Tag archieven: Tsjebysjev

Ongelijkheid van Chebysev of Tsjebysjev

Geplaatst op door

Als we A en B nemen zoals in de herschikkingsongelijkheid, dan geldt

    \[A\geq \frac {(a_1+ \cdots + a_n)(b_1+ \cdots + b_n)}{n} \geq B\]

Immers, als we de termen b_i cyclisch veranderen krijgen we n gemengde sommen: a_1b_1+a_2b_2+ \cdots +a_nb_n,a_1b_2+a_2b_3+ \cdots +a_nb_1, \ldots , a_1b_n+a_2b_1+\cdots+a_nb_{n-1}. Elk van deze sommen ligt volgens de herschikkingsongelijkheid tussen A en B, zo zal hun gemiddelde ook tussen A en B gelegen zijn. Dit gemiddelde is juist de middelste term in de ongelijkheid van Chebychev.

cheby

Voorbeeld:

Voor 2 positieve getallen a,b, geldt: 2(a^5+b^5)\geq (a^3+b^3)(a^2+b^2)

Neem de  de gelijk geordende drietallen (a^2,b^2) en (a^3,b^3). Dan is a^2a^3+b^2b^3 \geq \dfrac{ (a^2+b^2)(a^3+b^3)}{2}. Hieruit volgt het gestelde.