Tag archieven: aantal delers van een getal

Nootje 69

Geplaatst op door

Zoek een getal x zodat x en x+1 allebei zes delers hebben.

 

Antwoord

  • Het aantal delers van een getal wordt bepaald door het product van factoren e_i+1 waarbij e_i de exponent is van een priemfactor p_i in de ontbinding in factoren.
  • Omdat 6=6\times 1 of 6=3\times 2, is het gezochte getal x van de vorm p^5 of p^2q.
  • Er zullen waarschijnlijk meerdere oplossingen bestaan, maar wij zoeken naar de kleinste. Neem dan x=2^2q en x+1=3^2r.
  • Hieruit volgt dat 4q+1=9r; De kleinste waarde ( q=2 kan niet want q is een priemfactor verschillend van 2) die hieraan voldoet is p=11 en r=5. 
  • Bijgevolg is x=44.
  • Als je x+1 van de vorm p^5 neemt vind je ook snel een oplossing: x+1=3^5=243, dan is x=242=2\times 11^2. Dus 242 is ook een oplossing

Hoofdstelling van de rekenkunde

Geplaatst op door

Elk samengesteld getal kan geschreven worden als het product van kleinere factoren. Als minstens 1 van beide samengesteld is , kan men die ook weer schrijven als product van kleinere factoren. Zo kan men doorgaan tot er slechts priemgetallen als factoren overblijven. men kan een samengesteld getal in het algemeen op verschillende manieren via een aantal tussenstappen in priemgetallen ontbinden. Het uiteindelijk resultaat, de ontbinding in priemfactoren, is steeds hetzelfde. Dit resultaat staat bekend als de hoofdstelling van de rekenkunde:

    \[\begin{center}De ontbinding in priemfactoren van een \\ natuurlijk getal is eenduidig bepaald.\end{center}\]

Deze eigenschap is in andere getalsysytemen niet noodzakelijk waar. Beschouw de verzameling van de even getallen \left\{2,4,6,\cdots \right\}. Sommige ervan kan men schrijven als het product van even factoren, bijvoorbeeld 20=2.10. Bij andere is dat niet mogelijk. We noemen even getallen die niet het product zijn van even factoren even-priemgetallen. Een even getal is te schrijven als product van even-priemgetallen, maar zo een ontbinding hoeft niet eenduidig te zijn. Zo is 420=6.70=10.42

Als een getal ontbonden is in priemfactoren, dan kan men het aantal delers bepalen. Stel dat n=2^{e_1}.3^{e_2}.5^{e_3}. \ldots .p_k^{e_k} dan heeft n juist (e_1+1)(e_2+1)(e_3+1).\ldots.(e_k+1) delers.

woestijn