niet af van het aantal mislukkingen dat tot dan toe gebeurd is. In symbolen:

    \[P(X>i+j|X>i)=P(X>j)\]