Tag archieven: combinaties

Kansen op het schaakbord.

Geplaatst op door

Kies 2 vakjes op een schaakbord. Wat is de kans dat die twee vakjes 1 punt gemeen hebben?

  • Het aantal mogelijkheden om 2 vakjes te kiezen op een nxn bord is n^2 \choose 2 =\frac{n^2(n^2-1)}{2}.
  • Elk vakje in de hoek heeft 1 geschikte buur ( groen). Dus zo heb je al 4 mogelijkheden.
  • De vakjes op de rand, die niet in de hoeken liggen, hebben 2 geschikte buren(blauw). Er zijn 4(n – 2) dergelijke vakjes op de rand, dus heb je 2.4(n-2) gunstige mogelijkheden.
  • De inwendige vakjes hebben 4 geschikte buren ( geel). Er zijn (n-2)^2 dergelijke vakjes, dus 4(n-2)^2 gunstige mogelijkheden.
  • In het totaal zijn er 4+8(n-2)+4(n-2)^2=4n^2-8n+4 gunstige mogelijkheden. Maar die zijn dubbel geteld!
  • De kans dat er twee vakjes juist 1 punt gemeen hebben is

        \[\frac{4(n^2-2n+1)}{n^4-n^2}\]

  • Voor een  8×8 bord geeft dit ongeveer 4,8%.

Vierkanten en rechthoeken op een schaakbord

Geplaatst op door

Hoeveel vierkanten en rechthoeken kan men vormen op een n x n schaakbord?

  • Nemen we eerst het aantal vierkanten. We noteren V(n) voor het aantal vierkanten dat je kan tekenen op een nxn bord. Voor de 1×1 vierkanten heb je n mogelijke verticale posities en n horizontale, dus n^2 mogelijke vierkanten. Voor de 2×2 vierkanten heb je n – 1 verticale en horizontale mogelijke plaatsingen , dus (n-1)^2 mogelijkheden. Uiteindelijk is het totaal aantal vierkanten gelijk aan n^2+(n-1)^2+\cdots+2^2+1^2. 

        \[V(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

  • Met R(n) noteren we het aantal rechthoeken dat je kant tekenen op een nxn schaakbord. Voor een rechthoek heb je 2 verticale en twee horizontale lijnen nodig. Er zijn n+1 verticale en n+1 horizontale lijnen op een schaakbord. Om de verticale lijnen te kiezen heb je dus {n+1}\choose{2} =\frac{n(n+1)}{2}  mogelijkheden. Idem voor de keuze van de twee horizontale lijnen. Dus

        \[R(n)=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\]

  • Voor een 8×8 schaakbord heb je dus 204 vierkanten en 1296 rechthoeken. Van die rechthoeken zijn er 1092 die geen vierkant zijn.