Symmetrische eenheden van ℤC₅

Geplaatst op door

Voor C_5=\langle g\rangle splitst de rationale groepsalgebra als

    \[ \mathbb QC_5\cong\mathbb Q\oplus\mathbb Q(\zeta_5). \]

Voor de symmetrische elementen wordt de cyclotomische component vervangen door haar maximale reële deelveld:

    \[ \mathbb QC_5^+\cong\mathbb Q\oplus\mathbb Q(\alpha), \qquad \alpha=\zeta_5+\zeta_5^{-1}, \qquad \alpha^2+\alpha-1=0. \]

De integrale orde. In \mathbb Z\oplus\mathbb Z[\alpha] komt \mathbb ZC_5^+ overeen met

    \[ A=\bigl\{(m,u+v\alpha)\mid m\equiv u+2v\pmod 5\bigr\}. \]

De componentorde heeft eenhedengroep

    \[ \mathbb Z[\alpha]^\times=\{\pm(1+\alpha)^n\mid n\in\mathbb Z\}. \]

De torsievrije rang is 1. Voor genormaliseerde symmetrische eenheden moet de triviale component gelijk zijn aan 1. Daardoor selecteert de congruentie de deelgroep

    \[ H=\bigl\{u+v\alpha\in\mathbb Z[\alpha]^\times\mid u+2v\equiv1\pmod5\bigr\}. \]

In plaats van voor iedere macht van 1+\alpha de congruenties opnieuw op te lossen, coderen we de voorwaarde door

    \[ \operatorname{ev}_2:\mathbb Z[\alpha]^\times\longrightarrow\mathbb F_5^\times, \qquad u+v\alpha\longmapsto u+2v\pmod5. \]

Zo wordt het zoeken naar H=\operatorname{ev}_2^{-1}(1) een berekening in de eindige groep \mathbb F_5^\times. Men vindt

    \[ H=\langle-2-\alpha\rangle, \qquad U_1(\mathbb ZC_5)^+\cong H. \]

Structuurfiguur voor de congruentiedeelgroep H bij C5

De generator -2-\alpha heeft onder \rho_2^{-1} als inverse beeld de trinomiale eenheid

    \[ -1+g^2+g^{-2}. \]

Eindresultaat

    \[ U_1(\mathbb ZC_5)^+=\langle-1+g^2+g^{-2}\rangle. \]

De inverse trinomiale eenheid -1+g+g^{-1} genereert dezelfde cyclische groep.

Volledige uitwerking (PDF)
Computationele controle (PDF)

Wanneer belandt de rij op een kwadraat?

Geplaatst op door

Een rij groeit telkens met het gehele deel van de vierkantswortel van haar laatste term. Door eerst veel termen uit te rekenen, wordt zichtbaar waarom sommige kwadraten wel worden geraakt en andere net worden overgeslagen. Daarna bewijzen we het patroon stap voor stap.

Infobox

  • Onderwerpen: Rijen, getaltheorie
  • Probleemoplossingstechnieken: Beginwaarden berekenen, regelmaat zoeken, werken met intervallen, hulpvariabele invoeren, inductie
  • Moeilijkheid: Moeilijk
  • Competitie: Indian National Mathematical Olympiad, finale
  • Jaar: 2026
  • Opgavenummer: 1

Opgave

Laat x_1,x_2,x_3,\ldots een rij van positieve gehele getallen zijn, als volgt gedefinieerd: x_1=1 en voor elke n\geq 1 geldt

    \[ x_{n+1}=x_n+\lfloor\sqrt{x_n}\rfloor. \]

Bepaal alle positieve gehele getallen m waarvoor x_n=m^2 voor een zekere n\geq 1. Hierbij stelt \lfloor x\rfloor voor elk reëel getal x het grootste gehele getal voor dat kleiner dan of gelijk aan x is.

Eerste idee

Tussen k^2 en (k+1)^2 neemt de rij telkens met k toe. Om precies op k^2 te belanden, moet daarom eerst de term k^2-(k-1) voorkomen. De beginwaarden tonen dat dit bij k=1,2,4,8,16,\ldots lukt. We meten vervolgens bij elk kwadraat hoeveel de rij dat kwadraat heeft overschreden.

Observatieronde

De eerste termen

We berekenen eerst een stuk van de rij. De kwadraten zijn rood weergegeven:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 13, 16, 20, 24, 28, 33, 38, 44, 50, 57, 64, 72, 80, 88, 97, 106, 116, 126, 137, 148, 160, 172, 185, 198, 212, 226, 241, 256, 272, 288, 304, 321, 338, 356, 374, 393, 412, 432, 452, 473, 494, 516, 538, 561, 584, 608, 632, 657, 682, 708, 734, 761, 788, 816, 844, 873, 902, 932, 962, 993, 1024, \ldots

De eerste kwadraten in de rij zijn

    \[ 1=1^2,\qquad4=2^2,\qquad16=4^2,\qquad64=8^2,\qquad256=16^2,\qquad1024=32^2. \]

Eerste vaststellingen

  1. Tussen twee opeenvolgende kwadraten is de stapgrootte constant. Als k^2\leq x_n<(k+1)^2, neemt de rij telkens met k toe. Tussen 16 en 25 zien we 16,20,24,28. Tussen 25 en 36 zien we 28,33,38.

  2. Om op k^2 te belanden, moet de juiste term vlak ervoor voorkomen. Die term is k^2-(k-1). Voor 16 is dat 13, en die term komt voor. Voor 25 zou 21 moeten voorkomen, maar de rij gaat van 20 naar 24 en dan naar 28. Voor 36 zou 31 nodig zijn, maar de rij gaat van 28 naar 33 en dan naar 38.

  3. Bij machten van 2 lukt dit, bij de andere waarden niet. Voor k=4 staat 13=16-3 in de rij en voor k=8 staat 57=64-7 in de rij. Voor k=5,6,7 ontbreken respectievelijk 21,31,43, zodat 25,36,49 niet voorkomen.

Nu bewijzen we deze waarnemingen.

Uitwerking

Stap 1: de rij bereikt elk interval tussen twee kwadraten

De rij is strikt stijgend, want elke stap is minstens 1. Ze is daardoor ook onbegrensd.

Neem k\geq2 en kijk naar de eerste rijterm die minstens k^2 is. De term vlak ervoor is kleiner dan k^2, zodat de stap vanuit die term hoogstens k-1 bedraagt. De eerste term die minstens k^2 is, is dus hoogstens

    \[ (k^2-1)+(k-1)=k^2+k-2<(k+1)^2. \]

Er ligt bijgevolg minstens één rijterm in elk interval [k^2,(k+1)^2).

Stap 2: binnen zo’n interval zijn alle stappen gelijk

Als k^2\leq x_n<(k+1)^2, dan is k\leq\sqrt{x_n}<k+1. Dus \lfloor\sqrt{x_n}\rfloor=k, en x_{n+1}=x_n+k.

Stap 3: wanneer wordt een kwadraat bereikt?

De term vlak vóór k^2 ligt volgens stap 1 in [(k-1)^2,k^2). Volgens stap 2 is de volgende stap dan k-1. Daarom kan k^2 alleen worden bereikt vanuit k^2-(k-1). Omgekeerd: als deze term voorkomt, is de volgende term inderdaad k^2.

Stap 4: de eerste term na elk kwadraat volgen

Schrijf de eerste rijterm in [k^2,(k+1)^2) als k^2+a_k. De waarde a_k meet hoeveel de rij k^2 heeft overschreden. We hebben a_1=0, en voor k\geq2

    \[ 0\leq a_k\leq k-2. \]

Er zijn twee gevallen.

Geval 1: a_k=0. Vanuit k^2 zijn drie stappen van grootte k nodig om voor het eerst minstens (k+1)^2=k^2+2k+1 te bereiken:

    \[ k^2,\quad k^2+k,\quad k^2+2k,\quad k^2+3k. \]

Omdat k^2+3k=(k+1)^2+(k-1), geldt a_{k+1}=k-1. Zo krijgen we vanuit 16 de termen 20,24,28, en dus a_5=3.

Geval 2: a_k>0. Omdat 1\leq a_k\leq k-2, is één stap niet genoeg om (k+1)^2 te bereiken, maar zijn twee stappen wel genoeg. De eerste term in het volgende interval is

    \[ k^2+a_k+2k=(k+1)^2+(a_k-1). \]

Daarom geldt a_{k+1}=a_k-1. In het voorbeeld:

    \[ a_5=3,\qquad a_6=2,\qquad a_7=1,\qquad a_8=0. \]

Dit correspondeert met 28=25+3, 38=36+2, 50=49+1 en 64=64+0. Samengevat:

    \[ a_{k+1}=\begin{cases} k-1,&\text{als }a_k=0,\\ a_k-1,&\text{als }a_k>0. \end{cases} \]

Stap 5: de nulwaarden zijn precies de machten van twee

We bewijzen met inductie dat a_{2^r}=0 voor elk geheel getal r\geq0, en dat tussen 2^r en 2^{r+1} geen andere nulwaarde ligt.

We beginnen met a_1=0. Stel dat a_{2^r}=0. Dan is a_{2^r+1}=2^r-1. Daarna daalt de waarde bij elke volgende stap met 1, zolang ze positief is. Voor 2^r+1\leq k\leq2^{r+1} geldt dus

    \[ a_k=2^{r+1}-k. \]

Deze waarde is positief als 2^r<k<2^{r+1}, en wordt voor het eerst opnieuw 0 als k=2^{r+1}. Daarmee is de inductie voltooid.

De rij bevat k^2 precies wanneer a_k=0. Dat gebeurt exact voor machten van 2. Alle gezochte positieve gehele getallen zijn daarom

    \[ \boxed{m=2^r\quad(r=0,1,2,\ldots)}. \]

Probleemoplossingstechnieken

  • Beginwaarden berekenen: De eerste termen maken zichtbaar welke kwadraten voorkomen.
  • Regelmaat zoeken: De stapgrootte blijft tussen opeenvolgende kwadraten constant.
  • Werken met intervallen: De rij wordt verdeeld in stukken met een vaste stapgrootte.
  • Hulpvariabele invoeren: De overschrijding a_k meet de afstand tot het vorige kwadraat.
  • Inductie: De nulwaarden zijn precies 1,2,4,8,\ldots.

Bron

40th Indian National Mathematical Olympiad, 18 januari 2026. © Indian National Mathematical Olympiad.

Project Euler 007 – Het 10.001ste priemgetal

Geplaatst op door

Probleemstelling

De eerste zes priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11 en 13. Het zesde priemgetal is dus 13.

Bepaal het 10.001ste priemgetal.

Eerste analyse

We onderzoeken de getallen in stijgende volgorde, testen welke getallen priem zijn en houden bij hoeveel priemgetallen we hebben gevonden. Zodra de teller 10.001 bereikt, kennen we het antwoord.

Een getal n is priem wanneer het groter is dan 1 en geen positieve delers behalve 1 en zichzelf heeft. Bij de controle hoeven we mogelijke delers slechts tot en met \sqrt n te testen.

Gekozen programmeeraanpak

De oplossing gebruikt de twee functies priem(n) en nde_priem(n).

  • priem(n) gaat na of een gegeven getal priem is. De functie behandelt 2 afzonderlijk, verwerpt andere even getallen en test daarna alleen oneven delers.
  • nde_priem(n) doorloopt de oneven kandidaten in stijgende volgorde, roept priem aan en stopt zodra het gevraagde aantal priemgetallen gevonden is.

Algoritme

  1. Tel 2 als het eerste priemgetal.
  2. Onderzoek achtereenvolgens de oneven getallen 3, 5, 7, enzovoort.
  3. Test voor elke kandidaat de oneven delers tot en met zijn vierkantswortel.
  4. Verhoog de teller wanneer de kandidaat priem is.
  5. Stop zodra de teller 10.001 bedraagt.

Python-programma

import time
from math import isqrt


def priem(n: int) -> bool:
    """Ga na of n een priemgetal is."""
    if n < 2:
        return False
    if n == 2:
        return True
    if n % 2 == 0:
        return False

    # Een samengesteld getal heeft minstens een deler tot en met sqrt(n).
    for deler in range(3, isqrt(n) + 1, 2):
        if n % deler == 0:
            return False

    return True


def nde_priem(n: int) -> int:
    """Bereken het n-de priemgetal, waarbij 2 het eerste is."""
    if n < 1:
        raise ValueError("n moet minstens 1 zijn")
    if n == 1:
        return 2

    aantal_priemgetallen = 1
    kandidaat = 1

    # Na 2 hoeven alleen oneven kandidaten onderzocht te worden.
    while aantal_priemgetallen < n:
        kandidaat += 2
        if priem(kandidaat):
            aantal_priemgetallen += 1

    return kandidaat


# Start van de tijdsmeting
starttijd = time.perf_counter()


# Bereken het 10.001ste priemgetal
antwoord = nde_priem(10_001)


# Stop de tijdsmeting
eindtijd = time.perf_counter()
uitvoeringstijd = eindtijd - starttijd


# Toon het resultaat
print(f"Het 10.001ste priemgetal is: {antwoord}")
print(f"Uitvoeringstijd: {uitvoeringstijd:.8f} seconden")

De eenvoudige bovengrens voor de tijdscomplexiteit is O(p_n\sqrt{p_n}), waarbij p_n het n-de priemgetal is. Het geheugengebruik is O(1).

Wiskundige benadering

De priemgetal-telfunctie \pi(x) telt hoeveel priemgetallen kleiner dan of gelijk aan x zijn. Volgens de priemgetalstelling geldt

    \[\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}.\]

Voor de omgekeerde vraag kunnen we gebruiken dat

    \[p_n\approx n(\ln n+\ln\ln n-1).\]

Voor n=10\,001 geeft dit ongeveer 104.318. We verwachten het antwoord dus in de buurt van honderdduizend. Dit is een schatting; de exacte primaliteitstesten van het programma blijven nodig.

Resultaat

Het 10.001ste priemgetal is

    \[\boxed{104743}.\]

Uitvoeringstijd: 0,05393281 seconden.

Besluit

De opsplitsing in priem(n) en nde_priem(n) levert een duidelijke en herbruikbare oplossing. Proefdeling is voor deze opgave ruim snel genoeg, terwijl de priemgetalstelling vooraf een goede schatting van de grootteorde geeft.

De groepsring F3C2

Geplaatst op door

De groepsring R=\mathbb{F}_3C_2 is een klein semisimpel voorbeeld waarin twee gelijke veldcomponenten zowel de idealen als de tripartiete vorm van de unitaire Cayleygraaf verklaren.

De negen elementen

Neem C_2=\langle g\mid g^2=1\rangle. Ieder element heeft de vorm a+bg, met a,b\in\mathbb{F}_3. Dus

    \[R=\mathbb{F}_3C_2 =\{0,1,2,g,2g,1+g,1+2g,2+g,2+2g\}.\]

Omdat \operatorname{char}(\mathbb{F}_3)=3 de groepsorde |C_2|=2 niet deelt, is de stelling van Maschke van toepassing. De ring is dus semisimpel.

Eenheden en bijzondere elementen

De vier eenheden zijn

    \[U(R)=\{1,2,g,2g\}\cong C_2\times C_2.\]

Soort Elementen Opmerking
Eenheden 1, 2, g, 2g Iedere niet-triviale eenheid heeft orde 2.
Niet-triviale nuldelers 1+g, 1+2g, 2+g, 2+2g Bijvoorbeeld (1+g)(1+2g)=0.
Niet-triviale idempotenten 2+g, 2+2g Deze bepalen de twee productcomponenten.
Niet-triviale nilpotenten geen De semisimpele productring is gereduceerd.

Het Jacobsonradicaal is triviaal:

    \[J(R)=\{0\}.\]

Augmentatie-ideaal en idealen

De augmentatie stuurt a+bg naar a+b. Haar kern is

    \[I_1=I(R)=\{0,1+2g,2+g\}=(1+2g)\cong\mathbb{F}_3.\]

Daarnaast is er het ideaal

    \[I_2=\{0,1+g,2+2g\}=(1+g)\cong\mathbb{F}_3.\]

Dit zijn de enige twee niet-triviale idealen. Ze zijn beide maximaal en voldoen aan

    \[I_1\cap I_2=(0),\qquad I_1+I_2=R.\]

Het diamantvormige idealenrooster van F3C2 met de twee maximale idealen I1 en I2.
Het idealenrooster weerspiegelt de twee veldcomponenten I₁ ≅ F₃ en I₂ ≅ F₃.

De productstructuur

Omdat

    \[x^2-1=(x-1)(x+1)\]

een product van twee verschillende lineaire factoren in \mathbb{F}_3[x] is, geeft de Chinese reststelling

    \[\mathbb{F}_3C_2 \cong \mathbb{F}_3[x]/(x^2-1) \cong \mathbb{F}_3\times\mathbb{F}_3.\]

Een expliciet isomorfisme is

    \[\Phi(a+bg)=(a+b,a-b).\]

De eerste coördinaat is evaluatie in g=1 en dus de augmentatie; de tweede is evaluatie in g=-1=2. Het inverse is

    \[ \begin{aligned} \Phi^{-1}(r,s) &=2(r+s)+2(r-s)g. \end{aligned} \]

De twee maximale idealen zijn precies de kernen van de projecties op de twee veldcomponenten. Daardoor worden zowel het idealenrooster als de bijzondere elementen structureel verklaard.

De unitaire Cayleygraaf

De unitaire Cayleygraaf heeft de negen ringelementen als toppen. Twee verschillende toppen x en y zijn verbonden wanneer x-y een eenheid is. Omdat |U(R)|=4, heeft iedere top graad 4 en zijn er volgens de handshakingformule 9\cdot4/2=18 bogen.

De unitaire Cayleygraaf van F3C2 met negen gelabelde ringelementen.
De unitaire Cayleygraaf van F₃C₂ met haar negen ringelementen.

Waarom de graaf tripartiet is

Schrijf \Phi(x)=(\lambda,\mu) en \Phi(y)=(\lambda',\mu'). In een product van velden is een paar precies dan een eenheid wanneer beide coördinaten niet nul zijn. Daarom

    \[ \begin{aligned} x\sim y \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda&\ne\lambda'\\ \text{en}\quad \mu&\ne\mu'. \end{aligned} \]

De eerste coördinaat verdeelt de toppen in drie lagen van elk drie elementen. Binnen iedere laag zijn er geen bogen. Een top is in elk van de twee andere lagen verbonden met precies twee toppen; alleen de top met dezelfde tweede coördinaat ontbreekt. Bijgevolg

    \[\operatorname{Cay}(R)\cong K_3\times K_3,\]

waar \times het directe, ook tensorproduct genoemde, product van grafen voorstelt. De graaf is dus 3-partiet, maar niet volledig 3-partiet. Zij is niet bipartiet: de toppen 0, 1 en 2 vormen bijvoorbeeld een driehoek.

De unitaire Cayleygraaf van F3C2 verdeeld in drie gekleurde lagen volgens de eerste productcoördinaat.
De drie lagen tonen de vezels van de eerste F₃-coördinaat; binnen een laag zijn er geen bogen.

Diameter en sommen van eenheden

De graaf is samenhangend en heeft diameter 2. De eenheden liggen op afstand 1 van 0; ieder ander niet-nul element is een som van twee eenheden. Ook 0=1+2. De ring heeft dus de 2-som-eigenschap.

Omdat J(R)=0, is R/J(R)\cong R. De tripartiete structuur komt hier niet voort uit radicale nevenklassen, maar uit de vezels van een veldcomponent in de semisimpele productontbinding.

De Cayleygraaf maakt vooral de twee veldcomponenten zichtbaar: de productcoördinaten verklaren zowel de graad als de tripartitie. Het triviale Jacobsonradicaal verklaart waarom geen kleinere quotiëntgraaf achter deze structuur ligt.

Samenvatting

GroepsringR=\mathbb{F}_3C_2, |R|=9
Elementena+bg, met a,b\in\mathbb{F}_3
EenhedenU(R)=\{1,2,g,2g\}\cong C_2\times C_2
JacobsonradicaalJ(R)=0
IdealenTwee niet-triviale maximale idealen, beide isomorf met \mathbb{F}_3
RingtypeSemisimpel
StructuurR\cong\mathbb{F}_3\times\mathbb{F}_3
Cayleygraaf\operatorname{Cay}(R)\cong K_3\times K_3
Toppen en graad9 toppen, 4-regulier
TripartietJa, maar niet volledig 3-partiet
Diameter2
Sommen van eenheden2-som-eigenschap

De groepsring F2C3

Geplaatst op door

De groepsring \mathbb{F}_2C_3 is het eerste semisimpele voorbeeld in deze reeks. Haar acht elementen laten zien hoe een product van twee eindige velden tegelijk de idealen en de vorm van de unitaire Cayleygraaf bepaalt.

De acht elementen

Neem C_3=\langle g\mid g^3=1\rangle. Ieder element heeft de vorm a+bg+cg^2, met a,b,c\in\mathbb{F}_2. Bijgevolg

    \[R=\mathbb{F}_2C_3 =\{0,1,g,g^2,1+g,1+g^2,g+g^2,1+g+g^2\}.\]

Omdat \operatorname{char}(\mathbb{F}_2)=2 de groepsorde |C_3|=3 niet deelt, is de stelling van Maschke van toepassing. De ring is dus semisimpel.

Eenheden, nuldelers en idempotenten

De drie groepselementen zijn precies de eenheden:

    \[U(R)=\{1,g,g^2\}\cong C_3.\]

De vier niet-triviale nuldelers zijn 1+g, 1+g^2, g+g^2 en 1+g+g^2. Bijvoorbeeld

    \[(1+g)(1+g+g^2)=(1+g^2)(1+g+g^2)=0.\]

Soort Elementen Opmerking
Eenheden 1, g, g^2 U(R)\cong C_3.
Niet-triviale nuldelers 1+g, 1+g^2, g+g^2, 1+g+g^2 Dit zijn precies de vier niet-triviale nuldelers.
Idempotenten 0, 1, g+g^2, 1+g+g^2 De twee niet-triviale idempotenten bepalen de productcomponenten.
Nilpotenten alleen 0 Er zijn geen niet-triviale nilpotente elementen.

Augmentatie-ideaal, Jacobsonradicaal en idealen

De augmentatie stuurt a+bg+cg^2 naar a+b+c. Haar kern is

    \[I(R)=\{0,1+g,1+g^2,g+g^2\}=(1+g).\]

Dit ideaal is, met eenheidselement g+g^2, een veld met vier elementen en dus isomorf met \mathbb{F}_4. Daarnaast is er het ideaal

    \[A=\{0,1+g+g^2\}=(1+g+g^2)\cong\mathbb{F}_2.\]

Dit zijn de twee enige niet-triviale idealen. Ze zijn beide maximaal en voldoen aan

    \[A\cap I(R)=(0),\qquad A+I(R)=R.\]

Omdat de ring semisimpel is, is haar Jacobsonradicaal triviaal:

    \[J(R)=\{0\}.\]

Het diamantvormige idealenrooster van F2C3, met de maximale idealen A en I tussen het nulideaal en de volledige ring.
Het idealenrooster weerspiegelt de twee veldcomponenten A ≅ F₂ en I(R) ≅ F₄.

De semisimpele productstructuur

De elementen

    \[e_1=1+g+g^2,\qquad e_2=g+g^2\]

zijn primitieve orthogonale idempotenten: e_1+e_2=1 en e_1e_2=0. Daarom

    \[R=Re_1\oplus Re_2, \qquad Re_1=A\cong\mathbb{F}_2, \qquad Re_2=I(R)\cong\mathbb{F}_4.\]

Dezelfde ontbinding volgt uit de Chinese reststelling. Er geldt

    \[R\cong\mathbb{F}_2[x]/(x^3-1), \qquad x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).\]

De factor x^2+x+1 is irreducibel over \mathbb{F}_2. Bijgevolg

    \[\mathbb{F}_2C_3\cong \mathbb{F}_2[x]/(x-1)\times \mathbb{F}_2[x]/(x^2+x+1) \cong\mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_4.\]

De ring is semisimpel maar geen veld: haar twee maximale idealen zijn precies de kernen van de projecties op de twee veldcomponenten.

Het expliciete isomorfisme

Neem \mathbb{F}_4=\mathbb{F}_2(\alpha) met \alpha^2+\alpha+1=0. Het isomorfisme

    \[\Phi:R\longrightarrow\mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_4\]

wordt gegeven door

    \[ \begin{aligned} \Phi(a+bg+cg^2) &= (a+b+c,\;a+b\alpha+c\alpha^2)\\ &= (a+b+c,\;(a+c)+(b+c)\alpha). \end{aligned} \]

De eerste coördinaat is de evaluatie in g=1 en dus de augmentatie. De tweede coördinaat komt overeen met g\mapsto\alpha. Voor \lambda,r,s\in\mathbb{F}_2 is het inverse expliciet:

    \[\Phi^{-1}(\lambda,r+s\alpha) =(\lambda+s)+(\lambda+r)g+(\lambda+r+s)g^2.\]

De unitaire Cayleygraaf

De unitaire Cayleygraaf heeft de acht ringelementen als toppen. Twee verschillende toppen x en y zijn verbonden wanneer x-y een eenheid is. Omdat U(R)=\{1,g,g^2\}, heeft iedere top graad 3. De handshakingformule geeft 8\cdot3/2=12 bogen.

Deze graaf is de driedimensionale kubusgraaf:

    \[\operatorname{Cay}(R)\cong Q_3.\]

De unitaire Cayleygraaf van F2C3 getekend als de kubusgraaf Q3, met de twee bipartitieklassen in verschillende kleuren.
De unitaire Cayleygraaf van F₂C₃ als kubusgraaf Q₃.

Waarom Q_3\cong K_{4,4}-M?

Schrijf \Phi(x)=(\lambda,\mu) en \Phi(y)=(\lambda',\mu'). Dan zijn x en y precies dan adjacent wanneer

    \[(\lambda-\lambda',\mu-\mu')\]

een eenheid van \mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_4 is. In een product van velden is dat precies zo wanneer beide coördinaten niet nul zijn. Dus

    \[x\sim y \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda\ne\lambda'\ \text{ en }\ \mu\ne\mu'.\]

De eerste coördinaat bepaalt de twee bipartitieklassen

    \[I(R)=\Phi^{-1}(\{0\}\times\mathbb{F}_4), \qquad 1+I(R)=\Phi^{-1}(\{1\}\times\mathbb{F}_4).\]

Tussen deze twee klassen zou de volledige bipartiete graaf K_{4,4} ontstaan, behalve dat de vier paren met gelijke tweede \mathbb{F}_4-coördinaat niet verbonden zijn. Een perfecte matching is een verzameling onderling knoopdisjuncte bogen waarin iedere knoop precies één keer voorkomt. De vier ontbrekende bogen vormen precies zo’n perfecte matching M. Daarom

    \[\operatorname{Cay}(R)\cong Q_3\cong K_{4,4}-M.\]

K4,4 met twee gekleurde bipartitieklassen. De twaalf donkere bogen vormen Q3; vier dikke rode gestreepte bogen met gelijke F4-coördinaat vormen de te verwijderen perfecte matching M.
De rode gestreepte bogen vormen de perfecte matching M en behoren niet tot de unitaire Cayleygraaf. Na verwijdering uit K₄,₄ blijft Q₃ over.
De productstructuur van de Cayleygraaf van F2C3, met links I en rechts 1 plus I en de tweede F4-coördinaten tussen beide klassen.
De productontbinding maakt zichtbaar waarom gelijke tweede F₄-coördinaten geen boog opleveren.

Diameter en sommen van eenheden

De graaf is samenhangend en heeft diameter 3. De elementen 1+g, 1+g^2 en g+g^2 zijn sommen van twee eenheden. Het element 1+g+g^2 is de som van de drie eenheden 1, g en g^2.

Voor dit laatste element zijn werkelijk drie eenheden nodig. Het is zelf geen eenheid, terwijl de som van twee eenheden onder \Phi eerste coördinaat 1+1=0 heeft. Maar \Phi(1+g+g^2)=(1,0). Bijgevolg heeft R de 3-som-eigenschap, maar niet de 2-som-eigenschap.

De Cayleygraaf toont hier niet een Jacobsonradicaal — dat is immers nul — maar de twee veldcomponenten van de semisimpele ontbinding. De eerste coördinaat geeft de bipartitie; de tweede coördinaat bepaalt precies welke vier bogen ontbreken.

Samenvatting

GroepsringR=\mathbb{F}_2C_3, |R|=8
Elementena+bg+cg^2, met a,b,c\in\mathbb{F}_2
EenhedenU(R)=\{1,g,g^2\}\cong C_3
JacobsonradicaalJ(R)=0
IdealenTwee niet-triviale maximale idealen: A\cong\mathbb{F}_2 en I(R)\cong\mathbb{F}_4
RingtypeSemisimpel
StructuurR\cong\mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_4
Toppen8
Regulier3-regulier, met graad 3=|U(R)|
BipartietJa, maar niet volledig bipartiet
Cayleygraaf\operatorname{Cay}(R)\cong Q_3\cong K_{4,4}-M
Diameter3
Sommen van eenheden3-som-eigenschap, maar niet de 2-som-eigenschap