Nootje 21

Hoeveel natuurlijke getallen van drie cijfers bestaan er die bij deling door 20,50 en 70 dezelfde rest laten.

 

Antwoord Klik hier

GGD en KGV

Gegeven zijn 2 natuurlijke getallen a en b. Het grootste natuurlijk getal dat zowel een deler is van a als van b heet de grootste gemene deler van a en b. Notatie : ggd[a,b). Het kleinste getal dat zowel een veelvoud is van a als van b , heet het kleinste gemene veelvoud van a en b. Notatie : kgv(a,b).

Men kan de grootste gemene deler en het kleinste gemene veelvoud van 2 getallen bepalen door beide getallen te ontbinden in priemfactoren. Vooral bij grotere getallen kan dit een omvangrijk werk zijn. Er is een veel snellere methode. Deze berust op de eigenschap dat als b=q.a+r , dan geldt er dat ggd (a,b) = ggd(a,r). Elke deler van a en b is immers ook een deler van r=b-q.a en omgekeerd elke deler van a en r is ook een deler van b. Deze werkwijze noemt men het algoritme van Euclides.

We berekenen  de ggd van 1970 en 1066 op twee manieren:

  1.  1970 = 2.5.197 en 1066 = 2.13.41, dus is ggd(1970,1066)=2
  2. 1970 = 1.1066 + 904 ; 1066=1.904+162 ; 904=5.162+94 ; 162=1.94+68 ; 94=1.68+26 ; 68=2.26+16 ; 26=1.16+10 ; 16=1.10+6 ; 10=1.6+4 ; 6=1.4+2 ; 4=2.2. Dus is ggd(1970,1066)=ggd(1066,904)=ggd(904,162)=ggd(162,94)=ggd(94,68) = ggd(68,26)=ggd(26,16)=ggd(16,10)=ggd(10,6)=ggd(6,4)=ggd(4,2)=2

Via dit algoritme kan men ( zoals hieronder in  de stelling van Bezout vermeld wordt) de grootste gemene deler van 2 getallen schrijven als een lineaire combinatie van die twee getallen.
ggd(1970,1066)= 2= 6 – 4 = 6 – (10 – 6) = 2.6 – 10 = 2.(16 – 10) – 10 = 2.16 – 3.10 = \ldots = 377.1066 – 204.1970.

Enkele eigenschappen

  • Elke gemeenschappelijke deler van a en b is ook een deler van ggd(a,b)
  •  Elk gemeenschappelijk veelvoud van a en b is ook een veelvoud van kgv(a,b).
  •  ggd(a,b).kgv(a,b)=a.b
  • Als n een deler is van a.b en als ggd(n,a) = 1 dan moet n een deler zijn van b.
  • Als ggd(a,b)=d dan geldt : ggd(\frac{a}{d},\frac{b}{d})=1
  • ggd(a,b) = ggd(b,a – qb)
  • De grootste gemene deler van 2 getallen is een lineaire combinatie van die twee getallen ( stelling van Bezout ).