Tag archieven: getallen

Nootje 77

Geplaatst op door

Elk natuurlijk getal van twee cijfers kan je achterstevoren schrijven. Zo kan je 23 omdraaien tot 32. Bepaal alle getallen met de eigenschap dat de som van het getal en zijn omgedraaide een kwadraat oplevert.

 

Antwoord

  • Noteer het getal als ab, met a het cijfer van de tientallen en b het cijfer van de eenheden.
  • Het omgedraaide getal is dan ba en hun som is

        \[ab+ba=10a+b+10b+a=11(a+b)\]

  • Als deze som een kwadraat moet zijn, dan moet a+b het product zijn van 11 en een kwadraat. Of a+b=11k^2.
  • Maar a en b zijn cijfers, dus a+b\leq 18 en daarom kan enkel k=1.
  • Bijgevolg is $a+b=11 en zijn de mogelijke oplossingen : 29,92,38,83,47,74,56,65

Zelf beschrijvende getallen

Geplaatst op door

Een zelf beschrijvend getal is een natuurlijk getal waarvan het eerste cijfer weergeeft hoeveel nullen er in het getal zijn. Het tweede cijfer geeft aan hoeveel enen er aanwezig zijn; Het derde cijfer telt het aantal tweeën enzoverder. Zo is 2020 een zelf beschrijvend getal , want er zijn 2 nullen, geen 1, twee tweeën en geen 3.

Enkele eigenschappen: 

  • Er is minstens één 0 in een zelf beschrijvend getal. Het begincijfer van een getal is immers steeds verschillend van 0.
  • In ons talstelsel is het grootst mogelijk zelf beschrijvend getal, een getal van 10 cijfers.
  • Het kleinste zelf beschrijvend getal is 1210.
  • Het grootste is 6210001000.
  • Bij zelf beschrijvende getallen met maximale lengte ( 10 dus), is de som van de cijfers altijd 10. Logisch want die cijfersom geeft weer hoeveel cijfers er in het getal zijn.

Mooiheid van getallen

Geplaatst op door



De teller van elke breuk van je schrijven als n*111=n*3*37. Hierbij kan n elke waarde uit \{1,2,\cdots,9\} aannemen.

De noemer van elke breuk is dat n+n+n=3*n

Bijgevolg is elke breuk gelijk aan \frac{n*3*37}{3*n}=37.

 

Deelbaarheid door 3, 7, 9 en 11

Geplaatst op door

Iedereen weet dat een getal deelbaar is door 2 als het laatste cijfer, in zijn decimale notatie, even is.  Want een getal n kan je schrijven als n=10k+u, waarbij u het laatste cijfer is in de decimale notatie van n. Het is duidelijk dat 2|n als en slechts als 2|u. Hetzelfde geldt voor 5.

Elk getal n  is te schrijven  als n=100k+u, waarbij u het getal is gevormd door de laatste 2 cijfers van n. Bijgevolg is n deelbaar door 4 of 25 als de laatste 2 cijferss deelbaar zijn door 4 of 25.

Hoe kunnen we nu zien of een getal deelbaar is door 3, 9 of 11? Bekijken we eerst een stelling over congruenties met veeltermen met gehele cëfficiënten:

Stel f(x)=\sum_{k=0}^nc_kx^k met c_i \in \mathbb{Z}. Als a \equiv b mod m, dan is f(a) \equiv f(b) mod m.

Neem nu a=\sum_{k=0}^na_k10^k, de decimale schrijfwijze van het getal a en noteer s=\sum_{k=0}^na_k en t=\sum_{k=0}^n(-1)^ka_k. Het is duidelijk dat a=f(10) met f(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k en dat s=f(1). Omdat 10 \equiv 1 mod 9, geldt volgens vorige stelling dat f(10) \equiv f(1) mod 9 of met andere woorden : een getal is deelbaar door 9 als de som van haar cijfers deelbaar is door 9. Analoog voor deelbaarheid door 3. Het bewijs voor deelbaarheid door 11 volgt uit het feit dat 10 \equiv -1 mod 11 en t=f(-1).

Besluit:
Een getal is deelbaar door 3 of 9 als de som van de cijfers van het getal deelbaar is door 3 of 9.
Een getal is deelbaar door 11 als t=\sum_{k=0}^n(-1)^ka_k deelbaar is door 11.

 

Een toemaatje : deelbaarheid door 7: Omdat 10^3 \equiv -1 mod 7 kan je  deelbaarheid door 7 als volgt vinden: Verdeel het getal van rechts naar links in groepjes van 3. Voor zie elk groepje alternerend met een + en – teken. Een getal is deelbaar door 7 las de som van die getallen deelbaar is door 7. Zo is bijvoorbeeld  2 345 678 902 deelbaar door 7 omdat 902 -678 + 345 – 2 = 567 en dat is deelbaar door 7 .

Oorsprong van het getal

Geplaatst op door

Op een leeftijd van vijf jaar of eerder maken de meeste kinderen in onze westerse cultuur
een cognitieve sprong die de mensheid als geheel vele duizenden jaren aan ontwikkeling
heeft gekost: het kind verwerft het getalbegrip. Het begint te beseffen dat er iets
gemeenschappelijks is in verzamelingen van bijvoorbeeld vijf appels, vijf peren, vijf kinderen, vijf koekjes, een popgroep van vijf musici, enzovoort. Dat gemeenschappelijke, die „vijfheid‟, wordt op de één of andere manier gekarakteriseerd door het getal 5, dat wil zeggen door een abstracte entiteit die het kind nooit kan zien, horen, voelen, ruiken of proeven, maar die hemtoch de rest van zijn leven vergezellen zal als iets dat „bestaat‟. Lees meer hierover in volgend artikel.

ishango