De Reconquista

De Reconquista is de naam die historici geven aan het langdurige proces waarbij christelijke rijken op het Iberisch Schiereiland stap voor stap gebieden heroverden die sinds de 8e eeuw onder islamitisch bestuur stonden. Deze periode loopt ruwweg van 711, het jaar van de islamitische verovering, tot 1492, met de val van Granada. Hoewel het woord “herovering” een aaneengesloten strijd suggereert, ging het in werkelijkheid om een complexe geschiedenis van oorlog, diplomatie, bondgenootschappen en culturele uitwisseling.

Een middeleeuws wereldbeeld

Het wereldbeeld van de middeleeuwen werd sterk bepaald door religie. Christendom en islam waren niet alleen geloofssystemen, maar ook dragers van politieke macht en culturele identiteit. Oorlogen kregen vaak een religieuze rechtvaardiging: vorsten presenteerden hun strijd als een goddelijke opdracht. Tegelijkertijd was de werkelijkheid minder zwart-wit. In grote delen van Al-Andalus leefden christenen, moslims en joden eeuwenlang samen. Deze convivenciamaakte intense uitwisseling van kennis, kunst en wetenschap mogelijk, vooral in steden als Córdoba en Toledo.

Belangrijkste gebeurtenissen

Na de snelle islamitische verovering van het Visigotische rijk in 711 bleven christelijke machtscentra bestaan in het noorden van het schiereiland. Een symbolisch beginpunt van de Reconquista is de Slag bij Covadonga (ca. 722), waar een klein christelijk leger weerstand bood aan islamitische troepen.
In de daaropvolgende eeuwen breidden christelijke koninkrijken zoals Asturië, León, Castilië en Aragón hun gebieden langzaam uit. Een beslissend militair keerpunt kwam met de Slag bij Las Navas de Tolosa in 1212, die de macht van de Almohaden brak. Het proces eindigde in 1492, toen Granada, het laatste islamitische rijk op het schiereiland, capituleerde.

De rol van koning Alfonso VI

Een centrale figuur in de Reconquista is Alfonso VI of León and Castile (1040–1109). Hij regeerde over León en Castilië en gaf de christelijke expansie een beslissende impuls. Zijn grootste wapenfeit was de inname van Toledo in 1085. Deze stad had niet alleen een grote strategische waarde, maar ook een enorme symbolische betekenis: Toledo was de oude hoofdstad van het Visigotische rijk en een belangrijk cultureel centrum.

Alfonso VI voerde echter geen zuiver religieuze politiek. Hij werkte regelmatig samen met islamitische vorsten en hief tributen (parias) op moslimstaten, die zijn macht en rijkdom versterkten. Onder zijn bewind bleef Toledo een plaats van culturele samenwerking, waar christelijke, joodse en islamitische geleerden samenwerkten aan vertalingen van klassieke en Arabische werken. Zo werd Toledo een brug tussen de islamitische wetenschap en West-Europa.

Personen en symbolen

Naast Alfonso VI is El Cid een bekende figuur uit deze periode. Hij belichaamt de dubbelzinnigheid van de Reconquista: een christelijke ridder die zowel christelijke als islamitische heersers diende. In de late 15e eeuw speelden Isabella I of Castile en Ferdinand II of Aragon een sleutelrol. Met de verovering van Granada maakten zij definitief een einde aan de islamitische politieke aanwezigheid op het schiereiland.

Besluit

De Reconquista was geen eenvoudige botsing tussen twee beschavingen, maar een langdurig en gelaagd historisch proces. Ze leidde tot de vorming van een verenigd Spanje en versterkte de christelijke identiteit van West-Europa. Tegelijkertijd betekende ze het einde van een eeuwenlange multiculturele samenleving en had ze ingrijpende gevolgen voor joodse en islamitische gemeenschappen. De Reconquista laat zo zien hoe oorlog, geloof en cultuur samen de loop van de geschiedenis hebben bepaald.

Hoogtelijnen in een driehoek

 

Beschouw een willekeurige driehoek ABC met zijden

a = |BC|,\qquad b = |CA|,\qquad c = |AB|.
Noem h_a,h_b,h_c de lengtes van de hoogtelijnen op respectievelijk BC,CA,AB.
Verder zij r \quad \text{de straal van de ingeschreven cirkel,} en s = \frac{a+b+c}{2}
de halve omtrek van de driehoek.

De oppervlakte \Delta van de driehoek kan op twee fundamentele manieren worden uitgedrukt.

Enerzijds geldt, via de hoogtelijnen:

\Delta = \frac{1}{2} a h_a= \frac{1}{2} b h_b= \frac{1}{2} c h_c.

Anderzijds is er de klassieke formule met de ingeschreven cirkel:
\Delta = r s.

Door beide uitdrukkingen voor de oppervlakte te vergelijken, krijgen we:

\frac{1}{2} a h_a = r s, waaruit volgt: h_a = \frac{2rs}{a}.
Analoog vinden we:

h_b = \frac{2rs}{b}, \qquad h_c = \frac{2rs}{c}.

Neem nu van deze uitdrukkingen de omgekeerden:
\frac{1}{h_a} = \frac{a}{2rs}, \qquad\frac{1}{h_b} = \frac{b}{2rs}, \qquad\frac{1}{h_c} = \frac{c}{2rs}.

Door deze drie gelijkheden op te tellen, bekomen we:

\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}= \frac{a+b+c}{2rs}.
Omdat a+b+c = 2s, vereenvoudigt dit tot:

\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}= \frac{2s}{2rs}= \frac{1}{r}.

We besluiten dat voor elke driehoek het volgende elegante verband geldt:

    \[\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}}\]

Het vermoeden van Euler

In 1769 formuleerde Euler het volgende vermoeden: Voor n>2 zijn minstens n n-de machten nodig om samen weer een -de macht te vormen.

In 1966 vonden L. J. Lander en T. R. Parkin met behulp van een computer een tegenvoorbeeld :  een som van vier vijfde machten die gelijk is aan een vijfde macht. Hieronder zie het ‘korte’ artikel dat  hierover gepubliceerd werd:

 

In 1986 vond Noam Elkies een tegenvoorbeeld met 3 vierdemachten: 

Dus ook voor n=4 is het vermoeden fout. De situatie voor n=4 was heel wat moeilijker dan voor n=5 omdat elliptische krommen hier een rol in spelen.

Het vermoeden van Erdös en Straus

Het Erdös-Straus vermoeden werd geformuleerd in 1948 door de Hongaars wiskundige Paul Erdös( 1913-1996) en de Duits-Amerikaanse wiskundigen ernst Straus(1922-1983). Erdös was een van de meest productieve wiskundige die veel bijdroeg aan de getaltheorie. Hij stond vooral bekend om het stellen van eenvoudige maar diepgaande vragen. Straus werkte ook in de getaltheorie en was bovendien medewerker van Alfred Einstein. Samen onderzochten ze eigenschappen van Egyptische breuken en kwamen zo tot volgend probleem:


Voor elke natuurlijke n\geq 2 geldt dat de breuk \frac{4}{n}  kan worden geschreven als een som van drie stambreuken (Egyptische breuken). Het is een van de bekendste onopgeloste problemen in de getaltheorie.

De conjectuur is triviaal waar voor alle even n. Ook werd voor veel typen priemgetallen  een expliciete oplossing geconstrueerd. Het moeilijke geval zit in getallen n waarvoor n \equiv 1 \mod 4.  Wel is het zo dat voor alle getallen tot enorm hoge grenzen (momenteel trilljoenen)  de gelijkheid bevestigd is  door computers. Hieronder een Python programma voor n kleiner dan of gelijk aan 20.

 

Met als output: 

De driehoek van Kepler

De Kepler-driehoek is een bijzondere rechthoekige driehoek die werd bestudeerd door de astronoom en wiskundige Johannes Kepler (1571–1630). Wat deze driehoek uniek maakt, is dat de lengtes van zijn zijden een meetkundige rij vormen en dat het iets te maken heeft met de gulden snede. Kepler schreef ooit: 

“Geometria duas magnas res habet: theoremata Pythagorae et sectionem auream.”
(De meetkunde bezit twee grote schatten: de stelling van Pythagoras en de gulden snede.)

Voor Kepler waren deze twee diep verbonden, en de Kepler-driehoek was voor hem een symbolische en wiskundige schakel tussen beide. We weten dat de gulden snede gegeven wordt door \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} en dat \varphi^2=1+\varphi. Zodoende krijgen we volgende situatie: