Aan de hand van enkele voorbeelden bespreken we Diophantische vergelijkingen: dit zijn vergelijkingen met gehele coëfficiënten waarvan gehele oplossingen gevraagd worden.
We starten in les 1 met de basisvergelijking met
. Neem bijvoorbeeld
.
- Omdat de grootste gemene deler van 7 en 13 gelijk is aan 1 en dit een deler is van 81, heeft deze vergelijking oplossingen.
- Volgens de stelling van Bezout kunnen we deze grootste gemene deler schrijven als een lineaire combinatie van 7 en 13. Dat kan door het recursief gebruiken van het algoritme van Euclides voor het bepalen van de grootste gemene deler.
- Zo is
en dus is
. Bijgevolg is
een particuliere oplossing van de gegeven vergelijking.
- Als we nu de twee vergelijkingen
en
van elkaar aftrekken vinden we
. Bijgevolg is 7 een deler van
en 13 een deler van
.
- Er bestaat dus een geheel getal t zodat
en
. Alle gehele oplossingen van de gegeven vergelijking zijn van deze vorm.